Trik Mudah Menyelesaikan Persamaan Eksponen
Ini adalah pembahasan lengkap bagaimana kalian bisa dengan mudah menyelesaikan soal - soal persamaan eksponen tanpa pusing lagi.
Persamaan eksponen adalah materi yang wajib kalian kuasai terlebih jika kalian sudah dibangku SMA, karena materi eksponen merupakan salah satu materi yang langganan keluar dalam UTBK-SNBT.
Dengan berbekal definisi dan sifat - sifat eksponen yang tentu saja harus kalian pahami maka menyelesaikan persamaan eksponen bisa kita lakukan hanya dalam hitungan detik.
Lebih mudah lagi jika kita paham dengan jenis - jenis dari persamaan eksponen.
Yup.. kalian ngga salah baca, kali ini kita akan bahas 4 bentuk persamaan eksponen yang paling umum dan wajib kita kuasai.
Bentuk pertama dari persamaan eksponen di atas didasarkan pada salah satu sifat eksponen bahwa $a^{0}=1$.
Menyelesaikan persamaan eksponen bentuk ketiga ini kita perlu menyamakan basis atau bilangan pokok dari kedua ruas sehingga berlaku kesamaan yang mengakibatkan pangkat kedua ruas menjadi senilai.
Pada dasarnya hampir sama dengan bentuk kedua dimana kita perlu menyamakan basis pada kedua ruas sehingga kedua fungsi yang bertindak sebagai pangkat pada kedua ruas bisa senilai satu sama lain.
Karena beda basis pada kedua ruas maka menyelesaikan bentuk persamaan ini ialah dengan cara menyamakan kedua ruas menjadi sama - sama bernilai 1 dengan menyamadengankan pangkat kedua ruas dengan nol.
Jika kita tahu jenis - jenisnya ternyata menyelesaikan persamaan eksponen itu asli mudah bukan.
Perbanyak latihan dengan bentuk soal - soal yang lain agar kalian makin paham dan jago lagi.
Dengan berbekal definisi dan sifat - sifat eksponen yang tentu saja harus kalian pahami maka menyelesaikan persamaan eksponen bisa kita lakukan hanya dalam hitungan detik.
Lebih mudah lagi jika kita paham dengan jenis - jenis dari persamaan eksponen.
Yup.. kalian ngga salah baca, kali ini kita akan bahas 4 bentuk persamaan eksponen yang paling umum dan wajib kita kuasai.
Persamaan Eksponen Bentuk I
Jika $a \gt 0$ dan $a \ne 1$ memenuhi
$a^{f(x)}=1$ maka $f(x)=0$.
$a^{f(x)}=1$ maka $f(x)=0$.
Bentuk pertama dari persamaan eksponen di atas didasarkan pada salah satu sifat eksponen bahwa $a^{0}=1$.
Contoh Soal :
Jumlah nilai semua $x$ yang memenuhi persamaan eksponen $2^{x^{2}-x-6}=1$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 2 \\ & (B) \ 1 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ -1 \\ & (E) \ -2 \end{align} $
$ \begin{align} & (A) \ 2 \\ & (B) \ 1 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ -1 \\ & (E) \ -2 \end{align} $
$2^{x^{2}-x-6}=1$ maka $x^{2}-x-6=0$.
Langkah berikutnya dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat kita bisa selesaikan dengan cara memfaktorkannya untuk mendapatkan semua nilai $x$ dari persamaan tersebut.
$ \begin{align} x^{2}-x-6 &= 0 \\ (x-3)(x+2) &= 0 \\ x=3 \ \text{atau} \ x &= -2 \end{align} $
Sehingga jumlah semua nilai $x$ nya adalah
$ \begin{align} x_{1}+x_{2} &= 3+(-2) \\ &= -1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D) \ -1 $.
Langkah berikutnya dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat kita bisa selesaikan dengan cara memfaktorkannya untuk mendapatkan semua nilai $x$ dari persamaan tersebut.
$ \begin{align} x^{2}-x-6 &= 0 \\ (x-3)(x+2) &= 0 \\ x=3 \ \text{atau} \ x &= -2 \end{align} $
Sehingga jumlah semua nilai $x$ nya adalah
$ \begin{align} x_{1}+x_{2} &= 3+(-2) \\ &= -1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D) \ -1 $.
Persamaan Eksponen Bentuk II
Jika $a \gt 0$ dan $a \ne 1$ memenuhi $a^{f(x)}=a^{b}$ maka $f(x)=b$.
Menyelesaikan persamaan eksponen bentuk ketiga ini kita perlu menyamakan basis atau bilangan pokok dari kedua ruas sehingga berlaku kesamaan yang mengakibatkan pangkat kedua ruas menjadi senilai.
Contoh Soal :
Jika $2^{3a+1}=128$ dan $3^{b-5}=243$ maka nilai dari $a^{2}+b^{2}$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 82 \\ & (B) \ 93 \\ & (C) \ 104 \\ & (D) \ 110 \\ & (E) \ 125 \end{align} $
$ \begin{align} & (A) \ 82 \\ & (B) \ 93 \\ & (C) \ 104 \\ & (D) \ 110 \\ & (E) \ 125 \end{align} $
Langkah menyelesaikannya cukup mudah, tinggal samakan basis kedua ruas maka pangkat kedua ruas akan sama besar atau senilai.
$ \begin{align} 2^{3a+1} &= 128 \\ 2^{3a+1} &= 2^{7} \\ \\ \to \ 3a+1 &= 7 \\ 3a &= 6 \\ a &= 2 \end{align} $
Dengan cara yang sama kita akan mencari nilai dari $b$, sehingga :
$ \begin{align} 3^{b-5} &= 243 \\ 3^{b-5} &= 3^{5} \\ \\ \to \ b-5 &= 5 \\ b &= 10 \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} a^{2}+b^{2} &= 2^{2}+10^{2} \\ &= 4 + 100 \\ &= 104 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ 104 $.
$ \begin{align} 2^{3a+1} &= 128 \\ 2^{3a+1} &= 2^{7} \\ \\ \to \ 3a+1 &= 7 \\ 3a &= 6 \\ a &= 2 \end{align} $
Dengan cara yang sama kita akan mencari nilai dari $b$, sehingga :
$ \begin{align} 3^{b-5} &= 243 \\ 3^{b-5} &= 3^{5} \\ \\ \to \ b-5 &= 5 \\ b &= 10 \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} a^{2}+b^{2} &= 2^{2}+10^{2} \\ &= 4 + 100 \\ &= 104 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ 104 $.
Persamaan Eksponen Bentuk III
Jika $a \gt 0$ dan $a \ne 1$ memenuhi $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$.
Pada dasarnya hampir sama dengan bentuk kedua dimana kita perlu menyamakan basis pada kedua ruas sehingga kedua fungsi yang bertindak sebagai pangkat pada kedua ruas bisa senilai satu sama lain.
Contoh Soal :
Jika $x \gt -3$ dan memenuhi $3^{x^{2}+3x+4}=9^{-x-1}$ maka $x+2=$...
$ \begin{align} & (A) \ -2 \\ & (B) \ -1 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ 1 \\ & (E) \ 2 \end{align} $
$ \begin{align} & (A) \ -2 \\ & (B) \ -1 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ 1 \\ & (E) \ 2 \end{align} $
Dengan menggunakan sifat - sifat eksponen kita akan samakan basis kedua ruas menjadi sama - sama berbasis 3.
$ \begin{align} 3^{x^{2}+3x+4} &= 9^{-x-1} \\ 3^{x^{2}+3x+4} &= 3^{-2x-2} \\ \\ \to \ x^{2}+3x+4 &= -2x-2 \\ x^{2}+5x+6 &= 0 \\ (x+2)(x+3) &= 0 \\ x = -2 \ \text{atau} \ x &=-3 \end{align} $
Karena $x$ yang memenuhi haruslah $x \gt -3$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=-2$.
Sehingga,
$ \begin{align} x+2 &= -2+2 \\ &= 0 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ 0 $.
$ \begin{align} 3^{x^{2}+3x+4} &= 9^{-x-1} \\ 3^{x^{2}+3x+4} &= 3^{-2x-2} \\ \\ \to \ x^{2}+3x+4 &= -2x-2 \\ x^{2}+5x+6 &= 0 \\ (x+2)(x+3) &= 0 \\ x = -2 \ \text{atau} \ x &=-3 \end{align} $
Karena $x$ yang memenuhi haruslah $x \gt -3$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=-2$.
Sehingga,
$ \begin{align} x+2 &= -2+2 \\ &= 0 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ 0 $.
Persamaan Eksponen Bentuk IV
Jika $a,b \gt 0$ dan $a,b \ne 1$ memenuhi $a^{f(x)}=b^{f(x)}$ maka $f(x)=0$.
Karena beda basis pada kedua ruas maka menyelesaikan bentuk persamaan ini ialah dengan cara menyamakan kedua ruas menjadi sama - sama bernilai 1 dengan menyamadengankan pangkat kedua ruas dengan nol.
Contoh Soal :
Jumlah semua nilai $x$ yang memenuhi persamaan
$2^{x^{2}-7x+7}=5^{x^{2}-7x+7}$
adalah...
$ \begin{align} & (A) \ -7 \\ & (B) \ -5 \\ & (C) \ -3 \\ & (D) \ 5 \\ & (E) \ 7 \end{align} $
$2^{x^{2}-7x+7}=5^{x^{2}-7x+7}$
adalah...
$ \begin{align} & (A) \ -7 \\ & (B) \ -5 \\ & (C) \ -3 \\ & (D) \ 5 \\ & (E) \ 7 \end{align} $
Dengan menggunakan konsep jumlah akar pada persamaan kuadrat yaitu $x_{1}+x_{2} = -\dfrac{b}{a}$ maka kita akan selesaikan persamaan eksponennya.
$ \begin{align} x^{2}-7x+7 &= 0 \\ x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{(-7)}{1} \\ &= 7 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ 7 $.
$ \begin{align} x^{2}-7x+7 &= 0 \\ x_{1}+x_{2} &= -\dfrac{b}{a} \\ &= -\dfrac{(-7)}{1} \\ &= 7 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ 7 $.
Penutup
Nah bagaimana setelah mengikuti pembahasan di atas?Jika kita tahu jenis - jenisnya ternyata menyelesaikan persamaan eksponen itu asli mudah bukan.
Perbanyak latihan dengan bentuk soal - soal yang lain agar kalian makin paham dan jago lagi.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
"Kamu tidak akan pernah mencapai sukses kecuali jika kamu menyukai apa yang kamu lakukan." – Dale Carnegie
