Catatan Lengkap Fungsi Komposisi, Fungsi Invers dan Invers Komposisi Kelas 11 SMA
Ini adalah catatan lengkap yang membahas tentang fungsi komposisi, fungsi invers dan invers dari fungsi komposisi lengkap.
Pada dasarnya sebuah fungsi komposisi merupakan hasil penggabungan dari beberapa fungsi sehingga membentuk sebuah fungsi baru.
Proses penggabungan beberapa fungsi menjadi fungsi komposisi melalui serangkaian substitusi tergantung banyak fungsi pembentuknya.
Ada beberapa sifat yang berlaku dalam fungsi komposisi, yaitu :
Dengan kata lain jika $f$ adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan $A$ tepat satu pada anggota himpunan $B$.
Maka yang dinamakan fungsi invers adalah suatu fungsi yang memetakan kembali dari setiap anggota $B$ tepat satu kembali pada anggota himpunan $A$.
Dalam transformasi geometri fungsi invers adalah pencerminan terhadap garis $y=x$ dari fungsi asalnya.
Langkah - langkah mendapatkan invers fungsi :
Ada dua cara yang bisa kalian pakai :
Oke perhatikan beberapa contoh soal berikut ini ya gengs.
Tetap ikutin sampai akhir ya.
Walau awalnya kelihatan rumit, tapi makin kamu latihan, makin kamu ngerti polanya. Matematika itu kayak naik sepeda—harus dicoba terus biar bisa seimbang.
Jangan terlalu fokus sama “harus langsung paham.” Belajar itu proses, dan kamu punya waktu buat terus berkembang. Nggak ada yang jago dalam semalam, yang penting terus coba.
Jadiii... semangat terus ya, pejuang kelas 11!
Matematika boleh rumit, tapi kamu lebih hebat dari rumus mana pun. Sampai jumpa di catatan seru berikutnya!
Jadi buat kamu yang sekarang lagi belajar topik ini harus baca sampai habis ya, jangan di skip bacanya.
Dalam keumumannya fungsi komposisi lebih sering disebut juga dengan nama fungsi bundaran.
Mengapa demikian?
Hal ini dikarenakan notasi atau simbol dari fungsi komposisi dalam matematika menggunakan simbol seperti bundaran kecil (bukan huruf o).
Sedangkan fungsi invers dapat dikatakan sebagai fungsi yang merupakan hasil refleksi (pencerminan) terhadap garis $y=x$ dari fungsi asalnya.
Oke tanpa berlama - lama lagi yuk kita bahas satu -satu.
Simak sampai akhir ya..
A. Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi sering juga disebut dengan istilah sebagai fungsi bundaran.Pada dasarnya sebuah fungsi komposisi merupakan hasil penggabungan dari beberapa fungsi sehingga membentuk sebuah fungsi baru.
Proses penggabungan beberapa fungsi menjadi fungsi komposisi melalui serangkaian substitusi tergantung banyak fungsi pembentuknya.
Definisi Fungsi Komposisi :
Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi yang masing - masing terdefinisi untuk setiap $x \in R$ maka $(f \circ g)(x)=f(g(x))$.
Jika $f(x)$ dan $g(x)$ adalah fungsi yang masing - masing terdefinisi untuk setiap $x \in R$ maka $(f \circ g)(x)=f(g(x))$.
Ada beberapa sifat yang berlaku dalam fungsi komposisi, yaitu :
- Berlaku Sifat Aasosiatif:
$ \begin{align} (f \circ g \circ h)(x) & = [f \circ (g \circ h)](x) \\ & = [(f \circ g) \circ h](x) \end{align} $ - Tidak Komutatif:
$(f \circ g)(x) \neq(g \circ f)(x)$ - Identitas Fungsi Komposisi:
$(I \circ f)(x) = (f \circ I)(x)$
Contoh Soal Fungsi Komposisi dan Pembahasan Lengkap
Simak contoh soal dan pembahasannya di bawah ini, biar makin tambah pemabahamanmu tentang fungsi komposisi.
1. Soal UNBK Matematika IPS 2018
Diketahui $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=x^{2}-x+3$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah...
$ \begin{align} & (A)\ 3x^{2}+3x+11 \\ & (B)\ 3x^{2}-3x+11 \\ & (C)\ 3x^{2}-3x-11 \\ & (D)\ 9x^{2}-9x-5 \\ & (E)\ 9x^{2}-9x-5 \end{align} $
Diketahui $f(x)=3x+2$ dan $g(x)=x^{2}-x+3$. Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah...
$ \begin{align} & (A)\ 3x^{2}+3x+11 \\ & (B)\ 3x^{2}-3x+11 \\ & (C)\ 3x^{2}-3x-11 \\ & (D)\ 9x^{2}-9x-5 \\ & (E)\ 9x^{2}-9x-5 \end{align} $
$
\begin{align}
(f \circ g)(x) & = f \left( g(x) \right) \\
&= 3g(x)+2 \\
& = 3 \left( x^{2}-x+3 \right) +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 9 +2 \\
& = 3 x^{2} - 3x + 11
\end{align}
$
Jadi jawaban yang benar adalah $(B)\ 3 x^{2} - 3x + 11$.
Jadi jawaban yang benar adalah $(B)\ 3 x^{2} - 3x + 11$.
2. Soal UNBK Matematika IPA 2019
Fungsi $f:R \rightarrow R$ dan $g:R \rightarrow R$. Jika $g(x)=x-1$ dan $(f \circ g)(x)=x^{3}-4x$, nilai dari $f(2)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 9 \\ &(B)\ 13 \\ &(C)\ 15 \\ &(D)\ 17 \\ &(E)\ 25 \end{align} $
Fungsi $f:R \rightarrow R$ dan $g:R \rightarrow R$. Jika $g(x)=x-1$ dan $(f \circ g)(x)=x^{3}-4x$, nilai dari $f(2)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 9 \\ &(B)\ 13 \\ &(C)\ 15 \\ &(D)\ 17 \\ &(E)\ 25 \end{align} $
Langkah mengerjakannya kamu bisa mulai dari $(f \circ g)(x)=x^{3}-4x$ sehingga
$ \begin{align} f(g(x)) &= x^{3}-4x \\ f(x-1) &= x^{3}-4x \end{align} $
Dengan substitusi $x=3$ maka kita akan dapatkan nilai dari $f(2)$ yaitu
$ \begin{align} f(x-1) & = x^{3}-4x \\ f(3-1) & =3^{3}-4(3) \\ f(2) & =27-12 \\ & =15 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(C)\ 15$.
$ \begin{align} f(g(x)) &= x^{3}-4x \\ f(x-1) &= x^{3}-4x \end{align} $
Dengan substitusi $x=3$ maka kita akan dapatkan nilai dari $f(2)$ yaitu
$ \begin{align} f(x-1) & = x^{3}-4x \\ f(3-1) & =3^{3}-4(3) \\ f(2) & =27-12 \\ & =15 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(C)\ 15$.
3. Contoh Soal
Diketahui $f(x)=3x-6$ dan $g(x)=2x+a$ . Jika $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ maka nilai $a$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 3 \\ &(B)\ 2 \\ &(C)\ 1 \\ &(D)\ -2 \\ &(E)\ -3 \end{align} $
Diketahui $f(x)=3x-6$ dan $g(x)=2x+a$ . Jika $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ maka nilai $a$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 3 \\ &(B)\ 2 \\ &(C)\ 1 \\ &(D)\ -2 \\ &(E)\ -3 \end{align} $
$
\begin{align}
(f \circ g)(x) &= (g \circ f)(x) \\
3(2x+a)-6 &= 2(3x-6)+a \\
6x + 3a -6 &= 6x -12 + a \\
3a -6 &= -12 + a \\
2a &= -6 \to a=-3\\
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ -3 $.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ -3 $.
4. Contoh Soal
Fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2$, $g(x)=1-2x$ dan $(f \circ g)(a)=25$. Nilai $a=$ ...
$ \begin{align} &(A)\ -2 \\ &(B)\ -1 \\ &(C)\ 4 \\ &(D)\ 5 \\ &(E)\ 7 \end{align} $
Fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2$, $g(x)=1-2x$ dan $(f \circ g)(a)=25$. Nilai $a=$ ...
$ \begin{align} &(A)\ -2 \\ &(B)\ -1 \\ &(C)\ 4 \\ &(D)\ 5 \\ &(E)\ 7 \end{align} $
$
\begin{align}
(f \circ g)(a) &= 25 \\
(1-2a)^2 &= 25 \\
1-4a+4a^2 -25 &= 0 \\
4a^2-4a-24 &= 0 \ \text{|: 4} \\
a^2-a-6 &= 0 \\
(a-3)(a+2) &= 0 \\
a=3 \ \text{atau} \ a &= -2
\end{align}
$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(A)\ -2$.
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(A)\ -2$.
5. Contoh Soal
Ditentukan $g(f(x))=f(g(x))$. Jika $f(x)=2x+p$ dan $g(x)=3x+120$ maka nilai $p$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 10 \\ &(B)\ 30 \\ &(C)\ 55 \\ &(D)\ 60 \\ &(E)\ 75 \end{align} $
Ditentukan $g(f(x))=f(g(x))$. Jika $f(x)=2x+p$ dan $g(x)=3x+120$ maka nilai $p$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 10 \\ &(B)\ 30 \\ &(C)\ 55 \\ &(D)\ 60 \\ &(E)\ 75 \end{align} $
$
\begin{align}
g(f(x)) &= f(g(x)) \\
3(2x+p)+120 &= 2(3x+120)+p \\
6x + 3p +120 &= 6x + 240 + p \\
3p +120 &= 240 + p \\
2p &= 120 \to p = 60
\end{align}
$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ 60$.
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ 60$.
B. Fungsi Invers
Fungsi invers pada dasarnya adalah kebalikan proses dari suatu fungsi asalnya.Dengan kata lain jika $f$ adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan $A$ tepat satu pada anggota himpunan $B$.
Maka yang dinamakan fungsi invers adalah suatu fungsi yang memetakan kembali dari setiap anggota $B$ tepat satu kembali pada anggota himpunan $A$.
Dalam transformasi geometri fungsi invers adalah pencerminan terhadap garis $y=x$ dari fungsi asalnya.
Definisi Fungsi Invers
$f(x)=y \iff f^{-1}(y)=x$
$f(x)=y \iff f^{-1}(y)=x$
Langkah - langkah mendapatkan invers fungsi :
- Misalkan $f(x)$ sebagai $y$.
- Sederhanakan fungsinya kelompokkan variabel $x$ dan $y$ dalam ruas yang berbeda.
- Dapatkan nilai $y$ dari fungsi yang ada.
- Langkah akhir fungsi $f^{-1}(x)$ diperoleh dengan mengganti semua variabel $y$ menjadi $x$.
Contoh Soal Fungsi Invers dan Pembahasan Lengkap
Gass.. yuk kita bahas beberapa soal tentang fungsi invers berikut pembahasannya.
1. Soal UNBK Matematika SMA IPS 2019
Diketahui $f(x)=\dfrac{9x+17}{x+2};\ x \neq -2$ dan $f^{-1}(x)$ adalah invers dari $f(x)$. Nilai dari $f^{-1}(10)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ -16 \\ &(B)\ -3 \\ &(C)\ -2 \\ &(D)\ 2 \\ &(E)\ 12 \end{align} $
Diketahui $f(x)=\dfrac{9x+17}{x+2};\ x \neq -2$ dan $f^{-1}(x)$ adalah invers dari $f(x)$. Nilai dari $f^{-1}(10)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ -16 \\ &(B)\ -3 \\ &(C)\ -2 \\ &(D)\ 2 \\ &(E)\ 12 \end{align} $
Sesuai dengan langkah - langkah yang sudah disebutkan maka kita akan dapatkan invers dari $f(x)$ yaitu :
$ \begin{align} f(x) &=\dfrac{9x+17}{x+2} \\ y\ &=\dfrac{9x+17}{x+2} \\ y(x+2)\ &= 9x+17 \\ xy +2y\ &= 9x+17 \\ xy -9x \ &= -2y+17 \\ x(y -9) \ &= -2y+17 \\ x \ &=\dfrac{-2y+17}{(y -9)} \\ f^{-1}(x)\ &=\dfrac{-2x+17}{x -9 } \\ \end{align} $
Karena di akhir yang ditanyakan adalah $f^{-1}(10)$ maka,
$ \begin{align} f^{-1}(x)\ &= \dfrac{-2x+17}{x -9 } \\ f^{-1}(10)\ &=\dfrac{-2(10)+17}{(10)-9 } \\ &=\dfrac{-3}{1} \\ &=-3 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ -3$.
$ \begin{align} f(x) &=\dfrac{9x+17}{x+2} \\ y\ &=\dfrac{9x+17}{x+2} \\ y(x+2)\ &= 9x+17 \\ xy +2y\ &= 9x+17 \\ xy -9x \ &= -2y+17 \\ x(y -9) \ &= -2y+17 \\ x \ &=\dfrac{-2y+17}{(y -9)} \\ f^{-1}(x)\ &=\dfrac{-2x+17}{x -9 } \\ \end{align} $
Karena di akhir yang ditanyakan adalah $f^{-1}(10)$ maka,
$ \begin{align} f^{-1}(x)\ &= \dfrac{-2x+17}{x -9 } \\ f^{-1}(10)\ &=\dfrac{-2(10)+17}{(10)-9 } \\ &=\dfrac{-3}{1} \\ &=-3 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ -3$.
2. Soal Fungsi Invers
Jika $f(x)=5x+1$ maka nilai dari $f^{-1}(x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{y-1}{5} \\ &(B)\ \dfrac{x+1}{5} \\ &(C)\ \dfrac{x-1}{5} \\ &(D)\ \dfrac{2x-1}{5} \\ &(E)\ \dfrac{x-5}{5} \end{align} $
Jika $f(x)=5x+1$ maka nilai dari $f^{-1}(x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{y-1}{5} \\ &(B)\ \dfrac{x+1}{5} \\ &(C)\ \dfrac{x-1}{5} \\ &(D)\ \dfrac{2x-1}{5} \\ &(E)\ \dfrac{x-5}{5} \end{align} $
$
\begin{align}
f(x) &=5x+1 \\
y\ &=5x+1 \\
y-1 &= 5x \\
x &= \dfrac{y-1}{5} \\
f^{-1}(x) &=\dfrac{x-1}{5}
\end{align}
$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(C) \ \dfrac{x-1}{5}$.
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(C) \ \dfrac{x-1}{5}$.
3. Soal Fungsi Invers
Fungsi invers $f(x)=\sqrt[5]{1-x^3}+2$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{(x-2)^5-1} \\ &(B)\ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{(x+2)^5-1} \\ &(C)\ f^{-1}(x) = 5x^3-2 \\ &(D)\ f^{-1}(x) = \sqrt{2-(x^3-1)^5} \\ &(E)\ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{1-(x-2)^5} \end{align} $
Fungsi invers $f(x)=\sqrt[5]{1-x^3}+2$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{(x-2)^5-1} \\ &(B)\ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{(x+2)^5-1} \\ &(C)\ f^{-1}(x) = 5x^3-2 \\ &(D)\ f^{-1}(x) = \sqrt{2-(x^3-1)^5} \\ &(E)\ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{1-(x-2)^5} \end{align} $
$
\begin{align}
y &= \sqrt[5]{1-x^3}+2 \\
y -2 &= \sqrt[5]{1-x^3} \\
(y-2)^5 &= 1-x^3 \\
1-(y-2)^5 &= x^3 \\
\sqrt[3]{1-(y-2)^5} &= x
\end{align}
$
Sehingga,
$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{1-(x-2)^5}$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(E)\ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{1-(x-2)^5}$.
Sehingga,
$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{1-(x-2)^5}$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(E)\ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{1-(x-2)^5}$.
4. Soal Fungsi Invers
Invers dari fungsi himpunan pasangan berurutan $f={(0,3),(1,5),(3,8)}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}={(-3,0),(5,-1),(8,3)} \\ &(B)\ f^{-1}={(3,0),(5,1),(8,3)} \\ &(C)\ f^{-1}={(0,-3),(-1,-5),(-3,-8)} \\ &(D)\ f^{-1}={(-3,0),(-5,1),(-8,3)}\\ &(E)\ f^{-1}={(-3,0),(-5,-1),(-8,-3)} \end{align} $
Invers dari fungsi himpunan pasangan berurutan $f={(0,3),(1,5),(3,8)}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}={(-3,0),(5,-1),(8,3)} \\ &(B)\ f^{-1}={(3,0),(5,1),(8,3)} \\ &(C)\ f^{-1}={(0,-3),(-1,-5),(-3,-8)} \\ &(D)\ f^{-1}={(-3,0),(-5,1),(-8,3)}\\ &(E)\ f^{-1}={(-3,0),(-5,-1),(-8,-3)} \end{align} $
Ngerjain soal ini beneran mudah, kamu tinggal balik aja untuk mencari invers dari fungsi himpunan pasangan berurutannya.
Karena $f={(0,3),(1,5),(3,8)}$ maka $f^{-1}={(3,0),(5,1),(8,3)}$.
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ f^{-1}={(3,0),(5,1),(8,3)}$.
Karena $f={(0,3),(1,5),(3,8)}$ maka $f^{-1}={(3,0),(5,1),(8,3)}$.
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ f^{-1}={(3,0),(5,1),(8,3)}$.
5. Soal Fungsi Invers
Diketahui fungsi $f(x)=x^2-6x+12$. Invers fungsi dari $f(x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}=-6 \pm \sqrt{x+3}, x \ge -3 \\ &(B)\ f^{-1}=-3 \pm \sqrt{x-3}, x \ge 3 \\ &(C)\ f^{-1}=3 \pm \sqrt{x+3}, x \ge -3 \\ &(D)\ f^{-1}=3 \pm \sqrt{x-3}, x \ge 3 \\ &(E)\ f^{-1}=6 \pm \sqrt{x-3}, x \ge 3 \end{align} $
Diketahui fungsi $f(x)=x^2-6x+12$. Invers fungsi dari $f(x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}=-6 \pm \sqrt{x+3}, x \ge -3 \\ &(B)\ f^{-1}=-3 \pm \sqrt{x-3}, x \ge 3 \\ &(C)\ f^{-1}=3 \pm \sqrt{x+3}, x \ge -3 \\ &(D)\ f^{-1}=3 \pm \sqrt{x-3}, x \ge 3 \\ &(E)\ f^{-1}=6 \pm \sqrt{x-3}, x \ge 3 \end{align} $
$
\begin{align}
y &= x^2-6x+12 \\
y &= (x-3)^2+3 \\
y-3 &= (x-3)^2 \\
\pm \sqrt{y-3} &= x-3 \\
3 \pm \sqrt{y-3} &= x
\end{align}
$
Sehingga,
$f^{-1}=3 \pm \sqrt{x-3}$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ f^{-1}=3 \pm \sqrt{x-3}, x \ge 3$.
Sehingga,
$f^{-1}=3 \pm \sqrt{x-3}$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ f^{-1}=3 \pm \sqrt{x-3}, x \ge 3$.
6. Soal Fungsi Invers
Diketahui fungsi $f(x)={}^2\! \log (x^2+2)$. Invers fungsi dari $f(x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2^x +2} \\ &(B)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2^x -2} \\ &(C)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2- 2^x } \\ &(D)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2+ 2^x} \\ &(E)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{ x^2 -2} \end{align} $
Diketahui fungsi $f(x)={}^2\! \log (x^2+2)$. Invers fungsi dari $f(x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2^x +2} \\ &(B)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2^x -2} \\ &(C)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2- 2^x } \\ &(D)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2+ 2^x} \\ &(E)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{ x^2 -2} \end{align} $
$
\begin{align}
y &= {}^2\! \log (x^2+2) \\
2^y &= x^2+2 \\
2^y -2 &= x^2 \\
x &= \pm \sqrt{2^y -2}
\end{align}
$
Sehingga, kita bisa dapatkan invers dari fungsi dari $f(x)$ nya adalah :
$f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2^x -2} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2^x -2}$.
Sehingga, kita bisa dapatkan invers dari fungsi dari $f(x)$ nya adalah :
$f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2^x -2} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ f^{-1}(x) = \pm \sqrt{2^x -2}$.
7. Soal Fungsi Invers
Diketahui fungsi $f(x)=3^\left( \frac{1-2x}{5} \right)$. Invers fungsi dari $f(x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 2 - 1 \cdot {}^2\! \log x \right) \\ &(B)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 1 + 2 \cdot {}^5\! \log x \right) \\ &(C)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 2 - 3 \cdot {}^2\! \log x \right) \\ &(D)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 1 - 5 \cdot {}^3\! \log x \right) \\ &(E)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 2 + 5 \cdot {}^3\! \log x \right) \end{align} $
Diketahui fungsi $f(x)=3^\left( \frac{1-2x}{5} \right)$. Invers fungsi dari $f(x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 2 - 1 \cdot {}^2\! \log x \right) \\ &(B)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 1 + 2 \cdot {}^5\! \log x \right) \\ &(C)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 2 - 3 \cdot {}^2\! \log x \right) \\ &(D)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 1 - 5 \cdot {}^3\! \log x \right) \\ &(E)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 2 + 5 \cdot {}^3\! \log x \right) \end{align} $
$
\begin{align}
y &= 3^\left( \frac{1-2x}{5} \right) \\
{}^3\! \log y &= \frac{1-2x}{5} \\
5 \cdot {}^3\! \log y &= 1-2x \\
5 \cdot {}^3\! \log y -1 &= -2x \ \ \text{|} \ \times (-1) \\
1 - 5 \cdot {}^3\! \log y &= 2x \\
\dfrac{1}{2} \left( 1 - 5 \cdot {}^3\! \log y \right) &= x
\end{align}
$
Sehingga,
$f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 1 - 5 \cdot {}^3\! \log x \right)$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 1 - 5 \cdot {}^3\! \log x \right)$.
Sehingga,
$f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 1 - 5 \cdot {}^3\! \log x \right)$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(D)\ f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} \left( 1 - 5 \cdot {}^3\! \log x \right)$.
C. Invers Fungsi Komposisi
Mencari invers dari suatu fungsi komposisi cukup mudah.Ada dua cara yang bisa kalian pakai :
- Dengan mencari dulu nilai dari fungsi komposisinya lalu bagian terakhir tinggal mencari invers fungsinya.
- Kita cari masing - masing invers dari fungsi pembentuk fungsi komposisinya baru dibagian akhir tinggal kita hitung invers fungsinya.
\[ f \circ g)^{-1} (x)=(g^{-1} \circ f^{-1})(x) \]
Oke perhatikan beberapa contoh soal berikut ini ya gengs.
Contoh Soal Invers Fungsi Komposisi dan Pembahasan Lengkap
Yuk, kita selami lebih jauh lagi dengan bahas beberapa contoh soalnya.Tetap ikutin sampai akhir ya.
1. Soal Invers Fungsi Komposisi
Diketahui fungsi $f(x)=2x+3$ dan $g(x)=^{2}\textrm{log} \ {3x}$ maka nilai dari $(f \circ g)^{-1} (x)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ \sqrt{\dfrac{2^{y}}{72}} \\ &(B)\ \sqrt{\dfrac{2^{x}}{72}} \\ &(C)\ \sqrt{\dfrac{2^{y}}{27}} \\ &(D)\ \sqrt{\dfrac{2^{x}}{27}} \\ &(E)\ -\sqrt{\dfrac{2^{y}}{72}} \end{align} $
Diketahui fungsi $f(x)=2x+3$ dan $g(x)=^{2}\textrm{log} \ {3x}$ maka nilai dari $(f \circ g)^{-1} (x)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ \sqrt{\dfrac{2^{y}}{72}} \\ &(B)\ \sqrt{\dfrac{2^{x}}{72}} \\ &(C)\ \sqrt{\dfrac{2^{y}}{27}} \\ &(D)\ \sqrt{\dfrac{2^{x}}{27}} \\ &(E)\ -\sqrt{\dfrac{2^{y}}{72}} \end{align} $
Dengan menggunakan sifat dari invers fungsi komposisi $(f \circ g)^{-1} (x)=(g^{-1} \circ f^{-1})(x)$.
Maka kita akan cari terlebih dahulu nilai dari fungsi komposisi yang dimaksud dalam soal.
$ \begin{align} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ & =2(^{2}\textrm{log} \ {3x})+3 \\ & =^{2}\textrm{log} \ {(3x)^{2}}+^{2}\textrm{log} \ {8} \\ & =^{2}\textrm{log} \ {8(3x)^{2}} \\ & =^{2}\textrm{log} \ {72x^{2}} \end{align} $
Berikutnya kita langkah terakhir kita akan hitung berapa nilai dari $(f \circ g)^{-1} (x)$.
Sehingga kita akan dapatkan :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) &=^{2}\textrm{log} \ {72x^{2}} \\ y \ &=^{2}\textrm{log} \ {72x^{2}} \\ 2^{y} &= 72x^{2} \\ \dfrac{2^{y}}{72} &=x^{2} \\ x \ &= \pm \sqrt{\dfrac{2^{y}}{72}} \end{align} $
Dengan demikian kita dapatkan hasil akhir yaitu $(f \circ g)^{-1}=\sqrt{\dfrac{2^{x}}{72}}$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B) \ (f \circ g)^{-1}=\sqrt{\dfrac{2^{x}}{72}}$.
Maka kita akan cari terlebih dahulu nilai dari fungsi komposisi yang dimaksud dalam soal.
$ \begin{align} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ & =2(^{2}\textrm{log} \ {3x})+3 \\ & =^{2}\textrm{log} \ {(3x)^{2}}+^{2}\textrm{log} \ {8} \\ & =^{2}\textrm{log} \ {8(3x)^{2}} \\ & =^{2}\textrm{log} \ {72x^{2}} \end{align} $
Berikutnya kita langkah terakhir kita akan hitung berapa nilai dari $(f \circ g)^{-1} (x)$.
Sehingga kita akan dapatkan :
$ \begin{align} (f \circ g)(x) &=^{2}\textrm{log} \ {72x^{2}} \\ y \ &=^{2}\textrm{log} \ {72x^{2}} \\ 2^{y} &= 72x^{2} \\ \dfrac{2^{y}}{72} &=x^{2} \\ x \ &= \pm \sqrt{\dfrac{2^{y}}{72}} \end{align} $
Dengan demikian kita dapatkan hasil akhir yaitu $(f \circ g)^{-1}=\sqrt{\dfrac{2^{x}}{72}}$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B) \ (f \circ g)^{-1}=\sqrt{\dfrac{2^{x}}{72}}$.
2. Soal Invers Fungsi Komposisi
Diketahui fungsi $f^{-1}=5x+11$ dan $g(x)=\dfrac{x+3}{4-7x}$ maka nilai dari $(g \circ f)^{-1} (x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ \frac{96x+5}{-7x-1} \\ \\ &(B)\ \frac{97x-4}{-7x-1} \\ \\ &(C)\ \frac{96x-5}{-7x-1} \\ \\ &(D)\ \frac{-97x+4}{-7x-1} \\ \\ &(E)\ \frac{97x+4}{7x+2} \end{align} $
Diketahui fungsi $f^{-1}=5x+11$ dan $g(x)=\dfrac{x+3}{4-7x}$ maka nilai dari $(g \circ f)^{-1} (x)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ \frac{96x+5}{-7x-1} \\ \\ &(B)\ \frac{97x-4}{-7x-1} \\ \\ &(C)\ \frac{96x-5}{-7x-1} \\ \\ &(D)\ \frac{-97x+4}{-7x-1} \\ \\ &(E)\ \frac{97x+4}{7x+2} \end{align} $
Dengan menggunakan sifat dari invers fungsi komposisi,
\[ (f \circ g)^{-1} (x)=(g^{-1} \circ f^{-1})(x) \]
Maka kita akan cari terlebih dahulu nilai dari $g^{-1}(x)$ karena fungsi $f$ sudah diketahui inversnya.
Dengan demikian,
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1}(x) &= (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ &=5 \left ( \dfrac{-4x+3}{-7x-1} \right)+11 \\ &=\dfrac{-20x+15-77x-11}{-7x-1} \\ &=\dfrac{-97x+4}{-7x-1} \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(D) \ \dfrac{-97x+4}{-7x-1}$.
TRIK SUPERKILAT!
Jika $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ maka $g^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}$.
Sehingga kita akan peroleh bahwa nilai dari $g^{-1}(x)=\dfrac{-4x+3}{-7x-1}$.Jika $g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ maka $g^{-1}(x)=\dfrac{-dx+b}{cx-a}$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} (g \circ f)^{-1}(x) &= (f^{-1} \circ g^{-1})(x) \\ &=5 \left ( \dfrac{-4x+3}{-7x-1} \right)+11 \\ &=\dfrac{-20x+15-77x-11}{-7x-1} \\ &=\dfrac{-97x+4}{-7x-1} \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(D) \ \dfrac{-97x+4}{-7x-1}$.
3. Soal SBMPTN 2018 Kode 526
Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dan $g(x+1)=x-3$ maka nilai $f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 14 \\ &(B)\ 9 \\ &(C)\ 0 \\ &(D)\ -9 \\ &(E)\ -14 \end{align} $
Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f \left( g(x) \right)=2x-1$ dan $g(x+1)=x-3$ maka nilai $f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3)$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 14 \\ &(B)\ 9 \\ &(C)\ 0 \\ &(D)\ -9 \\ &(E)\ -14 \end{align} $
Dari $g(x+1)=x-3$ kita akan dapatkan $g^{-1}(x)$,
$ \begin{align} g(x+1) &= x-3 \\ g(x) &= (x-1)-3 \\ g(x) &= x-4 \\ \\ g^{-1}(x) &= x+4 \end{align} $
Dengan menyubstitusikan $g^{-1}(x)$ ke $f \left( g(x) \right)$ kita akan mendapatkan $f(x)$ secara mudah, sehingga
$ \begin{align} f(x) &= 2(x+4)-1 \\ &= 2x + 7 \\ \\ f^{-1}(x) &= \dfrac{x-7}{2} \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3) &= \left( \dfrac{3-7}{2} \right) (3+4) \\ &= (-2)(7) \\ &= -14 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(E)\ -14$.
$ \begin{align} g(x+1) &= x-3 \\ g(x) &= (x-1)-3 \\ g(x) &= x-4 \\ \\ g^{-1}(x) &= x+4 \end{align} $
Dengan menyubstitusikan $g^{-1}(x)$ ke $f \left( g(x) \right)$ kita akan mendapatkan $f(x)$ secara mudah, sehingga
$ \begin{align} f(x) &= 2(x+4)-1 \\ &= 2x + 7 \\ \\ f^{-1}(x) &= \dfrac{x-7}{2} \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} f^{-1}(3) \cdot g^{-1}(3) &= \left( \dfrac{3-7}{2} \right) (3+4) \\ &= (-2)(7) \\ &= -14 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(E)\ -14$.
4. Soal UM UGM 2019 Kode 934
Diketahui $f(x)=x^{2} +1$ dan $g(x)=ax+2$, dengan $a \neq 0$. Jika $\left( f \circ g^{-1} \right)(1)=5$ maka $4a^{2} -3 = $...
$ \begin{align} &(A)\ -3 \\ &(B)\ -2 \\ &(C)\ -1 \\ &(D)\ 1 \\ &(E)\ 2 \end{align} $
Diketahui $f(x)=x^{2} +1$ dan $g(x)=ax+2$, dengan $a \neq 0$. Jika $\left( f \circ g^{-1} \right)(1)=5$ maka $4a^{2} -3 = $...
$ \begin{align} &(A)\ -3 \\ &(B)\ -2 \\ &(C)\ -1 \\ &(D)\ 1 \\ &(E)\ 2 \end{align} $
$g(x)=ax+2$ maka $g^{-1}(x)=\dfrac{x-2}{a}$
Kita peroleh,
$ \begin{align} \left( f \circ g^{-1} \right)(x) &= \left( \dfrac{x-2}{a} \right)^{2} +1 \\ \\ \left( f \circ g^{-1} \right)(1) &= 5 \\ \left( \dfrac{1-2}{a} \right)^{2} + 1 & = 5 \\ \dfrac{1}{a^2} + 1 & = 5 \\ 1 &= 4a^2 \\ a^2 &= \dfrac{1}{4} \\ \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} 4a^{2} -3 &= 4 \left( \dfrac{1}{4} \right) -3 \\ &= -2 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ -2$.
Kita peroleh,
$ \begin{align} \left( f \circ g^{-1} \right)(x) &= \left( \dfrac{x-2}{a} \right)^{2} +1 \\ \\ \left( f \circ g^{-1} \right)(1) &= 5 \\ \left( \dfrac{1-2}{a} \right)^{2} + 1 & = 5 \\ \dfrac{1}{a^2} + 1 & = 5 \\ 1 &= 4a^2 \\ a^2 &= \dfrac{1}{4} \\ \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} 4a^{2} -3 &= 4 \left( \dfrac{1}{4} \right) -3 \\ &= -2 \end{align} $
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ -2$.
5. Soal SIMAK UI 2009 MatDas Kode 921
$f^{-1}$ dan $g^{-1}$ berturut-turut menyatakan invers dari fungsi $f$ dan $g$. Jika $(f^{-1} \circ g^{-1} )(x) = 2x - 4$ dan $g(x) = \dfrac{x-3}{2x+1}$, $x \neq -\dfrac{1}{2}$ maka nilai $f(2)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ -\dfrac{5}{4} \\ &(B)\ -\dfrac{6}{5} \\ &(C)\ -\dfrac{4}{5} \\ &(D)\ -\dfrac{6}{7} \\ &(E)\ 0 \end{align} $
$f^{-1}$ dan $g^{-1}$ berturut-turut menyatakan invers dari fungsi $f$ dan $g$. Jika $(f^{-1} \circ g^{-1} )(x) = 2x - 4$ dan $g(x) = \dfrac{x-3}{2x+1}$, $x \neq -\dfrac{1}{2}$ maka nilai $f(2)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ -\dfrac{5}{4} \\ &(B)\ -\dfrac{6}{5} \\ &(C)\ -\dfrac{4}{5} \\ &(D)\ -\dfrac{6}{7} \\ &(E)\ 0 \end{align} $
$
\begin{align}
(f^{-1} \circ g^{-1} )(x) &= (g \circ f)^{-1}(x) = 2x - 4 \\ \\
(g \circ f)(x) &= \dfrac{x+4}{2} \\
g \left( f(x) \right) &= \dfrac{x+4}{2} \\
\dfrac{f(x)-3}{2 \cdot f(x)+1} &= \dfrac{x+4}{2} \\ \\
x=2 \to \dfrac{f(2)-3}{2 \cdot f(2)+1} &= \dfrac{2+4}{2} \\
\dfrac{f(2)-3}{2 \cdot f(2)+1} &= 3 \\
f(2)-3 &= 6 \cdot f(2) + 3 \\
-6 &= 5 \cdot f(2) \\
-\dfrac{6}{5} &= f(2)
\end{align}
$
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ -\dfrac{6}{5}$.
Jadi pilihan jawaban yang benar adalah $(B)\ -\dfrac{6}{5}$.
Penutup: Latihan Bikin Jago, Bukan Sekadar Nilai!
Okeee, jadi itulah rangkuman lengkap kita tentang fungsi komposisi, fungsi invers, dan juga invers dari fungsi komposisi.Walau awalnya kelihatan rumit, tapi makin kamu latihan, makin kamu ngerti polanya. Matematika itu kayak naik sepeda—harus dicoba terus biar bisa seimbang.
Jangan terlalu fokus sama “harus langsung paham.” Belajar itu proses, dan kamu punya waktu buat terus berkembang. Nggak ada yang jago dalam semalam, yang penting terus coba.
Jadiii... semangat terus ya, pejuang kelas 11!
Matematika boleh rumit, tapi kamu lebih hebat dari rumus mana pun. Sampai jumpa di catatan seru berikutnya!
"Jangan khawatir soal kesulitanmu di matematika. Aku jamin punyaku lebih besar." – Albert Einstein
