Kenalan Yuk Sama Faktorial Biar Ngga Menyesal
Ini adalah pembahasan lengkap tentang kaidah dan operasi faktorial biar kalian ngga menyesal dikemudian hari.
 |
| Pengertian Faktorial dan Contoh Soal Kamu Wajib Tahu - gambar by Offidocs |
Kenalan dulu lha ya, baca dan pahami pembahasan kita kali ini.
Pengertian Faktorial
Nilai faktorial dari suatu bilangan $n$ adalah perkalian bilangan asli yang kurang atau sama dengan $n$.
Operasi faktorial dalam matematika dilambangkan dengan notasi tanda seru "$!$".
Jadi jika ada $n!$ artinya dibaca "$n$ faktorial".
$ \begin{align} n! &=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 1 \end{align} $
Jadi misalkan nih berapa nilai dari $5!$ ?
Itu artinya adalah
$ \begin{align} 5! &=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ &=120 \end{align} $
Nah... biar lebih mudah dalam mengerjakan soal yang berkaitan dengan konsep faktorial ada baiknya kalian tahu nilai - nilai faktorial dari $1$ sampai dengan $7$ faktorial berikut :
$ \begin{align} 1!&=1 \\ 2!&=2 \times 1 \ =2 \\ 3!&=3 \times 2 \times 1 \ =6 \\ 4!&=4 \times 3 \times 2 \times 1 \ =24 \\ 5!&=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \ =120 \\ 6!&=6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \ =720 \\ 7!&=7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \ =5040 \\ \end{align} $Lalu kok ngga ada $0$ faktorial ???
Nol faktorial sebenarnya ada, karena dalam soal tak jarang kita akan bertemu dengan $0!$.
Nilai dari $0!$ adalah 1.
Gimana caranya???
Tenang kita sudah pernah bahas kok pembuktian kenapa nol faktorial itu sama dengan 1. Cek aja ya di bawah postingan ini dan bisa kalian baca kembali.
Contoh Soal dan Pembahasan Operasi Faktorial
No. 1
Nilai dari $4!+5!+6!$ adalah...
$
\begin{align}
(A) \ 36(4!) \\
(B) \ 15!(1) \\
(C) \ 16(5!) \\
(D) \ 16(6!) \\
(E) \ 2(11!) \\
\end{align}
$
Gunakan saja sifat distributif operasi aljabar, masalah terpecahkan dengan mudah.
$
\begin{align}
4!+5!+6!&=4!+4! \cdot 5+4! \cdot 5 \cdot 6 \\
&=4!(1+5+30) \\
&=36(4!)
\end{align}
$
Jadi pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A) \ 36(4!)$
No. 2
Nilai dari $\dfrac{3}{4!}+\dfrac{3}{5!}+\dfrac{3}{6!}$ adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{31}{240} \\ (B) \ \dfrac{35}{240} \\ (C) \ \dfrac{37}{240} \\ (D) \ \dfrac{48}{240} \\ (E) \ \dfrac{64}{240} \\ \end{align} $
$
\begin{align}
& \dfrac{3}{4!}+\dfrac{3}{5!}+\dfrac{3}{6!} \\
&=\dfrac{3}{4!}+\dfrac{3}{4! \cdot 5}+\dfrac{3}{4! \cdot 5 \cdot 6} \\
&=\dfrac{3}{4!} \left(1+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{30} \right) \\
&=\dfrac{3}{24} \left(\dfrac{30+6+1}{30} \right) \\
&=\dfrac{37}{240}
\end{align}
$
Jadi pilihan jawaban yang BENAR adalah
$(C) \ \dfrac{37}{240}$
No. 3
Nilai $n$ yang memenuhi persamaan $\dfrac{n!}{(n-1)!}=\dfrac{(n+2)!}{4(n+1)!}$ adalah...
$ \begin{align} (A) \ \dfrac{2}{5} \\ (B) \ \dfrac{4}{7} \\ (C) \ \dfrac{5}{9} \\ (D) \ \dfrac{2}{3} \\ (E) \ \dfrac{7}{6} \\ \end{align} $
Agar bisa dengan mudah kita sederhanakan maka kita pecah atau sederhanakan aja faktorial nya antara pembilang dan penyebut pada masing - masing ruas.
$
\begin{align}
\dfrac{n!}{(n-1)!}&=\dfrac{(n+2)!}{4(n+1)!} \\
\dfrac{(n-1)! \cdot n}{(n-1)!}&=\dfrac{(n+1)!(n+2)}{4(n+1)!} \\
n&=\dfrac{(n+2)}{4} \\
4n&=n+2 \\
3n&=2 \\
n&=\dfrac{2}{3} \\
\end{align}
$
Jadi pilihan jawaban yang BENAR adalah
$(D) \ \dfrac{2}{3}$
No. 4
Jika $n$ adalah suatu bilangan asli yang memenuhi $4 \cdot P(n,3)=24 \cdot C(n,4)$ maka nilai dari $(n+3)$ adalah...
$ \begin{align} (A) \ 14 \\ (B) \ 13 \\ (C) \ 12 \\ (D) \ 11 \\ (E) \ 10 \\ \end{align} $
Ingat kembali rumus permutasi dan kombinasinya dulu ya bestie.
Rumus Permutasi $\\ P(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!}$
Rumus Kombinasi $\\ C(n,r)=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}$
Sederhanakan kedua ruas menggunakan rumus maka,
$
\begin{align}
4 \cdot \dfrac{n!}{(n-3)!}&=24 \cdot \dfrac{n!}{(n-4)!4!} \\
\dfrac{4}{(n-4)!(n-3)}&=\dfrac{1}{(n-4)!} \\
\dfrac{4}{(n-3)}&=1 \\
4&=n-3 \\
n&=7
\end{align}
$
Karena diperoleh $n=7$ maka nilai dari $(n+3)=10$.
$(E) \ 10$.
No. 5
Jika $n$ adalah suatu bilangan asli yang memenuhi $P(n+3,2)=56$ maka nilai $n$ tersebut adalah...
$ \begin{align} (A) \ 5 \\ (B) \ 4 \\ (C) \ 3 \\ (D) \ 2 \\ (E) \ 1 \\ \end{align} $
Langsung kita kerjakan menggunakan rumus permutasi.
$
\begin{align}
\dfrac{(n+3)!}{(n+3-2)!}&=56 \\
\dfrac{(n+1)!(n+2)(n+3)}{(n+1)!}&=56 \\
n^{2}+5n-50&=0 \\
(n+10)(n-5)&=0 \\
\end{align}
$
Nah dari hitungan di atas kita dapatkan dua nilai $n$ ya, yaitu $n=-10$ atau $n=5$.
Namun karena $n$ adalah bilangan asli, maka $n$ pastilah bernilai positif.
Jadi pilihan jawaban yang BENAR adalah
$(A) \ 5$.
Penutup
Nah gimana sudah jelas belum mengenai konsep faktorial?
Tenang next kita akan update lagi soal latihan dan pembahasannya, jadi tetap stay tune di kreatifmatematika.com ya...
Semoga Bermanfaat dan Selamat Belajar !
