Penalaran Matematika : Aturan Keterbagian Bilangan
Pada bab ini kamu akan belajar lengkap mengenai konsep dari aturan keterbagian bilangan lengkap.
Pada akhir materi kamu tidak hanya akan bisa membedakan apakah bilangan $a$ habis dibagi $b$ tetapi kamu bakal dengan mudah mengaplikasikannya dalam berbagai bab yang lain dalam metematika jika dibutuhkan.
Setiap bilangan dalam matematika memiliki ciri - ciri khusus agar kita bisa mengetahui apakah bilangan $a$ habis dibagi $b$.
Lebih lengkap simak sampai habis pembahasan konsep dan contoh soal berikut ini.
A. Bilangan Habis di Bagi 2
Suatu bilangan bulat habis dibagi oleh $2$ jika digit satuannya adalah genap atau $0$.
Contoh :
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $2$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51489 \\ & (2) \ 46258 \\ & (3) \ 15236 \\ & (4) \ 10027 \\ & (5) \ 23064 \end{align} $
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $2$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51489 \\ & (2) \ 46258 \\ & (3) \ 15236 \\ & (4) \ 10027 \\ & (5) \ 23064 \end{align} $
Dari pernyataan bilangan $(1)$, $(2)$ dan seterusnya bisa kita dapatkan,
$(1) \ 51489 $ tidak habis dibagi $2$ karena angka satuannya $9$ (bukan genap).
$(2) \ 46258 $ jelas habis dibagi $2$ karena angka satuannya $8$ (genap).
$(3) \ 15236 $ habis dibagi $2$ karena angka satuannya $6$ (genap).
$(4) \ 10027 $ tidak habis dibagi $2$ karena angka satuannya $7$, kan udah gua bilang tadi (satuan bukan genap).
$(5) \ 23064 $ ini lagi udah pasti habis dibagi $2$ karena angka satuannya $4$ (genap).
$(1) \ 51489 $ tidak habis dibagi $2$ karena angka satuannya $9$ (bukan genap).
$(2) \ 46258 $ jelas habis dibagi $2$ karena angka satuannya $8$ (genap).
$(3) \ 15236 $ habis dibagi $2$ karena angka satuannya $6$ (genap).
$(4) \ 10027 $ tidak habis dibagi $2$ karena angka satuannya $7$, kan udah gua bilang tadi (satuan bukan genap).
$(5) \ 23064 $ ini lagi udah pasti habis dibagi $2$ karena angka satuannya $4$ (genap).
B. Bilangan Habis di Bagi 3
Suatu bilangan bulat habis dibagi oleh $3$ jika jumlah semua digitnya juga habis dibagi $3$.
Contoh :
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $3$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51489 \\ & (2) \ 46258 \\ & (3) \ 15236 \\ & (4) \ 10026 \\ & (5) \ 23064 \end{align} $
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $3$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51489 \\ & (2) \ 46258 \\ & (3) \ 15236 \\ & (4) \ 10026 \\ & (5) \ 23064 \end{align} $
Jumlahkan bilangan pada masing - masing digitnya, kita akan dapatkan:
$ \begin{align} & (1) \ 51489 \\ & \to \ 5+1+4+8+9=27 \end{align} $
Karena $27$ habis dibagi $3$ maka bilangan $51489$ habis dibagi $3$.
$ \begin{align} & (2) \ 46258 \\ & \to \ 4+6+2+5+8=25 \end{align} $
Karena $25$ tidak habis dibagi $3$ maka bilangan $46258$ tidak habis dibagi $3$.
$ \begin{align} & (3) \ 15236 \\ & \to \ 1+5+2+3+6=17 \end{align} $
Karena $17$ tidak habis dibagi $3$ maka bilangan $15236$ tidak habis dibagi $3$.
$ \begin{align} & (4) \ 10026 \\ & \to \ 1+0+0+2+6=18 \end{align} $
Karena $18$ habis dibagi $3$ maka bilangan $10026$ juga habis dibagi $3$.
$ \begin{align} & (5) \ 23064 \\ & \to \ 2+3+0+6+4=15 \end{align} $
Karena $15$ habis dibagi $3$ maka bilangan $23064$ juga habis dibagi $3$.
$ \begin{align} & (1) \ 51489 \\ & \to \ 5+1+4+8+9=27 \end{align} $
Karena $27$ habis dibagi $3$ maka bilangan $51489$ habis dibagi $3$.
$ \begin{align} & (2) \ 46258 \\ & \to \ 4+6+2+5+8=25 \end{align} $
Karena $25$ tidak habis dibagi $3$ maka bilangan $46258$ tidak habis dibagi $3$.
$ \begin{align} & (3) \ 15236 \\ & \to \ 1+5+2+3+6=17 \end{align} $
Karena $17$ tidak habis dibagi $3$ maka bilangan $15236$ tidak habis dibagi $3$.
$ \begin{align} & (4) \ 10026 \\ & \to \ 1+0+0+2+6=18 \end{align} $
Karena $18$ habis dibagi $3$ maka bilangan $10026$ juga habis dibagi $3$.
$ \begin{align} & (5) \ 23064 \\ & \to \ 2+3+0+6+4=15 \end{align} $
Karena $15$ habis dibagi $3$ maka bilangan $23064$ juga habis dibagi $3$.
C. Bilangan Habis di Bagi 4
Suatu bilangan bulat habis dibagi $4$ jika dua digit angka terakhirnya habis dibagi $4$.
Contoh :
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $4$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51364 \\ & (2) \ 46412 \\ & (3) \ 15233 \\ & (4) \ 20018 \\ & (5) \ 53022 \end{align} $
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $4$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51364 \\ & (2) \ 46412 \\ & (3) \ 15233 \\ & (4) \ 20018 \\ & (5) \ 53022 \end{align} $
Fokus hanya pada dua digit angka terakhirnya ya.
Dari pernyataan $(1)$ sampai $(4)$ di atas bisa kita dapatkan,
$(1) \ 51364 $ habis dibagi $4$ karena $64$ habis dibagi $4$.
$(2) \ 46412 $ jelas habis dibagi $4$ karena $12$ habis dibagi $4$.
$(3) \ 15233 $ tidak habis dibagi $4$ karena $33$ bukan kelipatan $4$.
$(4) \ 20018 $ pasti tidak habis dibagi $4$ karena $18$ tidak habisdibagi $4$.
$(5) \ 53022 $ apalagi ini udah pasti tidak habis dibagi $4$ karena $22$ jelas bukan kelipatan $4$(habis dibagi $4$).
Dari pernyataan $(1)$ sampai $(4)$ di atas bisa kita dapatkan,
$(1) \ 51364 $ habis dibagi $4$ karena $64$ habis dibagi $4$.
$(2) \ 46412 $ jelas habis dibagi $4$ karena $12$ habis dibagi $4$.
$(3) \ 15233 $ tidak habis dibagi $4$ karena $33$ bukan kelipatan $4$.
$(4) \ 20018 $ pasti tidak habis dibagi $4$ karena $18$ tidak habisdibagi $4$.
$(5) \ 53022 $ apalagi ini udah pasti tidak habis dibagi $4$ karena $22$ jelas bukan kelipatan $4$(habis dibagi $4$).
D. Bilangan Habis di Bagi 5
Suatu bilangan bulat habis dibagi $5$ jika mempunyai bilangan satuannya $5$ atau $0$.
Contoh :
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $5$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51480 \\ & (2) \ 46485 \\ & (3) \ 15236 \\ & (4) \ 10024 \\ & (5) \ 53065 \end{align} $
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $5$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51480 \\ & (2) \ 46485 \\ & (3) \ 15236 \\ & (4) \ 10024 \\ & (5) \ 53065 \end{align} $
Dari pernyataan $(1)$ sampai dengan $(4)$ bisa kita dapatkan,
$(1) \ 51480 $ habis dibagi $5$ karena angka satuannya $0$.
$(2) \ 46485 $ habis dibagi $5$ karena angka satuannya $5$.
$(3) \ 15236 $ tidak habis dibagi $5$ karena angka satuannya $6$.
$(4) \ 10024 $ tidak habis dibagi $5$ karena angka satuannya $4$.
$(5) \ 53065 $ ini lagi udah pasti habis dibagi $5$ karena angka satuannya $5$, udah jelas banget kan?!?
$(1) \ 51480 $ habis dibagi $5$ karena angka satuannya $0$.
$(2) \ 46485 $ habis dibagi $5$ karena angka satuannya $5$.
$(3) \ 15236 $ tidak habis dibagi $5$ karena angka satuannya $6$.
$(4) \ 10024 $ tidak habis dibagi $5$ karena angka satuannya $4$.
$(5) \ 53065 $ ini lagi udah pasti habis dibagi $5$ karena angka satuannya $5$, udah jelas banget kan?!?
E. Bilangan Habis di Bagi 6
Suatu bilangan bulat habis dibagi $6$ jika bilangan tersebut habis dibagi $2$ dan $3$ sekaligus.
Contoh :
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $6$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51480 \\ & (2) \ 46485 \\ & (3) \ 15236 \\ & (4) \ 10024 \\ & (5) \ 53065 \end{align} $
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $6$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51480 \\ & (2) \ 46485 \\ & (3) \ 15236 \\ & (4) \ 10024 \\ & (5) \ 53065 \end{align} $
Kita akan cek apakah bilangan - bilangan dari $(1)$ sampai $(4)$ memenuhi syarat habis dibagi $2$ dan $3$ sekaligus.
$ \begin{align} & (1) \ 51480 \\ & \to \ 5+1+4+8+0=18 \end{align} $
*Karena $18$ habis dibagi $3$ maka bilangan $51480$ habis dibagi $3$.
**Karena $51480$ satuannya $0$ maka juga habis dibagi $2$.
Sehingga $51480$ pasti habis dibagi $6$.
$ \begin{align} & (2) \ 46485 \\ & \to \ 4+6+4+8+5=27 \end{align} $
*Karena $27$ habis dibagi $3$ maka bilangan $46485$ habis dibagi $3$.
**Namun $46485$ satuannya $5$ maka tidak habis dibagi $2$.
Sehingga $46485$ pasti tidak habis dibagi $6$.
$ \begin{align} & (3) \ 15236 \\ & \to \ 1+5+2+3+6=17 \end{align} $
*Karena $17$ tidak habis dibagi $3$ maka bilangan $15236$ tidak habis dibagi $3$.
**Meskipun $15236$ satuannya $6$ habis dibagi $2$ maka $15236$ pasti tidak habis dibagi $6$.
$ \begin{align} & (4) \ 10024 \\ & \to \ 1+0+0+2+4=7 \end{align} $
*Ini apalagi karena $7$ tidak habis dibagi $3$ maka jelas bilangan $10024$ tidak habis dibagi $3$.
**Meskipun $10024$ satuannya $4$ genap habis dibagi $2$ maka dapat disimpulkan $10024$ pasti tidak habis dibagi $6$.
$ \begin{align} & (5) \ 53065 \\ & \to \ 5+3+0+6+5=19 \end{align} $
*Karena $19$ tidak habis dibagi $3$ maka jelas bilangan $53065$ tidak habis dibagi $3$.
**Bilangan satuan $53065$ tidak genap maka tidak habis dibagi $2$ sehingga dapat disimpulkan $53065$ pasti tidak habis dibagi $6$.
$ \begin{align} & (1) \ 51480 \\ & \to \ 5+1+4+8+0=18 \end{align} $
*Karena $18$ habis dibagi $3$ maka bilangan $51480$ habis dibagi $3$.
**Karena $51480$ satuannya $0$ maka juga habis dibagi $2$.
Sehingga $51480$ pasti habis dibagi $6$.
$ \begin{align} & (2) \ 46485 \\ & \to \ 4+6+4+8+5=27 \end{align} $
*Karena $27$ habis dibagi $3$ maka bilangan $46485$ habis dibagi $3$.
**Namun $46485$ satuannya $5$ maka tidak habis dibagi $2$.
Sehingga $46485$ pasti tidak habis dibagi $6$.
$ \begin{align} & (3) \ 15236 \\ & \to \ 1+5+2+3+6=17 \end{align} $
*Karena $17$ tidak habis dibagi $3$ maka bilangan $15236$ tidak habis dibagi $3$.
**Meskipun $15236$ satuannya $6$ habis dibagi $2$ maka $15236$ pasti tidak habis dibagi $6$.
$ \begin{align} & (4) \ 10024 \\ & \to \ 1+0+0+2+4=7 \end{align} $
*Ini apalagi karena $7$ tidak habis dibagi $3$ maka jelas bilangan $10024$ tidak habis dibagi $3$.
**Meskipun $10024$ satuannya $4$ genap habis dibagi $2$ maka dapat disimpulkan $10024$ pasti tidak habis dibagi $6$.
$ \begin{align} & (5) \ 53065 \\ & \to \ 5+3+0+6+5=19 \end{align} $
*Karena $19$ tidak habis dibagi $3$ maka jelas bilangan $53065$ tidak habis dibagi $3$.
**Bilangan satuan $53065$ tidak genap maka tidak habis dibagi $2$ sehingga dapat disimpulkan $53065$ pasti tidak habis dibagi $6$.
F. Bilangan Habis di Bagi 7
Suatu bilangan bulat habis dibagi $7$ jika dan hanya jika selisih antara bilangan yang dinyatakan oleh lambang bilangan mula-mula kecuali angka terakhir dengan dua kali bilangan angka terakhir tersebut habis dibagi $7$.
Contoh :
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $7$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51480 \\ & (2) \ 52703 \\ & (3) \ 15236 \\ \end{align} $
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $7$ :
$ \begin{align} & (1) \ 51480 \\ & (2) \ 52703 \\ & (3) \ 15236 \\ \end{align} $
$(1) \ 51480 $
Langkah pertama pisahkan satuannya dan kalikan dua. Lanjut kurangi bilangan digit awal dengan duakali satuannya tadi.
Jadinya seperti ini,
$ \to \ 5148-2(0) = 5148$
Apakah $5148$ habis dibagi $7$ ? Ulangi kalau masih belum mendapatkan jawabannya.
$ \begin{align} 514-2(8) &= 498 \\ \end{align} $
Nah dari sini kita sudah bisa menyimpulkan. Karena $498$ tidak habis dibagi $7$ maka $51480$ tidak habis dibagi $7$.
$(2) \ 52703 $
$ \to \ 5270-2(3) = 5264$
Lanjut lagi sampai ketemu angka sederhana yang bisa kamu tahu bisa habis dibagi $7$ (angka kelipatan $7$).
$526-2(4) = 518$
Sampai sini kalau kamu masih belum bisa memutukan apakah $518$ bakal habis dibagi $7$, ulangi terus prosesnya.
$51-2(8) = 35$
Nah hasil berantai paling akhir menunjukkan $35$ yang bisa habis dibagi $7$.
Sehingga kesimpulan akhirnya adalah $52703$ habis dibagi $7$.
$(3) \ 15236 $
Nah untuk soal ini, silahkan buat latihan ya apakah habis dibagi $7$??? He...
Langkah pertama pisahkan satuannya dan kalikan dua. Lanjut kurangi bilangan digit awal dengan duakali satuannya tadi.
Jadinya seperti ini,
$ \to \ 5148-2(0) = 5148$
Apakah $5148$ habis dibagi $7$ ? Ulangi kalau masih belum mendapatkan jawabannya.
$ \begin{align} 514-2(8) &= 498 \\ \end{align} $
Nah dari sini kita sudah bisa menyimpulkan. Karena $498$ tidak habis dibagi $7$ maka $51480$ tidak habis dibagi $7$.
$(2) \ 52703 $
$ \to \ 5270-2(3) = 5264$
Lanjut lagi sampai ketemu angka sederhana yang bisa kamu tahu bisa habis dibagi $7$ (angka kelipatan $7$).
$526-2(4) = 518$
Sampai sini kalau kamu masih belum bisa memutukan apakah $518$ bakal habis dibagi $7$, ulangi terus prosesnya.
$51-2(8) = 35$
Nah hasil berantai paling akhir menunjukkan $35$ yang bisa habis dibagi $7$.
Sehingga kesimpulan akhirnya adalah $52703$ habis dibagi $7$.
$(3) \ 15236 $
Nah untuk soal ini, silahkan buat latihan ya apakah habis dibagi $7$??? He...
G. Bilangan Habis di Bagi 8
Suatu bilangan bulat habis dibagi $8$ jika tiga digit terakhir bilangannya habis dibagi $8$.
Contoh :
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $7$ :
$ \begin{align} & (1) \ 56224 \\ & (2) \ 51326 \\ & (3) \ 48496 \\ & (4) \ 31072 \\ & (5) \ 21081 \end{align} $
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $7$ :
$ \begin{align} & (1) \ 56224 \\ & (2) \ 51326 \\ & (3) \ 48496 \\ & (4) \ 31072 \\ & (5) \ 21081 \end{align} $
$(1) \ 56224$
Karena $224$ habis dibagi $8$ maka $56224$ habis dibagi $8$.
$(2) \ 51326$
Karena $326$ tidak habis dibagi $8$ maka $51326$ juga tidak bakal habis dibagi $8$.
$(3) \ 48496$
Karena $496$ habis dibagi $8$ maka sudah pasti $48496$ habis dibagi $8$.
$(4) \ 31072$
Ini apalagi karena $072$ atau $72$ habis dibagi $8$ pastinya $31072$ habis dibagi $8$.
$(5) \ 21081$
Nah kalau ini makin jelas lagi, $081$ atau $81$ pasti tidak habis dibagi $8$ jadinya $21081$ tidak habis dibagi $8$.
Sampai sini paham?!??? he...
Karena $224$ habis dibagi $8$ maka $56224$ habis dibagi $8$.
$(2) \ 51326$
Karena $326$ tidak habis dibagi $8$ maka $51326$ juga tidak bakal habis dibagi $8$.
$(3) \ 48496$
Karena $496$ habis dibagi $8$ maka sudah pasti $48496$ habis dibagi $8$.
$(4) \ 31072$
Ini apalagi karena $072$ atau $72$ habis dibagi $8$ pastinya $31072$ habis dibagi $8$.
$(5) \ 21081$
Nah kalau ini makin jelas lagi, $081$ atau $81$ pasti tidak habis dibagi $8$ jadinya $21081$ tidak habis dibagi $8$.
Sampai sini paham?!??? he...
H. Bilangan Habis di Bagi 9
Suatu bilangan bulat habis dibagi $9$ jika total semua digitnya habis dibagi $9$.
Contoh :
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $7$ :
$ \begin{align} & (1) \ 56223 \\ & (2) \ 51336 \\ & (3) \ 48496 \\ & (4) \ 31072 \\ & (5) \ 20781 \end{align} $
Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bilangan yang habis dibagi $7$ :
$ \begin{align} & (1) \ 56223 \\ & (2) \ 51336 \\ & (3) \ 48496 \\ & (4) \ 31072 \\ & (5) \ 20781 \end{align} $
Jumlahkan bilangan pada masing - masing digitnya, kita peroleh:
$ \begin{align} & (1) \ 56223 \\ & \to \ 5+6+2+2+3=18 \end{align} $
Karena $18$ habis dibagi $9$ maka bilangan $56223$ habis dibagi $9$.
$ \begin{align} & (2) \ 51336 \\ & \to \ 5+1+3+3+6=18 \end{align} $
Karena $18$ habis dibagi $9$ maka bilangan $51336$ sama aja habis dibagi $9$.
$ \begin{align} & (3) \ 48496 \\ & \to \ 4+8+4+9+6=31 \end{align} $
Nah karena $31$ tidak habis dibagi $9$ maka bilangan $48496$ tidak habis dibagi $9$.
$ \begin{align} & (4) \ 31072 \\ & \to \ 3+1+0+7+2=13 \end{align} $
waduh karena $13$ jelas tidak habis dibagi $9$ maka pasti $31072$ juga tidak habis dibagi $9$.
$ \begin{align} & (5) \ 20781 \\ & \to \ 2+0+7+8+1=18 \end{align} $
Pasti paham kamu kalau yang ini, karena $18$ jelas banget habis dibagi $9$ maka pasti $20781$ habis dibagi $9$.
$ \begin{align} & (1) \ 56223 \\ & \to \ 5+6+2+2+3=18 \end{align} $
Karena $18$ habis dibagi $9$ maka bilangan $56223$ habis dibagi $9$.
$ \begin{align} & (2) \ 51336 \\ & \to \ 5+1+3+3+6=18 \end{align} $
Karena $18$ habis dibagi $9$ maka bilangan $51336$ sama aja habis dibagi $9$.
$ \begin{align} & (3) \ 48496 \\ & \to \ 4+8+4+9+6=31 \end{align} $
Nah karena $31$ tidak habis dibagi $9$ maka bilangan $48496$ tidak habis dibagi $9$.
$ \begin{align} & (4) \ 31072 \\ & \to \ 3+1+0+7+2=13 \end{align} $
waduh karena $13$ jelas tidak habis dibagi $9$ maka pasti $31072$ juga tidak habis dibagi $9$.
$ \begin{align} & (5) \ 20781 \\ & \to \ 2+0+7+8+1=18 \end{align} $
Pasti paham kamu kalau yang ini, karena $18$ jelas banget habis dibagi $9$ maka pasti $20781$ habis dibagi $9$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah pembahasan Penalaran Matematika : Aturan Keterbagian Bilangan.Beberapa memang terlihat sedikit belibet seperti halnya ketika mencari bilangan habis dibagi $7$ yang perlu diulang - ulang prosesnya.
Namun seiring dengan sering latihan kamu bakal semakin terampil mengerjakannya.
Semoga dapat membantu kamu dalam memahami lebih lengkap lagi tentang materi keterbagian bilangan.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
“Ketika kamu merasa lelah, ingatlah akan semua alasan mengapa kamu memulai perjuangan ini.” – Anonim
