Cara Merubah Bilangan Kompleks ke Bentuk Eksponen
Ini adalah pembahasan lengkap tentang bagaimana cara mudah mendapatkan bentuk eksponen dari sebuah bilangan kompleks.
Kita sebenarnya sudah pernah bahas lho tentang operasi - operasi pada bilangan kompleks, karena ada baiknya kalian baca bahasan itu dulu sebelum lanjut baca bahasan topik kita kali ini.
Kalian bisa cek tautan topik di bawah postingan ini atau link_in dalam postingan.
Oke, kembali ke topik bahasan.
Pada dasarnya bilangan kompleks memang mempunyai tiga buah bentuk, yaitu : bentuk aljabar sebagai bentuk dasar, bentuk polar dan bentuk eksponensialnya.
Masing - masing bentuk mempunyai makna yang sama atau senilai hanya beda sudut pandang dan pemakaiannya saja.
Lazimnya bilangan kompleks secara aljabar akan dinotasikan sebagai,
Beberapa contoh penulisan sebuah bilangan kompleks dalam bentuk aljabarnya seperti di bawah ini :
Tangensial sudut $\theta$ ini sebenarnya merepresentasikan kemiringan dari sebuah garis yang terbentuk dari posisi $x$ dan $y$ bilangan kompleks tersebut dalam diagram kartesius.
Lebih jelas lagi kalian bisa cek dan perhatikan gambar di bawah ini.
Dengan menggunakan konsep phytagoras dan trigonometri dasar kita bisa mendapatkan nilai $r$ dan $\theta$ yaitu :
$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\theta = arc \ \tan{ \left( \dfrac{y}{x} \right)}$
Sehingga bentuk polar dari sebuah bilangan kompleks $z=x+yi$ adalah :
Karena bentuk eksponensial sebenarnya merupakan bentuk polar yang ditulis dengan lebih ringkas, berdasarkan formula euler.
Sehingga dari bentuk polar
$z = r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$
dapat juga ditulis kembali dalam bentuk eksponen sebagai
Ngga hanya merubah dalam bentuk eksponen, bentuk polar juga sudah kalian pelajari.
Selanjutnya tinggal perbanyak latihan dengan bentuk soal - soal yang lain agar kalian makin paham dan jago lagi.
Kalian bisa cek tautan topik di bawah postingan ini atau link_in dalam postingan.
Oke, kembali ke topik bahasan.
Pada dasarnya bilangan kompleks memang mempunyai tiga buah bentuk, yaitu : bentuk aljabar sebagai bentuk dasar, bentuk polar dan bentuk eksponensialnya.
Masing - masing bentuk mempunyai makna yang sama atau senilai hanya beda sudut pandang dan pemakaiannya saja.
A. Bentuk Aljabar
Bentuk aljabar pada bilangan kompleks merupakan bentuk paling dasar dan paling umum yang kita temui dalam tiap bahasan bilangan kompleks.Lazimnya bilangan kompleks secara aljabar akan dinotasikan sebagai,
$z=x+yi$
Beberapa contoh penulisan sebuah bilangan kompleks dalam bentuk aljabarnya seperti di bawah ini :
- $2+3i$
- $10-i$
- $4i-3$
- $-5i$
- $-7-7i$
B. Bentuk Polar
Seperti halnya sebuah titik dalam sebuah kartesius, bentuk polar pada bilangan kompleks juga melibatkan sebuah sudut $\theta$ di dalamnya.Tangensial sudut $\theta$ ini sebenarnya merepresentasikan kemiringan dari sebuah garis yang terbentuk dari posisi $x$ dan $y$ bilangan kompleks tersebut dalam diagram kartesius.
Lebih jelas lagi kalian bisa cek dan perhatikan gambar di bawah ini.
$r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
$\theta = arc \ \tan{ \left( \dfrac{y}{x} \right)}$
Sehingga bentuk polar dari sebuah bilangan kompleks $z=x+yi$ adalah :
$z=r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$
Contoh Soal :
Bentuk polar dari bilangan kompleks $z=2\sqrt{3}+2i$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 2(\cos{30^{\circ}}+i\sin{30^{\circ}}) \\ & (B) \ 4(\cos{30^{\circ}}+i\sin{30^{\circ}}) \\ & (C) \ -2(\sin{30^{\circ}}+i\cos{30^{\circ}}) \\ & (D) \ 2(\sin{30^{\circ}}+i\cos{30^{\circ}}) \\ & (E) \ -4(\cos{60^{\circ}}+i\sin{60^{\circ}}) \end{align} $
$ \begin{align} & (A) \ 2(\cos{30^{\circ}}+i\sin{30^{\circ}}) \\ & (B) \ 4(\cos{30^{\circ}}+i\sin{30^{\circ}}) \\ & (C) \ -2(\sin{30^{\circ}}+i\cos{30^{\circ}}) \\ & (D) \ 2(\sin{30^{\circ}}+i\cos{30^{\circ}}) \\ & (E) \ -4(\cos{60^{\circ}}+i\sin{60^{\circ}}) \end{align} $
Langkah pertama kita cari nilai masing - masing dari $r$ dan $\theta$,
$ \begin{align} r &= \sqrt{\left( 2\sqrt{3} \right)^{2}+2^{2}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4 \end{align} $
$ \begin{align} \theta &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{2}{2\sqrt{3}} \right)} \\ &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \right)} \\ &= 30^{\circ} \end{align} $
Sehingga bentuk polar dari $z=2\sqrt{3}+2i$ adalah,
$ \begin{align} z &= r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) \\ &= 4(\cos{30^{\circ}} + i\sin{30^{\circ}}) \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ 4(\cos{30^{\circ}}+i\sin{30^{\circ}})$.
$ \begin{align} r &= \sqrt{\left( 2\sqrt{3} \right)^{2}+2^{2}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4 \end{align} $
$ \begin{align} \theta &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{2}{2\sqrt{3}} \right)} \\ &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \right)} \\ &= 30^{\circ} \end{align} $
Sehingga bentuk polar dari $z=2\sqrt{3}+2i$ adalah,
$ \begin{align} z &= r(\cos{\theta}+i\sin{\theta}) \\ &= 4(\cos{30^{\circ}} + i\sin{30^{\circ}}) \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ 4(\cos{30^{\circ}}+i\sin{30^{\circ}})$.
C. Bentuk Eksponensial
Dengan mendapatkan bentuk polar sebuah bilangan kompleks, bentuk tersebut bisa kita ubah lagi menjadi bentuk eksponen.Karena bentuk eksponensial sebenarnya merupakan bentuk polar yang ditulis dengan lebih ringkas, berdasarkan formula euler.
Sehingga dari bentuk polar
$z = r(\cos{\theta}+i\sin{\theta})$
dapat juga ditulis kembali dalam bentuk eksponen sebagai
$z=r \ e^{i \theta}$
Contoh Soal :
Bentuk eksponen dari bilangan kompleks $z=1+i$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 2\ e^{i 30^{\circ}} \\ & (B) \ 4\ e^{i 45^{\circ}} \\ & (C) \ \sqrt{2}\ e^{i 30^{\circ}} \\ & (D) \ \sqrt{2}\ e^{i 45^{\circ}} \\ & (E) \ -4\ e^{i 60^{\circ}} \end{align} $
$ \begin{align} & (A) \ 2\ e^{i 30^{\circ}} \\ & (B) \ 4\ e^{i 45^{\circ}} \\ & (C) \ \sqrt{2}\ e^{i 30^{\circ}} \\ & (D) \ \sqrt{2}\ e^{i 45^{\circ}} \\ & (E) \ -4\ e^{i 60^{\circ}} \end{align} $
Langkah pertama tetap sama seperti pada contoh soal sebelumnya.
Kita wajib cari dulu berapa nilai dari $r$ dan besaran $\theta$ untuk bilangan kompleks $z=1+i$.
$ \begin{align} r &= \sqrt{1^{2}+1^{2}} \\ &= \sqrt{2} \end{align} $
$ \begin{align} \theta &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{1}{1} \right)} \\ &= arc \ \tan{(1)} \\ &= 45^{\circ} \end{align} $
Sehingga bentuk eksponennya adalah
$ \begin{align} z &= r \ e^{i \theta} \\ &= \sqrt{2} \ e^{i 45^{\circ}} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D) \ \sqrt{2}\ e^{i 45^{\circ}}$.
Kita wajib cari dulu berapa nilai dari $r$ dan besaran $\theta$ untuk bilangan kompleks $z=1+i$.
$ \begin{align} r &= \sqrt{1^{2}+1^{2}} \\ &= \sqrt{2} \end{align} $
$ \begin{align} \theta &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{1}{1} \right)} \\ &= arc \ \tan{(1)} \\ &= 45^{\circ} \end{align} $
Sehingga bentuk eksponennya adalah
$ \begin{align} z &= r \ e^{i \theta} \\ &= \sqrt{2} \ e^{i 45^{\circ}} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D) \ \sqrt{2}\ e^{i 45^{\circ}}$.
Bentuk eksponen dari bilangan kompleks $z=2\sqrt{3}+2i$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 2 \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (B) \ 4 \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (C) \ 2 \sqrt{3} \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (D) \ -2 \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (E) \ -4 \ e^{i 30^{\circ}} \end{align} $
$ \begin{align} & (A) \ 2 \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (B) \ 4 \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (C) \ 2 \sqrt{3} \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (D) \ -2 \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (E) \ -4 \ e^{i 30^{\circ}} \end{align} $
Langkah pertama kita cari nilai masing - masing dari $r$ dan $\theta$,
$ \begin{align} r &= \sqrt{\left( 2\sqrt{3} \right)^{2}+2^{2}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4 \end{align} $
$ \begin{align} \theta &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{2}{2\sqrt{3}} \right)} \\ &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \right)} \\ &= 30^{\circ} \end{align} $
Sehingga bentuk eksponen dari $z=2\sqrt{3}+2i$ adalah,
$ \begin{align} z &= r \ e^{i \theta} \\ &= 4 \ e^{i 30^{\circ}} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ 4 \ e^{i 30^{\circ}}$.
$ \begin{align} r &= \sqrt{\left( 2\sqrt{3} \right)^{2}+2^{2}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4 \end{align} $
$ \begin{align} \theta &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{2}{2\sqrt{3}} \right)} \\ &= arc \ \tan{ \left( \dfrac{1}{3} \sqrt{3} \right)} \\ &= 30^{\circ} \end{align} $
Sehingga bentuk eksponen dari $z=2\sqrt{3}+2i$ adalah,
$ \begin{align} z &= r \ e^{i \theta} \\ &= 4 \ e^{i 30^{\circ}} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ 4 \ e^{i 30^{\circ}}$.
Bentuk eksponen dari bilangan kompleks $z=2(\sin{60^{\circ}}+i\cos{60^{\circ}})$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 2 \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (B) \ 2 \ e^{i 45^{\circ}} \\ & (C) \ 2 \ e^{i 60^{\circ}} \\ & (D) \ 2 \ e^{i 90^{\circ}} \\ & (E) \ 2 \ e^{i 120^{\circ}} \end{align} $
$ \begin{align} & (A) \ 2 \ e^{i 30^{\circ}} \\ & (B) \ 2 \ e^{i 45^{\circ}} \\ & (C) \ 2 \ e^{i 60^{\circ}} \\ & (D) \ 2 \ e^{i 90^{\circ}} \\ & (E) \ 2 \ e^{i 120^{\circ}} \end{align} $
Dari bentuk $z=2(\sin{60^{\circ}}+i\cos{60^{\circ}})$ dapat kita dapatkan,
$r=2$ dan
$\theta = 60^{\circ}$
Sehingga bentuk eksponennya adalah
$ \begin{align} z &= r \ e^{i \theta} \\ &= 2 \ e^{i 60^{\circ}} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C) \ 2 \ e^{i 60^{\circ}} $.
$r=2$ dan
$\theta = 60^{\circ}$
Sehingga bentuk eksponennya adalah
$ \begin{align} z &= r \ e^{i \theta} \\ &= 2 \ e^{i 60^{\circ}} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C) \ 2 \ e^{i 60^{\circ}} $.
Penutup
Auto mudah kan merubah bilangan kompleks ke bentuk eksponen setelah baca pembahasan di atas.Ngga hanya merubah dalam bentuk eksponen, bentuk polar juga sudah kalian pelajari.
Selanjutnya tinggal perbanyak latihan dengan bentuk soal - soal yang lain agar kalian makin paham dan jago lagi.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
"Seribu orang tua bisa bermimpi, satu orang pemuda bisa mengubah dunia." – Ir.Soekarno
