Rangkuman Materi Turunan Fungsi Aljabar Lengkap
Materi Turunan sangat erat kaitannya dengan konsep Limit Fungsi dan Gradien (kemiringan) Garis dari suatu titik yang sebelumnya pasti sudah kalian pelajari di kelas 10 dan 11.
Ke depan materi turunan ini akan lebih lanjut sebagai pengantar untuk memahami konsep Integral Tak tentu dan Integral tentu.
Daftar Isi
Oke sahabat kreatif... Apa itu turunan ?
DEFINISI TURUNAN FUNGSI
Secara definisi konsep turunan di suatu titik merupakan gradien garis singgung fungsi di titik tersebut.
Atau ada juga yang mengatakan bahwa turunan merupakan suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).
Namun demikian secara operasi matematis nilai dari turunan fungsi adalah hasil dari sebuah operasi limit.
Perhatikan hal berikut !
Apabila suatu fungsi $y=f(x)$ terdefinisi untuk semua bilangan real $x$ dan $\dfrac{dy}{dx}=f'(x)$ menyatakan perubahan nilai y terhadap variabel bebas $x$ maka $ f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} $ dimana $ f'(x) $ menyatakan turunan pertama dari fungsi $f(x)$
RUMUS DASAR TURUNAN FUNGSI
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN TURUNAN FUNGSI
1. Dengan menggunakan definisi turunan fungsi, maka nilai dari turunan pertama fungsi $f(x)=3x^2-5x$ adalah...
Jawab :
Sebelum lebih jauh kita cari turunan pertama dari fungsi dalam soal tersebut, biar lebih mudah buat kalian yang masih bingung tentukan dulu mana fungsi $f(x)$ dan $f(x+h)$.
$ \begin{align} f(x) & = 3x^{2}-5x \\ f\left( x+h \right) & = 3\left( x+h \right)^{2}-5 \left( x+h \right) \\ & = 3\left( x^{2}+2hx+h^{2} \right) -5x-5h \\ & = 3x^{2}+6hx+3h^{2} -5x-5h \end{align} $
Nah.. setelah itu tinggal kita substitusikan kedalam definisi turunan fungsi yaitu
$ f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} $
Sehingga kita akan dapatkan :
$ \begin{align} f'(x) & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\left( 3x^{2}+6hx+3h^{2} -5x-5h \right) - \left( 3x^{2}-5x \right)}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{3x^{2}+6hx+3h^{2} -5x-5h - 3x^{2}+5x }{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{6hx+3h^{2} -5h}{h} \\ & = \lim\limits_{h \to 0} \left( 6x+3h-5 \right) \\ & = 6x+3(0)-5 \\ & = 6x-5 \end{align} $
Jadi hasil dari turunan pertama $f(x)=3x^2-5x$ adalah $f'(x)=6x-5$
2. Jika diketahui $f(x)=2x^5+4x^3-6x+7$,dan $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari fungsi $f(x)$. Maka nilai dari $f'(x)$ adalah...
Jawab :
Dengan menggunakan rumus - rumus dasar turunan fungsi kita akan dapatkan
$ \begin{align} f(x) & = 2x^{5}+4x^{3}-6x+7 \\ f'(x) & = 10x^{4}+12x^{2}-6 \end{align} $
3. Turunan pertama dari $f(x)=\frac{6}{x^{3}}+2 \sqrt{x}$ adalah...
Jawab :
Langkah pertama kita rubah dulu fungsi $f(x)$ menjadi bentuk pangkat negatif karena $x$ posisi pada penyebut dan pangkat pecahan karena ada bentuk akar.
$f(x)=6x^{-3}+2x^{\frac{1}{2}}$
Langkah selanjutnya tinggal kembali kita pakai rumus - rumus dasar turunan untuk mendapatkan turunan fungsi dari f(x) tersebut.
$ \begin{align} f'(x) & = -18x^{-4}+x^{- \frac{1}{2}} \\ & = - \frac{18}{x^{4}}+\frac{1}{\sqrt{x}} \end{align} $
4. Turunan pertama dari $f(x)=(3x+4)(x^{2}+3)$ adalah...
Jawab :
Karena f(x) nya merupakan bentuk perkalian dari dua buah bagian fungsi, maka untuk mengerjakannya kita pakai salah satu dari rumus dasar perkalian yaitu
$y=u(x)v(x) \to y'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
Sehingga $u(x)=(3x+4)$ dan $v(x)=(x^{2}+3)$ , dari kedua fungsi ini maka akan kita dapatkan dengan mudah bahwa $u'(x)=3$ sementara $v'(x)=2x$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} f'(x) & = 3 \ (x^{2}+3)+(3x+4) \ 2x \\ & = 3x^{2}+6+6x^{2}+8x \\ & = 9x^{2}+8x+6 \end{align} $
5. Turunan pertama dari $f(x)=\frac{4x-5}{2x^{2}+4}$ adalah...
Jawab :
Bentuk soal $f(x)$ ini berbentuk fungsi rasional(pecahan), untuk mendapatkan bentuk turunan pertama fungsinya adalah dengan menggunakan rumus dasar turunan yaitu,
$ y=\frac{u(x)}{v(x)} \to y'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}} $
Sehingga kita akan dapatkan,
$u(x)=(4x-5) \to u'(x)=4$
$v(x)=2x^{2}+4 \to v'(x)=4x$
dengan demikian kita akan dengan mudah mendapatkan bentuk turunan pertama fungsi $f(x)$ nya.
TEORI ATURAN RANTAI TURUNAN FUNGSI
Yups... kalian benar, rantai selalu saling terikat dan sambung menyambung satu sama lain.
Demikian juga dengan konsep teori turunan fungsi yang satu ini, maksud dari teori aturan rantai adalah suatu proses menurunkan suatu fungsi secara berantai / berturut - turut dikarenakan fungsi nya yang kompleks.
Bentuk umum teori aturan rantai adalah $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \ \frac{du}{dx}$
CONTOH SOAL TEORI ATURAN RANTAI TURUNAN FUNGSI
Jawab :
Jika kita misalkan $6x^2-11=u(x)$ maka $u'(x)=\frac{du}{dx}=12x$. Sedangkan fungsi $y$ sekarang sudah berubah menjadi $y=u^{3}$ dengan $ \frac{dy}{du}=3u^{2} $
Oleh karena itu jika kita kembalikan atau substitusi ke dalam bentuk umum dari aturan rantai maka akan kita peroleh,
$ \begin{align} \frac{dy}{dx} & = \frac{dy}{du} \ \frac{du}{dx}\\ & = 3u^{2} \ 12x \\ & = 3(6x^2-11)^{2} \ 12x \\ & = 36x(6x^2-11)^{2} \end{align} $Oke sahabat kreatif terima kasih sudah mengikuti dari awal hingga akhir pembahasan kita mengenai Materi Turunan Fungsi. Jangan lupa share ke teman - teman kalian jika kalian merasa apa yang sudah kita pelajari kali ini bermanfaat.
Selamat Belajar!
