Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer
Beranda / Limit Fungsi / SMA

Rangkuman Materi Limit Fungsi Aljabar Lengkap

Rangkuman lengkap pembahasan materi limit fungsi yang disertai contoh - contoh soal dan pembahasan.

Konsep teori limit sangat lekat dalam kehidupan sehari - hari kita. Bahkan secara tidak sadar kejadian atau pengalaman terkait konsep limit fungsi sebenarnya bisa jadi sudah pernah kita lakukan.

PENGANTAR LIMIT FUNGSI

Contoh sederhana adalah ketika kita melakukan pengukuran berat badan misalkan saja berat  si Ani 56 kg. 

Namun apakah benar demikian kondisi sebenarnya?

Tentu saja tidak, karena bisa saja kondisi sebenarnya berat badan Ani adalah 55,9999... kg atau bahkan 56,00000112... kg.

Artinya adalah angka timbangan 56 kg disepakati sebagai angka berat badan Ani yang paling mendekati dengan berat badan sesungguhnya.

Nah.. sahabat kreatif, kata mendekati ini adalah kata kunci yang paling penting dalam memahami konsep dari limit fungsi lebih jauh.

Secara sederhana dalam matematika limit bisa diartikan sebagai pendekatan nilai.

DEFINISI LIMIT FUNGSI

Misalkan $f(x)$ adalah suatu fungsi yang terdefinisi dalam interval $I$ yang memuat $x=a$ maka $\lim\limits_{x \to a} f(x)=L$

Artinya jika $x$ mendekati $a$ ($x \neq a$) maka nilai $f(x)$ mendekati nilai $L$.

SIFAT - SIFAT LIMIT FUNGSI ALJABAR

  • $\lim\limits_{x \to c} c=c$ , untuk $c$ = konstanta
  • $\lim\limits_{x \to c} k=k$ , untuk $k$ = konstanta
  • $\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to c} f(x)$ 
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)-g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)-\lim\limits_{x \to c} g(x)$ 
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x)+g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x)+\lim\limits_{x \to c} g(x)$ 
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)}$ , dimana $\lim\limits_{x \to c} g(x) \neq 0$
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \cdot g(x) \right) = \lim\limits_{x \to c} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to c} g(x)$ 
  • $\lim\limits_{x \to c} \left( f(x) \right)^{n} = \left( \lim\limits_{x \to c} f(x) \right)^{n}$ 
  • $\lim\limits_{x \to c} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{ \lim\limits_{x \to c} f(x)}$ dimana $\lim\limits_{x \to c} f(x) \gt 0$ untuk $n$ genap positif.

BENTUK - BENTUK LIMIT FUNGSI ALJABAR

Pada dasarnya limit fungsi aljabar dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok besar.

Bentuk pertama adalah bentuk yang kita sebut dengan Limit Fungsi Bentuk Tentu atau lebih sering dikenal dengan istilah limit tidak nol per nol.

Bentuk kedua lebih kompleks yang sering kita kenal dengan istilah limit fungsi bentuk nol per nol atau yang kita sebut dengan Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu.

LIMIT FUNGSI BENTUK TENTU

Limit fungsi bentuk tentu adalah bentuk soal limit aljabar yang paling sederhana.

Mengapa demikian?

Karena jika ada $\lim\limits_{x \to a} f(x) \ne \frac{0}{0}$

maka cara penyelesaiannya cukup dengan substitusi langsung nilai $x=a$ ke dalam soal.

CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI BENTUK TENTU DAN PEMBAHASAN

1. Nilai dari $\lim\limits_{x \to 2} x^{2}+x-7$ adalah...

Pembahasan :

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} x^{2}+x-7 \\ & = 2^{2}+2-7 \\ & = -1 \end{align} $

2. Hasil dari $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}+4}$ adalah...

Pembahasan :

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2}+x-6}{x^{2}+4} \\ & = \frac{2^{2}+2-6}{2^{2}+4} \\ & = \frac{0}{8} \\ & = 0 \end{align} $

3. Jika k adalah hasil nilai dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{3-\sqrt{2x+9}}{x^{2}-5x-7}$ maka $2k+3$ adalah...

Pembahasan :

Kita substitusikan x=0 ke dalam soal limit fungsinya, maka akan kita peroleh

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \frac{3-\sqrt{2x+9}}{x^{2}-5x-7} \\ & = \frac{3-\sqrt{0+9}}{0^{2}+0-7} \\ & = \frac{0}{-7} \\ & = 0 \end{align} $

Dengan demikian kita dapatkan nilai $k$ nya adalah $0$.

Jadi $2k+3=0+3=0$

4. Nilai dari $\lim\limits_{x \to 1} \frac{3-\sqrt{x+3}}{2x^{2}+10}$ adalah...

Pembahasan :

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \frac{3-\sqrt{x+3}}{2x^{2}+10} \\ & = \frac{3-\sqrt{1+3}}{2(1^{2})+10} \\ & = \frac{1}{12} \end{align} $

5. Nilai dari $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}$ adalah...

Pembahasan :

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2} \\ & = \frac{2^{2}-4}{2-2} \\ & = \frac{0}{0} \end{align} $

Nah.. sahabat kreatif, pada karena pada saat kita substitusikan $x=2$ kita peroleh bentuk $\frac{0}{0}$ maka limit fungsi  ini masuk dalam kategori Limit Bentuk Tak Tentu.

Yuk.. simak pembahasan lengkapnya bagaimana cara penyelesaiannya jika kita bertemu dengan Limit Fungsi Bentuk Tak Tentu.

LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU

Limit fungsi bentuk tak tentu adalah suatu bentuk limit yang mempunyai bentuk dasar ketika kita subtitusikan nilai variabel nya maka akan terentuk nilai $\frac{0}{0}$ atau $\frac{a}{0}$ dengan $a$ suatu konstanta tertentu.

Langkah mudah cara menyelesaikan soal limit fungsi bentuk tak tentu adalah :

  1. Pemfaktoran.
  2. Kali akar sekawan.
  3. Dalil L'Hospital (turunan)

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI ALJABAR DENGAN PEMFAKTORAN

Ada beberapa bentuk faktor yang sering  dipakai, diantaranya adalah :

  • $a^{2} - b^{2} = (a+b)(a-b)$ 
  • $a^{3} - b^{3} = (a-b)(a^{2} + ab + b^{2})$ 
  • $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI ALJABAR DENGAN KALI AKAR SEKAWAN

Ada beberapa bentuk akar sekawan yang sering  dipakai, diantaranya adalah :

  • $\sqrt{a}-b$ akar sekawannya adalah $\sqrt{a}+b$ 
  • $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ akar sekawannya adalah $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 
  • $a\sqrt{b}-c\sqrt{d}$ akar sekawannya adalah $a\sqrt{b}+c\sqrt{d}$
Kondisi akar sekawan di atas juga berlaku kondisi sebaliknya ya. 

MENYELESAIKAN LIMIT FUNGSI ALJABAR DENGAN DALIL L'HOSPITAL

Untuk menyelesaikan limit dengan metode L'Hospital caranya cukuplah mudah. Tinggal kita cari turunan pertama dari masing - masing bagian fungsinya. 

Jika soal limit fungsinya berbentuk rasional(pecahan) maka caranya tinggal cari turunan pertama dari masing - masing pembilang dan penyebut.

Jika sudah kita dapatkan turunan pertama keduanya langsung substitusikan variabel nya.

Ingat kembali Rumus Dasar Turunan jika kalian lupa ya.

Rumus - Rumus Dasar Turunan

  • $y=ax^n \to y'=an \ x^{n-1}$ 
  • $y=u(x)+v(x) \to y'=u'(x)+v'(x)$ 
  • $y=u(x) \cdot v(x) \to y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$ 
  • $y=kf(x)^n \to y'=kn \ f(x)^{n-1} \ f'(x)$

Oke sekarang waktunya kita bahas dalam soal bagaimana cara menyelesaikan limit fungsi bentuk tak tentu.

CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU DAN PEMBAHASAN

Di  bawah ini adalah beberapa contoh soal dari limit fungsi bentuk tak tentu.

1. Nilai dari $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}$ adalah...

Pembahasan :

Soal tersebut merupakan bentuk limit fungsi tak tentu. 

Kenapa ?

Karena  jika kita substitusikan nilai $x=2$ maka akan kita dapatkan penyebut bernilai $0$.

Oleh karena itu , langkah yang harus kita lakukan adalah dengan memfaktorkan terlebih dahulu sehingga bentuk pembuat $0$ dari pembilang dan penyebut dapat kita eliminasi (hilangkan).

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \frac{x^{2}-4}{x-2} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} x+2 \\ & = 2+2 \\ & = 4 \end{align} $

2. Nilai dari $\lim\limits_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x+5}-3}{x^{2}-4}$ adalah...

Pembahasan :

Karena di  dalamnya mengandung bentuk akar dan $\frac{0}{0}$ maka cara penyelesainnya adalah dengan menggunakan kali akar sekawan.

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x+5}-3}{x^{2}-4} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \frac{\sqrt{2x+5}-3}{x^{2}-4} \cdot \frac{\sqrt{2x+5}+3}{\sqrt{2x+5}+3} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \frac{(2x+5)-3^{2}}{(x+2)(x-2)[\sqrt{2x+5}+3]} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)[\sqrt{2x+5}+3]} \\ & = \lim\limits_{x \to 2} \frac{2}{(x+2)[\sqrt{2x+5}+3]} \\ & = \frac{2}{(2+2)[\sqrt{4+5}+3]} \\ & = \frac{2}{24} \end{align} $

3. Hasil dari $\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x^{3}+8x^{2}-5x}{x^{2}+2x}$ adalah...

Pembahasan :

Nah untuk soal no.3 ini kita akan coba kerjakan menggunakan Dalil L'Hospital  (metode turunan) meskipun pada dasarnya soal ini tetap bisa dikerjakan menggunakan pemfaktoran.

Metode Dalil L'Hospital (turunan)

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \frac{3x^{3}+8x^{2}-5x}{x^{2}+2x} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \frac{9x^{2}+16x-5}{2x+2} \\ & = \frac{0+0-5}{0+2} \\ & = -\frac{5}{2} \end{align} $

CONTOH SOAL UTBK LIMIT FUNGSI ALJABAR DAN PEMBAHASAN

1. Soal SPMB 2005 Kode 370

$ \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} =\cdots $ 

$ \begin{align} (A)\ & 3\sqrt{q} \\ (B)\ & \sqrt{q} \\ (C)\ & q \\ (D)\ & q\sqrt{q} \\ (E)\ & 3q \end{align} $

Pembahasan :

Dengan menggunakan sifat - sifat bentuk akar dan perkalian akar sekawan maka kita akan dapatkan

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x\sqrt{x}-q\sqrt{q}}{\sqrt{x}-\sqrt{q}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+ \sqrt{q}}{\sqrt{x}+\sqrt{q}} \\ & = \lim\limits_{x \to q} \dfrac{x^{2}+x\sqrt{qx}-q\sqrt{qx}-q^{2}}{x-q} \\ &= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{\left ( x-q \right )\left ( x+q \right )+\sqrt{qx}\left ( x-q \right )}{x-q} \\ &= \lim\limits_{x \to q} \dfrac{ \left ( x+q \right )+\sqrt{qx} }{1} \\ &= \dfrac{ \left ( q+q \right )+\sqrt{q(q)} }{1} \\ &= 2q+ q =3q \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah (E) $3q$

2. Soal UMB PTN 2012 Kode 270 

$\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}}=\cdots$

$ \begin{align} (A)\ & -6 \\ (B)\ & -3 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 6 \end{align} $

Pembahasan :

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x-3}{3-\sqrt{x+6}} \cdot \dfrac{3+\sqrt{x+6}}{3+\sqrt{x+6}} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{9- \left(x+6 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{ \left( x-3 \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3-x \right) \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{3-x } \\ & = \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{- \left( 3+\sqrt{x+6} \right)}{1 } \\ & = \dfrac{- \left( 3+\sqrt{3+6} \right)}{1 } = -6 \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah (A) $-6$

3. Soal SBMPTN 2015 Kode 507 

Nilai dari $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x}$ adalah...

$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{1}{4} \\ (C)\ & -\dfrac{1}{8} \\ (D)\ & \dfrac{1}{4} \\ (E)\ & \dfrac{1}{2} \end{align} $

Pembahasan :

Sebelum lebih jauh atau bingung kita kalikan dengan akar sekawan yang mana.

Maka kita cari dulu bagian bentuk akar yang mana yang merupakan bentuk akar pembuat nol nya.

Dengan substitusi $x=1$ maka kita akan dengan mudah mengetahui bahwa bentuk akar $ \sqrt{5-x}-2$ inilah yang merupakan pembuat nol.

Oleh  karena itu, akar sekawan yang kita pilih adalah akar sekawan dari  $\sqrt{5-x}-2$ yaitu $ \sqrt{5-x}+2$.

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( \sqrt{5-x}-2 \right) \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{1-x} \cdot \dfrac{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left( 5-x-4 \right) \left( \sqrt{2+x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right) \left(1-x \right)} \\ & = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{ \left( \sqrt{2-x}+1 \right)}{\left( \sqrt{5-x}+2 \right)} \\ & = \dfrac{ \sqrt{2-(1)}+1 }{ \sqrt{5-(1)}+2 } \\ & = \dfrac{2}{ \sqrt{4}+2 } \\ & = \dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2} \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah (E) $\frac{1}{2}$

4. Soal SIMAK UI 2012 Kode 224

$ \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\cdots $ 

$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{2\sqrt{5}} \\ (B)\ & 2\sqrt{5} \\ (C)\ & \dfrac{2}{5}\sqrt{5} \\ (D)\ & \dfrac{4}{5\sqrt{5}} \\ (E)\ & \dfrac{4}{5} \sqrt{5} \end{align} $

Pembahasan : 

Langkah mengerjakannya masih sama dengan contoh soal limit fungsi sebelumnya,  yaitu dengan menggunakan perkalian akar sekawan untuk menghilangkan/menyederhanakan bentuk pembuat nol nya.

$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}-\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times \dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}}{\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}}} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left (5+2\sqrt{x} \right )-\left (5-2\sqrt{x} \right )}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{x}}+\sqrt{5-2\sqrt{x}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \left (\sqrt{5+2\sqrt{0}}+\sqrt{5-2\sqrt{0}} \right )} \\ & = \dfrac{4 }{ \sqrt{5} +\sqrt{5}} \\ & = \dfrac{4 }{ 2\sqrt{5} } = \dfrac{2}{\sqrt{5} } \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah (C) $\frac{2}{5} \sqrt{5}$

5. Soal UTBK-SBMPTN 2019

Jika $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right )=A$, maka nilai $\lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{8t^{3}}}-t+1 \right )=\cdots$

$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{A}{2} \\ (B)\ & \dfrac{A}{3} \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & \dfrac{A+2}{2} \\ (E)\ & \dfrac{A+3}{3} \\ \end{align} $

Pembahasan :

Langkah pertama kita bisa jabarkan dulu dari persamaan limit yang diketahui di soal.

$ \begin{align} \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}}-2 \right ) &= A \\ \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (2 \right ) &= A \\ \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )- 2 &= A \\ \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right ) &= A+2 \end{align} $

Setelah itu kita sederhanakan bentuk yang ditanyakan dengan memperhatikan hasil dari perhitungan limit fungsi yang diketahui sebelumnya.

$ \begin{align} & \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{\dfrac{a}{8}+\dfrac{b}{t^{3}}}-t+1 \right ) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \lim\limits_{t \to 2} \left (\sqrt[3]{a+\dfrac{b}{t^{3}}} \right )-\lim\limits_{t \to 2} \left (t \right )+\lim\limits_{t \to 2} \left (1 \right ) \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left (A+2 \right )-2+1 \\ &= \dfrac{A}{2}+1-1 = \dfrac{A}{2} \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah (A) $\frac{A}{2}$

Penutup

Nah sahabat kreatif, itu lah Rangkuman Materi Limit Fungsi Matematika Wajib Kelas 12 IPA dan12 IPS kita kali ini. 

Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.

Selamat Belajar !

Kreatif Matematika
Kreatif Matematika Teman Ngopi Belajar Matematika