Logika Matematika : Ingkaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi dan Ekuivalensi
Ini adalah pembahasan lengkap mengenai ingkaran(negasi) pernyataan majemuk berbentuk konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi serta ekuivalensi(kesetaraan) dari suatu pernyataan.
Buat kamu yang masih bingung dan asing dengan istilah - istilah yang akan kita bahas dalam logika matematika silahkan buka dulu tautan link di bawah ini ya.
Tidak ada salahnya kita ingat lagi sepintas ya apa sih yang dimaksud dengan Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi?
Konjungsi $\to$ jenis pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "dan".
Konjungsi dinotasikan dengan tanda "$\wedge$".
Disjungsi $\to$ jenis pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "atau".
Disjungsi dinotasikan dengan tanda "$\vee$".
Biimplikasi $\to$ jenis pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung "jika dan hanya jika".
Biimplikasi merupakan gabungan dari dua implikasi.
Biimplikasi dinotasikan dengan tanda "$\iff$".
Nah bagaimanakah ingkaran dari konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi?
Apakah semudah menambahkan kata "tidak" di depan pernyataannya.
Mengingat ingkaran yang berarti sangkalan, tentu saja harusnya akan mengandung kata "tidak".
Untuk lebih jelasnya perhatikan rumus - rumus di bawah ini.
Lho kok ada rumusnya???
Iya dong ada rumusnya, agar memudahkan kalian dalam menyusun ingkaran(negasi)nya.
Rumus Ingkaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi
- $\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$
- $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$
- $\sim (p \to q) \equiv p \wedge \sim q$
- $\sim (p \iff q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$
Tanda "$ \ \equiv \ $" berarti ekuivalen atau setara.
Rumus Invers, Konvers dan Kontraposisi
Dari pernyataan implikasi yang berbentuk $(p \to q)$ maka bisa kita dapatkan :
Invers : $\sim p \to \sim q$
Konvers : $q \to p$
Kontraposisi : $\sim q \to \sim p$
Contoh Soal dan Pembahasan Ingkaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi dan Biimplikasi
(A) Ani adalah contoh mahasiswa yang tidak sukses menjalani profesi sebagai blogger dan online seller
(B) Jika Ani adalah mahasiswa maka Ani tidak sukses menjalani profesi sebagai blogger atau online seller(C) Ani adalah bukan contoh mahasiswa yang sukses menjalani profesi sebagai blogger dan online seller
(D) Ani adalah contoh mahasiswa yang tidak sukses menjalani profesi sebagai blogger atau online seller(E) Mahasiswa yang sukses menjalani profesi sebagai blogger dan online seller adalah tidak Ani.
Ani adalah contoh mahasiswa yang sukses menjalani profesi sebagai blogger dan online seller.
Pernyataan di atas merupakan pernyataan majemuk yang berbentuk konjungsi.
Jika kita pisah masing - masing premis nya maka kita dapatkan,
$p$ : Ani adalah contoh mahasiswa yang sukses menjalani profesi sebagai blogger.
$q$ : Ani adalah contoh mahasiswa yang sukses menjalani profesi sebagai online seller.
Ingkaran dari sebuah konjungsi adalah :
$\sim (p \wedge q) \equiv \sim p \vee \sim q$
Sehingga ingkarannya (negasi) adalah :
Ani adalah contoh mahasiswa yang tidak sukses menjalani profesi sebagai blogger atau Ani adalah contoh mahasiswa yang tidak sukses menjalani profesi sebagai online seller.
Bisa kita sederhanakan kalimatnya menjadi,
Jika Ani adalah mahasiswa maka Ani tidak sukses menjalani profesi sebagai blogger atau online seller.
Jadi pilihan yang benar adalah (B).
2. Negasi dari pernyataan "Ikan paus adalah mamalia air atau ikan yang tidak bersisik" adalah...
(A) Jika ikan paus adalah mamalia air maka ia tidak bersisik.
(B) Ikan paus adalah mamalia air jika dan hanya jika ikan paus tidak bersisik.
(C) Ikan paus adalah mamalia air dan ikan paus bersisik.
(D) Ikan paus adalah bukan mamalia air dan ikan paus bersisik.
(E) Jika ikan paus tidak bersisik maka ikan paus bukan mamalia air.
Ikan paus adalah mamalia air atau ikan yang tidak bersisik
Pernyataan tersebut berbentuk disjungsi dengan premis - premis.
$p$ : Ikan paus adalah mamalia air.
$q$ : Ikan paus adalah ikan yang tidak bersisik.
Negari dari disjungsi adalah : $\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$
$\sim p$ : Ikan paus adalah bukan mamalia air.
$\sim q$ : Ikan paus adalah ikan yang bersisik.
Sehingga kita peroleh
Ikan paus adalah bukan mamalia air dan ikan paus bersisik.
Jadi pilihan yang benar adalah (D).
3. Ingkaran dari pernyataan "Jika Adi sakit maka ia pergi ke dokter" adalah...
(A) Jika Adi pergi ke dokter maka ia tidak sakit.
(B) Adi sakit dan ia tidak pergi ke dokter.
(C) Jika Adi tidak pergi ke dokter maka Adi tidak sakit.
(D) Jika Adi tidak sakit maka ia tidak pergi ke dokter.
(E) Adi pergi ke dokter atau ia tidak sakit.
"Jika Adi sakit maka ia pergi ke dokter" adalah pernyataan bentuk implikasi dengan
$p$ : Adi sakit.
$q$ : ia pergi ke dokter.
Rumus ingkaran (negasi) dari implikasi adalah :
$\sim (p \to q) \equiv p \wedge \sim q$
Sehingga jawaban yang tepat adalah :
Adi sakit dan ia tidak pergi ke dokter.
Jadi pilihan yang benar adalah (B).
4. Ingkaran dari pernyataan "Kelas 12 IPA 1 tidak juara atau dihukum oleh wali kelas" adalah...
(A) Kelas 12 IPA 1 juara dan tidak dihukum oleh wali kelas.
(B) Jika kelas 12 IPA 1 juara maka tidak dihukum oleh wali kelas.
(C) Kelas 12 IPA 1 juara dan dihukum oleh wali kelas.
(D) Kelas 12 IPA 1 juara jika dan hanya jika dihukum oleh wali kelas.
(E) Kelas 12 IPA 1 juara atau atau dihukum oleh wali kelas.
Pernyataan "Kelas 12 IPA 1 tidak juara atau dihukum oleh wali kelas" adalah pernyataan disjungsi yang akan mempunyai ingkaran berbentuk :
$\sim (p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$
$p$ : Kelas 12 IPA 1 tidak juara.
$q$ : Kelas 12 IPA 1 dihukum oleh wali kelas.
$\sim p$ : Kelas 12 IPA 1 juara.
$\sim q$ : Kelas 12 IPA 1 tidak dihukum oleh wali kelas.
Sehingga pernyataan ingkarannya adalah :
Kelas 12 IPA 1 juara dan tidak dihukum oleh wali kelas.
Jadi pilihan yang benar adalah (A).
5. Ingkaran dari biimplikasi " $^{a}\textrm{log} \ {b}={c}$ jika dan hanya jika $a^{c}=b$ " adalah...
(A) Jika $^{a}\textrm{log} \ {b}={c}$ maka jika $a^{c}=b$
(B) $a^{c}=b$ jika dan hanya jika $^{a}\textrm{log} \ {b}={c}$
(C) Jika $^{a}\textrm{log} \ {b}={c}$ atau $a^{c}=b$
(D) $^{a}\textrm{log} \ {b}={c}$ dan tidak $a^{c}=b$
(E)
Rumus mencari ingkaran dari biimplikasi adalah :
$\sim (p \iff q) \equiv (p \wedge \sim q) \vee (q \wedge \sim p)$
Berdasarkan soal kita dapat bahwa
$p$ : $^{a}\textrm{log} \ {b}={c}$
$q$ : $a^{c}=b$
Berdasarkan susunan rumus ingkaran biimplikasi kita akan dapatkan
$^{a}\textrm{log} \ {b}={c}$ dan tidak $a^{c}=b$ atau $a^{c}=b$ dan tidak $^{a}\textrm{log} \ {b}={c}$
Jadi pilihan yang benar adalah (E).
Setelah belajar mengenai ingkaran (negasi) keempat pernyataan majemuk : konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.
Selanjutkan kita akan belajar yang namanya ekuivalensi (kesetaraan)
Ekuivalensi Pernyataan (Kesetaraan)
Ekuivalensi Pernyataan (Kesetaraan) $\to$ dua buah pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Jadi kita diketahui ada pernyataan $p$ dan $q$, maka kedua pernyataan tersbut dikatakan ekuivalen jika $p$ dan $q$ sama - sama bernilai benar (B) atau sama - sama bernilai salah (S).
Rumus Ekuivalensi Pernyataan Majemuk
- $(p \vee q) \equiv (\sim p \to q) \equiv (\sim q \to p)$
- $(p \to q) \equiv (\sim p \vee q) \equiv (\sim q \to \sim p)$
- $(p \iff q) \equiv (p \to q) \wedge (q \to p)$
- $(p \iff q) \equiv (\sim p \vee q) \wedge (\sim q \vee p)$
Contoh Soal dan Pembahasan Ekuivalensi Pernyataan Majemuk
(A) Hari ini macet dan jalanan banyak polisi.
(B) Hari ini tidak macet maka jalanan banyak polisi.
(C) Hari ini tidak macet atau jalanan banyak polisi.
(D) Jika hari ini tidak macet maka jalanan tidak banyak polisi.
(E) Jika jalanan tidak banyak polisi maka hari ini macet.
$p$ : hari ini macet.
$q$ : jalanan banyak polisi.
Rumus ekuivalensi dari implikasi adalah :
$(p \to q) \equiv (\sim p \vee q) \equiv (\sim q \to \sim p)$
Sehingga pernyataan yang setara adalah :
Hari ini tidak macet atau jalanan banyak polisi.
Jadi pernyataan yang benar adalah (C)
(A) Jika Ani tidak suka bunga mawar maka Ani suka tas merah jambu.
(B) Ani suka bunga mawar dan tidak tas merah jambu
(C) Ani tidak suka bunga mawar dan tas merah jambu
(D) Jika Ani suka bunga mawar maka Ani tidak suka tas merah jambu
(E) Ani suka bunga mawar atau tas merah jambu
$p$ : Ani suka bunga mawar
$q$ : Ani suka tas merah jambu
Rumus ekuivanesi dari bentuk disjungsi $(p \vee q)$ adalah
$(p \vee q) \equiv (\sim p \to q) \equiv (\sim q \to p)$
Sehingga kita bisa dapatkan bentuk yang setara dengan pernyataan tersebut adalah
$(\sim p \to q)$ : Jika Ani tidak suka bunga mawar maka Ani suka tas merah jambu.
3. Pernyataan yang setara dengan "Jika tidak semua siswa kelas 12 IPA lulus SNMPTN maka sekolah akan melakukan evaluasi menyeluruh" adalah...
(A) Jika ada siswa kelas 12 IPA lulus SNMPTN maka sekolah tidak akan melakukan evaluasi menyeluruh.
(B) Jika sekolah akan melakukan evaluasi menyeluruh maka tidak semua siswa kelas 12 IPA lulus SNMPTN.
(C) Jika sekolah tidak akan melakukan evaluasi menyeluruh maka tidak ada siswa kelas 12 IPA lulus SNMPTN.
(D) Ada siswa kelas 12 IPA lulus SNMPTN dan sekolah melakukan evaluasi menyeluruh.
(E) Semua siswa kelas 12 IPA lulus SNMPTN dan sekolah tidak melakukan evaluasi menyeluruh.
Jika kita analisis satu persatu maka pernyataan dalam soal bisa kita pilah menjadi
$p$ : Tidak semua siswa kelas 12 IPA lulus SNMPTN
$q$ : Sekolah akan melakukan evaluasi menyeluruh
Perlu diperhatikan juga bahwa pernyataan $p$ mengandung kuantor universal "semua".
Sehingga bila kita ubah menjadi bentuk notasi kita akan dapatkan bentuk
$\underbrace{\text{tidak semua siswa kelas 12 IPA lulus SNMPTN}}_{\sim \forall p}$ maka
$\underbrace{\text{sekolah akan melakukan evaluasi menyeluruh}}_{q}$
Ingat kembali bentuk yang setara implikasi
$(p \to q) \equiv (\sim p \vee q)$
Oleh karena itu bentuk yang setara dengan $(\sim \forall p \to q)$ adalah :
$ \begin{align} (\sim \forall p \to q) & \equiv (\sim(\sim \forall p) \vee q) \\ & \equiv (\exists p \wedge q) \end{align}$
Bentuk $(\exists p \wedge q)$ bisa kita tulis :
Ada siswa kelas 12 IPA lulus SNMPTN dan sekolah melakukan evaluasi menyeluruh.
Jadi pilihan jawaban yang tepat adalah (D)
4. Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran yang setara dengan "Jika hari tidak hujan maka Budi tidak bawa payung" adalah...
(A) Jika hari hujan maka Budi bawa payung.
(B) Ada hari tidak hujan dan Budi bawa payung.
(C) Hari tidak hujan dan Budi bawa payung.
(D) Hari tidak hujan jika dan hanya jika Budi tidak bawa payung.
(E) Jika Budi bawa payung maka hari hujan.
Langkah pertama ayo kita rubah menjadi dalam bentuk notasi $p$ dan $q$.
Jika $\underbrace{\text{hari tidak hujan}}_{\sim p}$ maka $\underbrace{\text{Budi tidak bawa payung}}_{\sim q}$.
Kita akan tetap memakai acuan ekuivalensi dari implikasi yaitu :
$(p \to q) \equiv (\sim p \vee q) \equiv (\sim q \to \sim p)$
Sehingga kita bisa peroleh,
$ \begin{align} (\sim p \to \sim q) & \equiv \sim(\sim q) \to \sim(\sim p) \\ & \equiv (q \to p) \end{align} $
Bentuk $(q \to p)$ bisa kita tulis : Jika Budi bawa payung maka hari hujan.
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (E)
5. Pernyataan yang setara dengan "Jika Wati suka main game maka ia tidak lulus UTBK" adalah...
(A) Wati suka main game dan ia tidak lulus UTBK.
(B) Jika Wati lulus UTBK maka Wati tidak suka main game.
(C) Wati suka main game atau ia lulus UTBK.
(D) Jika Wati suka main game maka ia lulus UTBK.
(E) Wati tidak lulus UTBK atau ia suka main game
Jika Wati suka main game maka ia tidak lulus UTBK adalah pernyataan berbentuk implikasi.
Pernyataan tersebut punya bentuk notasi $p$ dan $q$ :
Jika $\underbrace{\text{Wati suka main game}}_{p} $ maka $\underbrace{\text{ia tidak lulus UTBK}}_{\sim q}$
Ingat implikasi $(p \to q) \equiv (\sim q \to \sim p)$
Sehingga kita akan peroleh,
$ \begin{align} (p \to \sim q) & \equiv (\sim(\sim q) \to \sim p) \\ & \equiv (q \to \sim p) \end{align} $
Bentuk $(q \to \sim p)$ : Jika ia(Wati) lulus UTBK maka Wati tidak suka main game.
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah (B)
Penutup
Nah sahabat kreatif, itu lah pembahasan Logika Matematika : Ingkaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi dan Ekuivalensi.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
