Rangkuman Materi Fungsi Logaritma Lengkap
Ini adalah pembahasan materi fungsi logaritma lengkap untuk matematika wajib kelas 10 dan kelas 12 IPA/IPS.
Membahas materi logaritma akan sangat erat kaitannya dengan pembahasan eksponen fungsi.
Yups..logaritma dan eksponen memang ibarat saudara sedarah yang tidak bakal terpisahkan satu sama lain, meskipun punya sifat saling berlawanan alias saling meng-invers dalam matematika.
Daftar Isi
Untuk lebih jauh pembahasan tentang materi logaritma yuk mari kita bedah mulai dari hal yang paling dasar, yaitu definisi logaritma, sifat - sifat logaritma dan seterusnya.
DEFINISI LOGARITMA
dimana $a$ merupakan basis / bilangan pokok logaritma, $a \neq 1$ dan $a \gt 0$.
Sedangkan $b$ disebut dengan numerus, mirip seperti halnya basis nilai numerus juga harus selalu positif, $b \gt 0$.
SIFAT - SIFAT LOGARITMA
Ada beberapa sifat - sifat logaritma yang harus kita pahami agar bisa menyelesaikan soal - soal logaritma dengan mudah.
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x\ -{}^a\!\log y={}^a\!\log \dfrac{x}{y}$
- ${}^{a^{n}}\!\log x^{m}=\dfrac{m}{n}\ {}^a\!\log x$
- ${}^a\!\log x^{n}=n {}^a\!\log x$
- ${}^a\!\log \sqrt[n]{x}=\dfrac{1}{n}\ {}^a\!\log x$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{{}^p\!\log x}{{}^p\!\log a}$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{1}{{}^x\!\log a}$
- ${}^a\!\log x \cdot\ {}^x\!\log b={}^a\!\log b$
- ${}^a\!\log a=1$
- ${}^a\!\log 1=0$
- $a^{{}^a\!\log x}= x$
- $a^{{}^b\!\log c}=c^{{}^b\!\log a}$
GRAFIK FUNGSI LOGARITMA
Bentuk dari grafik fungsi logaritma sangat tergantung dari nilai basis/bilangan pokok dari fungsi logaritma itu sendiri.
Jika nilai $a \gt 1$ maka grafik fungsi logaritma akan monoton naik, sedangkan jika nilai $a$ terletak antara $0$ dan $1$ ($0 \lt a \lt 1$) maka grafik fungsi logaritma akan monoton turun.
Baik keduanya mempunyai garis asimtot tegak yang sama yaitu pada garis $x=0$ (sumbu-y).
PERSAMAAN LOGARITMA
Jika $^{a}\textrm{log}\ {f(x)} \ = \ ^{a}\textrm{log}\ {g(x)}$ maka $f(x)=g(x)$ , dengan syarat $a \neq 1$, $a \gt 0$, $f(x) \gt 0$ dan $g(x) \gt 0$
PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Berbeda dengan persamaan logaritma, pada pertidaksamaan logaritma kita harus lebih berhati - hati lagi karena selain harus memperhatikan syarat basis dan numerus kita juga harus memperhatikan lebih jauh nilai dari basisnya.
Kenapa demikian?
Karena nilai basis juga akan sangat mempengaruhi tanda pertidaksamaannya.
Perhatikan konsep dasar dari pertidaksamaan logaritma berikut ini.
Jika $^{a}\textrm{log}\ {f(x)} \ \gt \ ^{a}\textrm{log}\ {g(x)}$ maka :
- $f(x) \gt g(x)$ , jika $a \gt 1$
- $f(x) \lt g(x)$ , jika $0 \lt a \lt 1$
CONTOH SOAL LOGARITMA DAN PEMBAHASAN LENGKAP
1. Hasil dari $\dfrac{^{2}\textrm{log}\ {36}-^{2}\textrm{log}\ {4}}{^{2}\textrm{log}\ {3}}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{2} \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 3 \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & 4\frac{1}{2} \end{align} $Pembahasan :
Untuk mengerjakan soal ini,kita akan memakai sifat - sifat logaritma dalam pengerjaannya. Terutama adalah sifat :
- ${}^a\!\log x\ -{}^a\!\log y={}^a\!\log \dfrac{x}{y}$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{{}^p\!\log x}{{}^p\!\log a}$
dengan demikian kita akan peroleh :
Jadi, jawaban yang benar adalah (B) $2$
2. Jika $^{2}\textrm{log}\ {6}={n}$ maka nilai dari $^{12}\textrm{log}\ {36}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 6n \\ (B)\ & n+6 \\ (C)\ & \frac{2n}{2n+1} \\ (D)\ & \frac{n+2}{n+1} \\ (E)\ & \frac{2n}{n+1} \end{align} $Pembahasan :
Sifat - sifat logaritma yang akan kita gunakan untuk membantu mengerjakan soal logaritma ini adalah :
- ${}^a\!\log x\ +{}^a\!\log y={}^a\!\log \left (x\cdot y \right )$
- ${}^a\!\log x\ -{}^a\!\log y={}^a\!\log \dfrac{x}{y}$
- ${}^a\!\log x= \dfrac{{}^p\!\log x}{{}^p\!\log a}$
Sehingga akan kita dapatkan,
$ \begin{align} & ^{12}\textrm{log}\ {36} \\ & = \frac{^{2}\textrm{log}\ {36}}{^{2}\textrm{log}\ {12}} \\ & = \frac{2 \ ^{2}\textrm{log}\ {6}}{^{2}\textrm{log}\ {6}+^{2}\textrm{log}\ {2}} \\ & = \frac{2n}{n+1} \end{align} $
Jadi, jawaban yang benar adalah (E) $\frac{2n}{n+1}$
3. Jika $\textrm{log}\ {3}=0.477$ dan $\textrm{log}\ {5}=0.699$ maka nilai dari $\textrm{log}\ {45}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 1.176 \\ (B)\ & 1.431 \\ (C)\ & 1.649 \\ (D)\ & 1.653 \\ (E)\ & 1.954 \end{align} $Pembahasan :
Langkah mudah mengerjakan soal logaritma ini adalah dengan memecah $45$ menjadi kelipatan angka $3$ dan $5$.
$45$ bisa kita faktorkan menjadi $3^{2} \cdot 5$ dengan demikian kita bisa dapatkan,
$ \begin{align} & \textrm{log}\ {45} \\ & = \textrm{log}\ {3^{2} \cdot 5}\\ & = \textrm{log}\ {3^{2}}+\textrm{log}\ {5}\\ & = 2 \cdot \textrm{log}\ {3}+\textrm{log}\ {5}\\ & = 2 (0.477)+0.699\\ & = 1.653 \end{align} $Jadi, jawaban yang benar adalah (D) $1.653$
4. NIlai $x$ yang memenuhi persamaan $ ^{0.25}\textrm{log}\ {x+1}+^{16}\textrm{log}\ {x+3}=0$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 3 \\ (B)\ & 1 \ atau \ -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & -2 \\ (E)\ & 0 \end{align} $Pembahasan :
$ \begin{align} & ^{0.25}\textrm{log}\ {x+1}+^{16}\textrm{log}\ {x+3}=0 \\ & ^{4^{-1}}\textrm{log}\ {x+1}+^{4^{2}}\textrm{log}\ {x+3}=^{4}\textrm{log}\ {1} \\ & ^{4}\textrm{log}\ {(x+1)^{-1}}+^{4}\textrm{log}\ {(x+3)^{\frac{1}{2}}}=^{4}\textrm{log}\ {1} \\ & ^{4}\textrm{log}\ {\frac{\sqrt{x+3}}{x+1}}=^{4}\textrm{log}\ {1} \\ \end{align} $Karena ruas kiri dan kanan basis logartimanya sudah sama , maka numerus kedua ruas juga akan bernilai sama.
Sehingga,
$ \begin{align} & \frac{\sqrt{x+3}}{x+1}=1 \\ & \sqrt{x+3}=x+1 \\ & x+3=x^{2}+2x+1 \\ & x^{2}+x-2=0 \\ & (x+2)(x-1)=0 \\ & x=-2 \vee x=1 \end{align} $
Langkah terakhir jangan lupa harus kita cocokkan dengan syarat numerusnya ya, yaitu:
- $x+1 \gt 0 \to x \gt -1$
- $x+3 \gt 0 \to x \gt -3$
Dengan memperhatikan kedua syarat numerus tersebut di atas.
Jadi, jawaban yang paling tepat adalah (C) $1$
5. Akar - akar persamaan $^{2}\textrm{log}^{2} \ {x}-6^{2}\textrm{log}\ {x}+8=^{2}\textrm{log}\ {1}$ adalah $x_1$ dan $x_2$. Nilai dari $x_1+x_2$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 6 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 10 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 20 \end{align} $Pembahasan :
Untuk mengerjakan persamaan logaritma di atas, langkah mudah nya adalah dengan melakukan pendekatan persamaan kuadrat.
$ \begin{align} & ^{2}\textrm{log}^{2} \ {x}-6^{2}\textrm{log}\ {x}+8=^{2}\textrm{log}\ {1} \\ & = (^{2}\textrm{log}\ {x}-4)(^{2}\textrm{log}\ {x}-2) \end{align} $
Sehingga kita akan peroleh,
- $^{2}\textrm{log}\ {x}=4 \to x=2^{4} \to x_1=16$
- $^{2}\textrm{log}\ {x}=2 \to x=2^{2} \to x_2=4$
Dengan demikian nilai dari $x_1+x_2=20$
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah (E) $20$
6. Penyelesaian pertidaksamaan $^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ {(3x^{2}+x)} \ \lt \ ^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ {(8-x)}$ adalah...
Pembahasan :
Perlu diperhatikan dalam mengerjakan bentuk pertidaksamaan logaritma sebagaimana ditunjukkan pada soal di atas.
Karena basis logaritmanya merupakan bilangan pecahan terletak antara $0$ dan $1$ maka nanti kita perlu membalik tanda pertidaksamaannya dalam operasi numerusnya.
$^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ {(3x^{2}+x)} \lt ^{\frac{1}{3}}\textrm{log}\ {(8-x)}$
$3x^{2}+x \gt 8-x$
$3x^{2}+2x-8 \gt 0$
$(3x-4)(x+2) \gt 0$
$x \lt -2$ atau $x \gt \frac{4}{3}$
Syarat numerus :
- $3x^{2}+x \gt 0 \to x(3x+1) \gt 0$
- $8-x \gt 0 \gt x \lt 8$
Dengan memperhatikan kondisi - kondisi tersebut, maka kita bisa buat garis bilangan untuk mendapatkan daerah hasilnya.
Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah (A) $\frac{4}{3} \lt x \lt 8 \cup x \lt -2$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, itu lah Rangkuman Materi Fungsi Logaritma Lengkap kita kali ini.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar!
