Rangkuman Materi Matriks Lengkap
Ini adalah pembahasan lengkap rangkuman materi matriks disertai contoh soal dan latihan terbaru.
Kebanyakan kalian mungkin akan mengandalkan materi matriks dalam tes UTBK - SBMPTN atau pun dalam tes masuk kampus lainnya.
Bisa dibilang materi matriks memang salah satu materi yang tidak banyak membutuhkan kemampuan analitik seperti halnya trigonometri, integral ataupun dimensi tiga.
Dalam perkembangannya materi matriks memang sering kali muncul dalam tes UTBK - SBMPTN dan tes masuk kampus lainnya.
Daftar Isi
Pada halaman ini kita akan berbagi buat kalian mulai dari hal yang paling mendasar rangkuman materi matriks lengkap.
Yuks.. kita mulai ya..
DEFINISI MATRIKS
Matriks $\to$ merupakan susunan bilangan yang tersusun berdasarkan aturan baris dan kolom yang diapit oleh dua tanda kurung biasa $( \ )$ ataupun dua kurung siku $[ \ ]$.
$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2k} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3k} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{b1} & a_{b2} & a_{b3} & \cdots & a_{bk} \\ \end{pmatrix} $Baris yang susunannya horizontal atau ke samping, sedangkan kolom susunannya vertikal atau dari atas ke bawah.
Jumlah baris dan kolom dalam matriks menyatakan ukuran besar atau kecilnya suatu matriks yang dikenal dengan istilah ordo matriks.
Penamaan matriks selalu menggunakan huruf kapital (huruf besar ), misalkan : $A$, $B$, $C$, $D$,dan seterusnya.
Bilangan - bilangan yang tersusun dalam matriks disebut juga dengan istilah anggota matriks atau lebih jauh lagi dikenal dengan istilah elemen matriks.
$a_{12}$ menyatakan elemen matriks $A$ baris ke-$1$ dan kolom ke-$2$.
Jadi angka pertama dalam penulisan elemen menyatakan referensi letak baris sedangkan angka kedua menyatakan letak kolomnya.
Contoh :
$ B=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix} $
Keterangan :
Matriks $B$ di atas memiliki ordo $2 \times 3$ yang artinya mempunyai $2$ baris dan $3$ kolom.
Angka $-3$ merupakan elemen $b_{12}$ yang artinya elemen matriks $B$ pada baris ke-$1$ dan kolom ke-$2$.
Angka $-2$ menyatakan elemen $b_{23}$ yang artinya elemen matriks $B$ pada baris ke-$2$ dan kolom ke-$3$.
Demikian seterusnya ya..
JENIS - JENIS MATRIKS
Matriks ternyata juga banyak macam jenisnya lho..
Masing - masing matriks mempunyai nama berdasarkan bentuk dan ukurannya.
1. Matriks Persegi
Matriks persegi merupakan suatu matriks yang mempunyai ukuran ordo $(n \times n)$.
Contoh :
$ A=\begin{pmatrix} 9 & -3 \\ 1 & -8 \end{pmatrix} $ , $ B=\begin{pmatrix} -6 & 2 & 6\\ 9 & 0 & -3\\ 4 & -1 & 6 \end{pmatrix} $2. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks yang dibentuk dari bilangan $1$ dan $0$ dimana elemen diagonal utamanya $1$ dan selainnya bernilai $0$.
Matriks identitas selalu berukuran persegi ordo $(n \times n)$.
Penamaan matriks identitas menggunakan notasi $I$.
Contoh :
$ I=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $ , $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $
3. Matriks Baris
Matriks baris ialah suatu bentuk matriks yang hanya memiliki satu baris saja, atau mempunyai ordo $(1 \times n)$.
Contoh :
$ P=\begin{pmatrix} 5 & -3 & 7 \end{pmatrix} $3. Matriks Kolom
Ada matriks baris tentu saja ada matriks kolom ya..
Matriks kolom adalah suatu bentuk matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja (kebalikan matriks baris).
Matriks kolom mempunyai ordo $(n \times 1)$.
Contoh :
$ K=\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} $4. Matriks Diagonal (Skalar)
Contoh :
$C=\begin{pmatrix} 12 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -25 \end{pmatrix} $5. Matriks Nol
Matriks Nol adalah sebuah matriks yang beranggotakan semuanya berupa bilangan $0$.
Matriks Nol diberi nama dengan notasi $O$ yang disertai dengan ordonya.
Contoh :
$ O_{2 \times 2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ , $ O_{3 \times 2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $ , dst
6. Matriks Segitiga Atas
Matriks segitiga atas adalah bentuk khusus dari matriks persegi dimana elemen di bawah diagonal utamanya bernilai $0$.
Contoh :
$ M=\begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 0 & -1 & 11 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix} $7. Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga bawah adalah kebalikan dari matriks segitiga atas yang merupakan bentuk khusus dari matriks persegi dimana elemen di atas diagonal utamanya bernilai $0$.
Contoh :
$ N=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -9 & 3 & 0 \\ 10 & \frac{2}{3} & 8 \end{pmatrix} $
8. Matriks Simetris
Matriks simetris ialah matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya tercermin ke bawah diagonal utamanya, sehingga diagonal utamanya merupakan garis simetris untuk matriks tersebut.
Contoh :
$ S=\begin{pmatrix} 6 & -2 & 6 & 9 \\ -2 & 0 & 1 & 8 \\ 6 & 1 & -3 & 2 \\ 9 & 8 & 2 & 7 \end{pmatrix} $
9. Matriks 1
Sesuai dengan namanya, matriks 1 merupakan matriks persegi dimana semua elemennya bernilai 1.
Contoh :
$ H=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $
TRANSPOSE MATRIKS
Transpose matriks merupakan istilah untuk suatu operasi matriks dimana kibalik letak elemen - elemennya.
Baris jadi kolom demikian sebaliknya kolom jadi baris.
Jadi yang semula elemen - elemen terletak pada baris ke-$1$ akan berpindah menjadi elemen - elemen pada kolom ke-$1$.
Transpose dari matriks $A$ dinotasikan dengan $A^{T}=A^{t}=A'$
Contoh :
$ D=\begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 0 & -1 & 11 \end{pmatrix} $ $\to$ $ D^{T}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & -1 \\ 6 & 11 \end{pmatrix} $
KESAMAAN MATRIKS
Dua buah matriks akan sama jika mempunyai ordo sama yang berakibat pada elemen - elemen yang seletak akan mempunyai besar nilai yang sama.
Contoh :
Jika $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -10 & 8 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} 2 & -10 \\ x & 8 \end{pmatrix}$ memenuhi $A=B^{T}$ maka nilai dari $2x+3$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 12 \\ (B)\ & 11 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 9 \\ (E)\ & 8 \end{align} $
Pembahasan :
Karena $A=B^{T}$ maka kita akan dapatkan,
$ \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ -10 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & x \\ -10 & 8 \end{pmatrix} $
dalam kedua ruas matriks terlihat bahwa nilai $x$ seletak dengan nilai $4$ yang ada pada matriks ruas kiri.
Sehingga nilai $x=4$, jadi nilai $2x+3=11$.
Pilihan jawaban yang benar adalah (B) $11$.
OPERASI - OPERASI MATRIKS
Operasi pada matriks sedikit berbeda dengan operasi pada bilangan aljabar pada umumnya.
Operasi pada matriks hanya mengenal tiga operasi, yaitu : penjumlahan matriks, pengurangan matriks dan perkalian matriks.
Dalam matriks tidak mengenal pembagian antar matriks.
1. Penjumlahan Matriks
Dua buah matriks bisa dijumlah jika memenuhi ordo sama.
Operasi penjumlahan pada matriks dilakukan berdasarkan elemen - elemen yang seletak.
$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e & b+f \\ c+g & d+h \end{pmatrix} $
2. Pengurangan Matriks
Pada dasarnya pengurangan matriks juga sama dengan operasi penjumlahan matriks.
Syarat operasinya adalah ordo kedua matriksnya haruslah sama.
Operasi pengurangan pada matriks juga dilakukan berdasarkan elemen - elemen yang seletak.
$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-e & b-f \\ c-g & d-h \end{pmatrix} $
3. Perkalian Matriks
Operasi perkalian pada matriks dibedakan menjadi dua, yaitu perkalian matriks dengan skalar ($k$) dan perkalian antar matriks itu sendiri.
a. Perkalian Matriks Dengan Skalar($k$)
$ k \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot k = \begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix} $
b. Perkalian Matriks Dengan Matriks
Sedangkan perkalian antara matriks dengan matriks tidak bisa dilakukan secara langsung seperti halnya perkalian matriks dengan skalar($k$).
Syarat yang harus dipenuhi agar dua buah matriks bisa dikalikan adalah : jumlah kolom pada matriks baris pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
$ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae+bg & af+bh \\ ce+dg & cf+dh \end{pmatrix} $
c. Sifat - Sifat Perkalian Matriks
Ada beberapa sifat perkalian matriks yang harus kalian ketahui :
$(AB)C=A(BC) \to$ Sifat Asosiatif$A(B \pm C)=AB \pm AC \to$ Sifat Distributif
$AB \neq BA \to$ Tidak Komutatif
INVERS MATRIKS ORDO $(2 \times 2)$
Jika terdapat matriks $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ maka invers dari matriks $A$ adalah :
$ A^{-1}=\frac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $
dimana, $det (A)=|A|=ad-bc$
Sifat - Sifat Invers Matriks
- $(A^{-1})^{-1}=A$
- $AA^{-1}=A^{-1}A=I$
- $AI=IA=A$
- $(AB)^{-1}=B^{-1} \cdot A^{-1}$
- $ \begin{align} AX=B & \to X=A^{-1}B \\ XA=B & \to X=BA^{-1} \end{align} $
Sifat - Sifat Determinan Matriks
Jika $A$ dan $B$ adalah dua buah matriks yang mempunyai ordo $(n \times n)$.
Beberapa sifat matriks yang wajib kalian ketahui yaitu :
- $det(A^{T})=det(A)$
- $det(A^{n})=[det(A)]^{n}$
- $det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$
- $det(AB)=det(A) \cdot det(B)$
- $det(kA)=k^{n} \cdot det(A)$, $n$ $\to$ ordo.
CONTOH SOAL MATRIKS DAN PEMBAHASAN LENGKAP
Soal - soal matriks dalam perkembangannya dapat juga dikaitkan dengan materi pokok matematika lainnya, seperti halnya : persamaan kuadrat, barisan dan deret, logaritma, eksponen ataupun trigonometri,materi lainnya yang masih berpeluang bisa dikaitkan dengan matriks.
1. Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} x+1 & x-1 \\ 2x & x \end{pmatrix}$.
Jika berlaku $det(A)=4x-30$ maka nilai $x$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 5 \ dan \ 6 \\ (B)\ & 5 \ dan \ -6 \\ (C)\ & 3 \ dan \ 5 \\ (D)\ & 3 \ dan \ -5 \\ (E)\ & 4 \ dan \ 6 \end{align} $
Pembahasan :
$ \begin{align} A &= \begin{pmatrix} x+1 & x-1 \\ 2x & x \end{pmatrix} \\ det(A) &= (x+1)(x) - (x-1)(2x) \\ 4x-30\ &= (x+1)(x) - (2x)(x-1) \\ 4x-30\ &= x^{2}+x - 2x^{2}+2x \\ 4x-30\ &=-x^{2}+3x \\ 0\ &= x^{2}+x-30 \\ 0\ &= \left( x-5 \right)\left( x+6 \right) \\ & x=5\ \text{atau}\ x=-6\ \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B) $5$ dan $-6$
2. Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$.
Pembahasan :
$\begin{align} k \cdot \text{det}(A) &= \text{det}(2A) \\ k \cdot \text{det}(A) &= 2^{2} \cdot \text{det}(A) \\ k \cdot \text{det}(A) &= 4 \cdot \text{det}(A) \\ k &= 4 \end{align}$
Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (C) $4$
3. Diketahui $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, maka hasil dari $(PQ)^{-1}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \end{align} $
Pembahasan :
$\begin{align} PQ &=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix} \end{align}$
Langkah berikutnya tinggal kita cari matriks $(PQ)^{-1}$, sehingga kita kaan dapatkan
$\begin{align} PQ &=\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 7 & 5 \end{pmatrix}\ \\ \left( PQ \right)^{-1} &= \dfrac{1}{20-21} \times \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \dfrac{1}{-1} \times \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -7 & 4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix} \end{align}$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (A) $\begin{pmatrix} -5 & 3 \\ 7 & -4 \end{pmatrix}$
4. Soal SBMPTN 2014 Kode 663Jika matriks $A=\begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}$,
$B=\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix}$ dan $C=\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ -8 & 7 \end{pmatrix}$ memenuhi
$A+B=C^{T}$ dengan $C^{T}$ transpose matriks $C$, maka nilai $2x+3y$ adalah...
$\begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 4 \\ (C)\ & 5 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 7 \end{align}$
Pembahasan :
$\begin{align} A+B &= C^{T} \\ \begin{pmatrix} 2x & -2 \\ x & 3y+2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 9 & 3x \\ 8 & -4 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 2x+9 & -2+3x \\ x+8 & 3y-2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & -8 \\ 6 & 7 \end{pmatrix} \\ \end{align}$
Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks yang sudah kita bahas di atas maka dapat kita peroleh bahwa :
$3y-2$ sehingga $y=3$
$x+8=6$ sehingga $x=-2$
Dengan demikian nilai dari $2x+3y=5$.
Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (C) $5$
5. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku
persamaan $A^{2}+B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$. Determinan
matriks $A^{4}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 81 \end{align} $
Pembahasan :
$\begin{align} A^{2}+B &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-B \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}\\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3-1 & -2+4\\ 4-5 & -1+2 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ det(A^{2}) &=(2)(1)-(-1)(2)=4 \\ \end{align}$Langkah berikutnya tinggal memakai salah satu sifat dari determinan yaitu $det(A^{n}) = [det(A)]^{n}$, maka
$ \begin{align} det(A)^{4} &= [det(A)^{2}]^{2} \\ &= 4^{2} \\ &=16 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (D) $16$
6. Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix}$ mempunyai
hubungan dengan matriks $B=\begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix}$.
Matriks $C=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}$ dan matriks $D$
mempunyai hubungan yang serupa dengan $A$ dan $B$. Bentuk $C+D$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \\ (B)\ & \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -2 \end{pmatrix} \\ (C)\ & \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix} \\ (D)\ & \begin{pmatrix} 3 & -2\\ -1 & -5 \end{pmatrix} \\ (E)\ & \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 1 & 5 \end{pmatrix} \end{align} $
Pembahasan :
$ \begin{align} A & \Leftrightarrow B \\ \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & 5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -5 & 3\\ 1 & -2 \end{pmatrix} \end{align}$
Jika kita perhatikan maka antara matriks $A$ dan $B$ mempunyai hubungan yaitu diagonal utama tukar tempat ganti tanda(dikali $-1$) sedangkan diagonal yang lain juga tukar tempat namun tanpa ganti tanda.
Sehingga kita bisa terapkan hubungan hal serupa untuk matriks $C$ dan $D$.
$ \begin{align} C & \Leftrightarrow D \\ \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix} & \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ \end{align} $
Sehingga kita kaan dapatkan jumlah matriks $C$ dan $D$
$ \begin{align} C + D &= \begin{pmatrix} 3 & 2\\ 1 & -5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 1\\ 2 & -3 \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix} \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (A) $\begin{pmatrix} 8 & 3\\ 3 & -8 \end{pmatrix}$
7. Soal SIMAK UI 2019 Kode 539
Diketahui $A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ dan $B=\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
Jika $A+tB$ merupakan matriks singular, nilai $t^{2}+3t+2$ adalah..
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 5 \end{align} $
Pembahasan :
Matriks singular adalah sebuah matriks yang mempunyai determinan sama dengan nol.
$ \begin{align} A+tB &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -t & 2t\\ t & t \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{pmatrix} \\ 0&= \begin{vmatrix} 1-t & 2+2t\\ 2+t & 1+t \end{vmatrix} \\ 0&= \left( 1-t^{2}\right)-\left(4+6t+2t^{2}\right) \\ 0&= -3t^{2}-6t-3 \\ 0&= t^{2}+2t+1 \\ 0&= \left(t+1 \right)^{2} \\ & t=-1 \\ t^{2}+3t+2 &= (-1)^{2}+3(-1)+2 \\ &= 0 \\ \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (A) $0$
8. Soal SIMAK UI 2012 kode 223
Jika persamaan matriks $D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1}=A$ , $A \neq 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan...
$ \begin{align} (1)\ & BD=CD \\ (2)\ & B=C \\ (3)\ & ABD=ACD \\ (4)\ & B^{-1}-C^{-1}=DA \end{align} $
Pembahasan :
Untuk mengerjakan soal ini kita butuh salah satu sifat invers matriks yang mana $A \cdot A^{-1} =I$, sehingga kita akan peroleh
$ \begin{align} D^{-1}B^{-1}-D^{-1}C^{-1} &= A \\ D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= A \\ D \cdot D^{-1} \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ I \cdot \left( B^{-1}- C^{-1} \right) &= D \cdot A \\ B^{-1}- C^{-1} &= D \cdot A \\ \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (D) $(4)\ B^{-1}-C^{-1}=DA$
9. Soal UM UGM 2004
Bila $A=\begin{pmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{pmatrix}$, $0 \lt x \lt \frac{\pi}{2}$ dan
determinan $A$ sama dengan $1$ maka $x$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & \dfrac{\pi}{6} \\ (C)\ & \dfrac{\pi}{4} \\ (D)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (E)\ & \dfrac{\pi}{6}\ \text{dan} \dfrac{\pi}{2} \\ \end{align} $
Pembahasan :
Seperti terlihat bahwa bentuk matriks $A$ dikaitkan dengan fungsi trigonometri. Itu kenapa ringkasan materi trigonometri sangat diperlukan di sini.
$ \begin{align} \left| A \right| &= 1 \\ \begin{vmatrix} sin^{2}x & -cos\ x \\ \sqrt{3}sin\ x & 1 \end{vmatrix} &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= 1 \\ sin^{2}x+\sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= sin^{2}x+cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x\ cos\ x &= cos^{2}x \\ \sqrt{3}sin\ x &= cos\ x \\ \dfrac{sin\ x}{cos\ x} &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ tan\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ x &= \dfrac{\pi}{6} \\ \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (B) $\dfrac{\pi}{6}$
10. Soal UM UGM 2019 Kode 923
Diberikan empat matriks $A,B,C,D$ berukuran $2 \times 2$ dengan $A + CB^{T}=CD$. Jika $A$ mempunyai invers, $det \left( D^{T}-B \right)=m$ dan $det \left( C \right)=n$, maka $det \left( 2A^{-1} \right)=\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{4}{mn} \\ (B)\ & \dfrac{mn}{4} \\ (C)\ & \dfrac{4m}{n} \\ (D)\ & 4mn \\ (E)\ & \dfrac{m+n}{4} \end{align} $
Pembahasan :
Ingat kembali sifat - sifat matriks dan sifat determinan matriks yang akan kita pakai beberapa diantaranya adalah :
- $AB=C\ \rightarrow \left| A \right| \left| B \right|= \left| C \right|$
- $\left| A^{T} \right| = \left| A \right|$
- $\left| A^{-1} \right| = \dfrac{1}{\left| A \right|}$
- $\left( A \pm B \right)^{T} = A^{T} \pm B^{T}$
- $|k \times A_{m\times m}| = k^m \times |A|$
$ \begin{align} A + CB^{T} &= CD \\ A &= CD - CB^{T} \\ A &= CD - CB^{T} \\ \left| A \right| &= \left| C \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= \left| C \right| \cdot \left| \left( D - B^{T} \right) \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot \left| \left( D^{T} - B \right)^{T} \right| \\ \left| A \right| &= n \cdot m \\ \end{align} $
$ \begin{align} \left| 2A^{-1} \right| &= 2^{2} \cdot \left| A^{-1} \right| \\ &= 4 \cdot \dfrac{1}{\left| A \right|} \\ &= \dfrac{4}{mn} \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (A) $\dfrac{4}{mn}$
Penutup
Nah sahabat kreatif, itu lah pembahasan Rangkuman Materi Matriks Lengkap.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
