Pembuktian Turunan Trigonometri Sin Cos dan Tangen Lengkap
Ini adalah pembahasan lengkap mengenai pembuktian turunan trigonometri sin cos dan tangen.
Pembahasan kali ini adalah pembahasan yang banyak kalian cari tentang turunan trigonometri sin cos dan tangen.
Ketika awal belajar tentang materi turunan trigonometri biasanya bapak/ibu guru disekolah bakal kasih kalian catatan bahwa turunan sin adalah cos, turunan cos adalah -sin dan lain sebagainya.
Namun tanpa adanya pembuktian apapun darimana asal muasal itu semua.
Pembuktian dari turunan fungsi trigonometri sebenarnya cukup mudah dan sederhana.
Hal perlu kalian lakukan untuk pembuktian dari fungsi trigonometri adalah kembalikan ke konsep awal dari definisi turunan fungsi.
Metode mendapatkan fungsi turunan dengan menggunakan limit di atas biasa kita sebut dengan turunan metode definisi limit.
Tanpa berlama - lama lagi, yuk kita akan lakukan pembuktian untuk masing - masing dari turunan sin cos dan tangen $x$.
Untuk melakukan pembuktian fungsi sin, ada satu hal yang kita perlukan dalam proses perhitungannya.
Kita akan memerlukan rumus jumlah sudut fungsi trigonometri untuk menjabarkan bentuk sin nya.
Ingat kembali bahwa :
$\sin (A+B)=\sin A \cos B + \cos A \sin B$
Sehingga,
$f(x)= \sin x$
$ \begin{align} f(x+h) &= \sin (x+h) \\ & =\sin x \cos h + \cos x \sin h \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} f'(x) &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin (x+h) - \sin x}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin x \cos h - \sin x + \cos x \sin h}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \left( \sin x \dfrac{\cos h - 1}{h} + \cos x \dfrac{\sin h}{h} \right) \\ &= \sin x \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} \\ &= \sin x (0) + \cos x (1) \\ &= \cos x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\sin x$ melalui pembuktian definisi limit kita dapatkan $f'(x)=\cos x$.
Sama seperti tahapan sebelumnya di atas untuk melakukan pembuktian fungsi cos, ada satu hal yang kita perlukan dalam proses perhitungannya.
Kita akan memerlukan rumus jumlah sudut fungsi trigonometri untuk menjabarkan bentuk cos nya.
Ingat kembali bahwa :
$\cos (A+B)=\cos A \cos B - \cos A \cos B$
Sehingga,
$f(x)= \cos x$
$ \begin{align} f(x+h) &= \cos (x+h) \\ & =\cos x \cos h + \cos x \cos h \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} f'(x) &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos (x+h) - \cos x}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos x \cos h - \cos x - \sin x \sin h}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \left( \cos x \dfrac{\cos h - 1}{h} - \sin x \dfrac{\sin h}{h} \right) \\ &= \cos x \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} \\ &= \cos x (0) - \sin x (1) \\ &= - \sin x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\cos x$ melalui pembuktian definisi limit kita dapatkan $f'(x)=- \sin x$.
Untuk melakukan pembuktian fungsi tangen kita akan membutuhkan beberapa hal berikut :
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$
Misal :
$u(x)=\sin x \ \to \ u'(x)=\cos x$
$v(x)=\cos x \ \to \ v'(x)=- \sin x$
Dengan demikian akan kita peroleh,
$ \begin{align} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &=\dfrac{\cos x \cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^{2} x} \\ &=\dfrac{\cos^{2} x+\sin^{2} x}{\cos^{2} x} \\ &=\dfrac{1}{\cos^{2} x} \\ &= \sec^{2} x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\tan x$ melalui pembuktian pembagian turunan fungsi kita dapatkan $f'(x)= \sec^{2} x$.
Bisa kita tulis bahwa,
$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$
Sehingga untuk pembuktian turunan dari cossec kita akan pakai pembuktian melalui rumus pembagian turunan fungsi seperti halnya pembuktian tangen sebelumnya.
$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$
Misal :
$u(x)=1 \ \to \ u'(x)=0$
$v(x)=\sin x \ \to \ v'(x)=\cos x$
Dengan demikian maka,
$ \begin{align} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &=\dfrac{0 (\sin x)-1(\cos x)}{\sin^{2} x} \\ &=\dfrac{-\cos x}{\sin^{2} x} \\ &= -\dfrac{1}{\sin x} \times \dfrac{\cos x}{\sin x} \\ &= -\csc x \cot x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\csc x$ melalui pembuktian pembagian turunan fungsi kita dapatkan $f'(x)= -\csc x \cot x$.
Bisa kita tulis bahwa,
$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$
Sehingga untuk pembuktian turunan dari cossec kita akan pakai pembuktian melalui rumus pembagian turunan fungsi seperti halnya pembuktian tangen sebelumnya.
$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$
Misal :
$u(x)=1 \ \to \ u'(x)=0$
$v(x)=\cos x \ \to \ v'(x)=-\sin x$
Dengan demikian maka,
$ \begin{align} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &=\dfrac{0 (\cos x)-1(-\sin x)}{\cos^{2} x} \\ &=\dfrac{\sin x}{\cos^{2} x} \\ &= \dfrac{1}{\cos x} \times \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ &= \sec x \tan x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\sec x$ melalui pembuktian pembagian turunan fungsi kita dapatkan $f'(x)= \sec x \tan x$.
Karena memang bentuk cotan merupakan kebalikan dari tangen.
Sehingga,
$f(x)= \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$
Misal :
$u(x)=\cos x \ \to \ u'(x)=-\sin x$
$v(x)=\sin x \ \to \ v'(x)=\cos x$
Dengan demikian akan kita peroleh,
$ \begin{align} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &=\dfrac{-\sin x (\sin x) -\cos x(\cos x)}{\sin^{2} x} \\ &=\dfrac{-(\sin^{2} x+\cos^{2} x)}{\sin^{2} x} \\ &=-\dfrac{1}{\sin^{2} x} \\ &=- \csc^{2} x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\cot x$ melalui pembuktian pembagian turunan fungsi kita dapatkan $f'(x)= - \csc^{2} x$.
Kesimpulan dari pembuktian turunan sin cos dan tangen di atas dapat kita rangkum dalam tabel berikut :
Ketika awal belajar tentang materi turunan trigonometri biasanya bapak/ibu guru disekolah bakal kasih kalian catatan bahwa turunan sin adalah cos, turunan cos adalah -sin dan lain sebagainya.
Namun tanpa adanya pembuktian apapun darimana asal muasal itu semua.
Pembuktian dari turunan fungsi trigonometri sebenarnya cukup mudah dan sederhana.
Hal perlu kalian lakukan untuk pembuktian dari fungsi trigonometri adalah kembalikan ke konsep awal dari definisi turunan fungsi.
Definisi Turunan Fungsi
Jika $f'(x)$ merupakan turunan pertama dari $f(x)$ maka :$
f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
$
Metode mendapatkan fungsi turunan dengan menggunakan limit di atas biasa kita sebut dengan turunan metode definisi limit.
Tanpa berlama - lama lagi, yuk kita akan lakukan pembuktian untuk masing - masing dari turunan sin cos dan tangen $x$.
Pembuktian Turunan $\sin x$
Sebuah fungsi trigonometri sin atau lebih lengkapnya fungsi sinus memiliki bentuk dasar $f(x)= \sin x$.Untuk melakukan pembuktian fungsi sin, ada satu hal yang kita perlukan dalam proses perhitungannya.
Kita akan memerlukan rumus jumlah sudut fungsi trigonometri untuk menjabarkan bentuk sin nya.
Ingat kembali bahwa :
$\sin (A+B)=\sin A \cos B + \cos A \sin B$
Sehingga,
$f(x)= \sin x$
$ \begin{align} f(x+h) &= \sin (x+h) \\ & =\sin x \cos h + \cos x \sin h \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} f'(x) &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin (x+h) - \sin x}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin x \cos h - \sin x + \cos x \sin h}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \left( \sin x \dfrac{\cos h - 1}{h} + \cos x \dfrac{\sin h}{h} \right) \\ &= \sin x \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos h - 1}{h} + \cos x \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} \\ &= \sin x (0) + \cos x (1) \\ &= \cos x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\sin x$ melalui pembuktian definisi limit kita dapatkan $f'(x)=\cos x$.
Pembuktian Turunan $\cos x$
Fungsi trigonometri cos atau lebih lengkapnya fungsi cosinus memiliki bentuk dasar $f(x)= \cos x$.Sama seperti tahapan sebelumnya di atas untuk melakukan pembuktian fungsi cos, ada satu hal yang kita perlukan dalam proses perhitungannya.
Kita akan memerlukan rumus jumlah sudut fungsi trigonometri untuk menjabarkan bentuk cos nya.
Ingat kembali bahwa :
$\cos (A+B)=\cos A \cos B - \cos A \cos B$
Sehingga,
$f(x)= \cos x$
$ \begin{align} f(x+h) &= \cos (x+h) \\ & =\cos x \cos h + \cos x \cos h \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} f'(x) &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos (x+h) - \cos x}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos x \cos h - \sin x \sin h - \cos x}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos x \cos h - \cos x - \sin x \sin h}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos x (\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h} \\ &= \lim\limits_{h \to 0} \left( \cos x \dfrac{\cos h - 1}{h} - \sin x \dfrac{\sin h}{h} \right) \\ &= \cos x \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\sin h}{h} \\ &= \cos x (0) - \sin x (1) \\ &= - \sin x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\cos x$ melalui pembuktian definisi limit kita dapatkan $f'(x)=- \sin x$.
Pembuktian Turunan $\tan x$ atau tangen $x$
Berbeda dengan pembuktian turunan sin dan cos.Untuk melakukan pembuktian fungsi tangen kita akan membutuhkan beberapa hal berikut :
- $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$
- $f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2} x}$
$\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$
Misal :
$u(x)=\sin x \ \to \ u'(x)=\cos x$
$v(x)=\cos x \ \to \ v'(x)=- \sin x$
Dengan demikian akan kita peroleh,
$ \begin{align} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &=\dfrac{\cos x \cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos^{2} x} \\ &=\dfrac{\cos^{2} x+\sin^{2} x}{\cos^{2} x} \\ &=\dfrac{1}{\cos^{2} x} \\ &= \sec^{2} x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\tan x$ melalui pembuktian pembagian turunan fungsi kita dapatkan $f'(x)= \sec^{2} x$.
Pembuktian Turunan $\csc x$ atau cossec $x$
Fungsi cossec merupakan kebalikan dari fungsi sin.Bisa kita tulis bahwa,
$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$
Sehingga untuk pembuktian turunan dari cossec kita akan pakai pembuktian melalui rumus pembagian turunan fungsi seperti halnya pembuktian tangen sebelumnya.
$\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$
Misal :
$u(x)=1 \ \to \ u'(x)=0$
$v(x)=\sin x \ \to \ v'(x)=\cos x$
Dengan demikian maka,
$ \begin{align} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &=\dfrac{0 (\sin x)-1(\cos x)}{\sin^{2} x} \\ &=\dfrac{-\cos x}{\sin^{2} x} \\ &= -\dfrac{1}{\sin x} \times \dfrac{\cos x}{\sin x} \\ &= -\csc x \cot x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\csc x$ melalui pembuktian pembagian turunan fungsi kita dapatkan $f'(x)= -\csc x \cot x$.
Pembuktian Turunan $\sec x$ atau secan $x$
Fungsi secan merupakan kebalikan dari fungsi cos.Bisa kita tulis bahwa,
$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$
Sehingga untuk pembuktian turunan dari cossec kita akan pakai pembuktian melalui rumus pembagian turunan fungsi seperti halnya pembuktian tangen sebelumnya.
$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}$
Misal :
$u(x)=1 \ \to \ u'(x)=0$
$v(x)=\cos x \ \to \ v'(x)=-\sin x$
Dengan demikian maka,
$ \begin{align} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &=\dfrac{0 (\cos x)-1(-\sin x)}{\cos^{2} x} \\ &=\dfrac{\sin x}{\cos^{2} x} \\ &= \dfrac{1}{\cos x} \times \dfrac{\sin x}{\cos x} \\ &= \sec x \tan x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\sec x$ melalui pembuktian pembagian turunan fungsi kita dapatkan $f'(x)= \sec x \tan x$.
Pembuktian Turunan $\cot x$ atau cotan $x$
Langkah pembuktian dari turunan fungsi $f(x)=\cot x$ hampir sama persis dengan proses turunan tangen.Karena memang bentuk cotan merupakan kebalikan dari tangen.
Sehingga,
$f(x)= \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$
Misal :
$u(x)=\cos x \ \to \ u'(x)=-\sin x$
$v(x)=\sin x \ \to \ v'(x)=\cos x$
Dengan demikian akan kita peroleh,
$ \begin{align} f'(x) &=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &=\dfrac{-\sin x (\sin x) -\cos x(\cos x)}{\sin^{2} x} \\ &=\dfrac{-(\sin^{2} x+\cos^{2} x)}{\sin^{2} x} \\ &=-\dfrac{1}{\sin^{2} x} \\ &=- \csc^{2} x \end{align} $
Jadi terbukti bahwa turunan fungsi trigonometri $f(x)=\cot x$ melalui pembuktian pembagian turunan fungsi kita dapatkan $f'(x)= - \csc^{2} x$.
Penutup
Nah adik - adik sahabat kreatif, itulah tadi beberapa pembuktian dari turunan fungsi trigonometri sin cos dan tangen serta beberapa fungsi lainnya.Kesimpulan dari pembuktian turunan sin cos dan tangen di atas dapat kita rangkum dalam tabel berikut :
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $- \sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^{2} x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x \cot x$ |
| $\sec x$ | $\sec x \tan x$ |
| $\cot x$ | $- \csc^{2} x$ |
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
“Tak perlu takut pada matematika, karena ketakutan hanya akan menghalangi kemajuan dan keberhasilan.” – Anonim
