Rangkuman Aplikasi Turunan : Fungsi Naik, Fungsi Turun dan Stasioner
Ini adalah rangkuman lengkap materi aplikasi / penggunaan turunan yang berkaitan dengan fungsi naik, fungsi turun dan stasioner.
Bicara tentang aplikasi materi turunan sebenarnya ada banyak, namun kali ini kita fokuskan pada tiga topik yaitu fungsi naik, fungsi turun dan stasioner.
Oke, sebelum kita mulai. Alangkah baiknya yuk kita sedikit review beberapa informasi dasar yang mesti kita ingat kembali.
Rumus Dasar Turunan
Pada dasarnya turunan dari sebuah fungsi $f(x)$ bisa kita nyatakan sebagai $\frac{d f(x)}{dx}$, $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ ataupun $y'$.
Jika terdapat $f(x)=ax^{n}$ maka turunan dari $f(x)$ adalah $f'(x)=anx^{n-1}$.
Setelah kita tahu dan paham dengan rumus dasar dari turunan maka dengan mudah kita bisa mendapatkan batas - batas dari suatu fungsi naik, fungsi turun bahkan dalam kondisi stasioner sekalipun.
Fungsi Naik, Fungsi Turun dan Stasioner
Pada dasarnya suatu fungsi akan naik, turun dan stasioner jika memenuhi kondisi sebagai berikut :$\clubsuit$ Fungsi Naik $\to$ $f'(x) \gt 0$.
$\clubsuit$ Fungsi Turun $\to$ $f'(x) \lt 0$
$\clubsuit$ Stasioner $\to$ $f'(x) = 0$
Jenis - Jenis Stasioner
Untuk menentukan jenis dari suatu nilai stasioner maka yang kita butuhkan adalah nilai dari turunan fungsinya.
$\clubsuit$ $f''(x) \gt 0$ $\to$ stasioner minimum.
$\clubsuit$ $f''(x) \lt 0$ $\to$ stasioner maksimum
Biar lebih jelas lagi yuk kita bahas soal - soal yang berkaitan dengan topik yang kita bahas kali ini, fungsi naik, fungsi turun dan stasioner.
Penyelesaian :
Karena yang dicari dalam soal adalah fungsi naik maka kita akan cari batas -batas nilai $x$ nya sehingga nilai $f'(x) \gt 0$.
$ \begin{align} f(x) &= 2x^{3}-9x^{2}+12x \\ f'(x) &= 6x^{2}-18x+12 \end{align} $
$f(x)$ naik maka,
$ \begin{align} f'(x) &\gt 0 \\ 6x^{2}-18x+12 &\gt 0 \text{ | :6} \\ x^{2}-3x+2 &\gt 0 \\ (x-2)(x-1) &\gt 0 \end{align} $
Langkah terakhir adalah dengan menggunakan garis bilangan dan uji tanda kita akan mencari daerah hasil dari pertidaksamaan kuadrat di atas.
Penyelesaian :
Syarat stasioner dari fungsi $h(x)$ adalah $h'(x)=0$.
Sehingga kita akan peroleh,
$ \begin{align} h(x) &= 2x^{3}-15x^{2}+36x+8 \\ h'(x) &= 6x^{2}-30x+36 \\ \hline \\ 6x^{2}-30x+36 &=0 \ \text{| : 6} \\ x^{2}-5x+6 &=0 \\ (x-2)(x-3) &=0 \\ x=2 \ \text{atau} \ x=3 \end{align} $
Sekarang kita akan cari tahu jenis stasioner dari masing - masing nilai $x$ tersebut.
Caranya adalah dengan cek nilai $x$ tersebut pada turunan kedua dari fungsi $h(x)$.
$ \begin{align} h'(x) &= 6x^{2}-30x+36 \\ h''(x) &= 12x-30 \end{align} $
Untuk $x=2$ maka,
$ \begin{align} h''(2) &= 12(2)-30 \\ &= -6 \\ \end{align} $
$h''(2) \lt 0$ berarti maksimum di $x=2$.
Untuk $x=3$ maka,
$ \begin{align} h''(3) &= 12(3)-30 \\ &= 6 \\ \end{align} $
$h''(3) \gt 0$ berarti minimum di $x=3$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \text{Minimum di} \ x=3$.
Penyelesaian :
Ketinggian maksimum dapat dicapai jika $f'(x)=0$
$ \begin{align} f(x) &= 100x-x^{2} \\ f'(x) &= 100-2x \\ \hline 100-2x &=0 \\ x &=50 \end{align} $
Tinggi maksimum meriam adalah $50$ meter.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ 50$.
Penyelesaian :
Langkah pertama kita cari dulu fungsi biaya total dari project tersebut.
Selanjutnya dengan menggunakan konsep stasioner kita akan dapatkan dengan mudah bahwa biaya minimum adalah turunan pertamanya disamadengankan nol.
Fungsi biaya total,
$ \begin{align} B(x) &= \left( 2x+\dfrac{500}{x}-60 \right)x \\ B(x) &= 2x^{2}-60x+500 \\ \hline B'(x) &=0 \ \text{{biaya minimum}}\\ 4x-60 &=0 \\ x &=15 \end{align} $
Substitusikan ke $B(x)$,
$ \begin{align} B(15) &= 2(15)^{2}-60(15)+500 \\ &= 450-900+500 \\ &= 50 \end{align} $
Sehingga besar biaya minimum dari projectnya adalah $Rp. \ 50.000.000,00$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ Rp. \ 50.000.000,00$.
Contoh Soal Fungsi Naik, Fungsi Turun dan Stasioner
Contoh 1
Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x$ akan naik dalam interval ...
$ \begin{align} &(A)\ 1 \lt x \lt 2 \\ &(B)\ x \lt -2 \ \text{atau} \ x \gt -1 \\ &(C)\ -1 \lt x \lt 2 \\ &(D)\ -2 \lt x \lt -1 \\ &(E)\ x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 2 \end{align} $
Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x$ akan naik dalam interval ...
$ \begin{align} &(A)\ 1 \lt x \lt 2 \\ &(B)\ x \lt -2 \ \text{atau} \ x \gt -1 \\ &(C)\ -1 \lt x \lt 2 \\ &(D)\ -2 \lt x \lt -1 \\ &(E)\ x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 2 \end{align} $
Penyelesaian :
Karena yang dicari dalam soal adalah fungsi naik maka kita akan cari batas -batas nilai $x$ nya sehingga nilai $f'(x) \gt 0$.
$ \begin{align} f(x) &= 2x^{3}-9x^{2}+12x \\ f'(x) &= 6x^{2}-18x+12 \end{align} $
$f(x)$ naik maka,
$ \begin{align} f'(x) &\gt 0 \\ 6x^{2}-18x+12 &\gt 0 \text{ | :6} \\ x^{2}-3x+2 &\gt 0 \\ (x-2)(x-1) &\gt 0 \end{align} $
Langkah terakhir adalah dengan menggunakan garis bilangan dan uji tanda kita akan mencari daerah hasil dari pertidaksamaan kuadrat di atas.
Sehingga kita akan dapatkan daerah hasil penyelesaian yaitu $x \ \lt 1 \ \text{atau} \ \gt 2$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 2$.
Penyelesaian :
Syarat agar fungsi $g(x)$ turun adalah memenuhi kondisi $g(x) \lt 0$.
$ \begin{align} g(x) &= x^{3}-6x^{2}+9x+1 \\ g'(x) &= 3x^{2}-12x+9 \end{align} $
$g(x)$ turun maka,
$ \begin{align} g'(x) &\lt 0 \\ 3x^{2}-12x+9 &\lt 0 \text{ | :3} \\ x^{2}-4x+3 &\lt 0 \\ (x-1)(x-3) &\lt 0 \end{align} $
Selanjutnya dengan menggunakan garis bilangan dan uji tanda kita bisa cari daerah hasil dari pertidaksamaan kuadrat di atas.
Kita peroleh bahwa $g(x)$ akan turun dalam interval $1 \lt x \lt 3$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ 1 \lt x \lt 3$.Contoh 2
Grafik fungsi $g(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1$ akan turun dalam interval ...
$ \begin{align} &(A)\ 1 \lt x \lt 3 \\ &(B)\ x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 3 \\ &(C)\ -3 \lt x \lt 1 \\ &(D)\ -3 \lt x \lt -1 \\ &(E)\ x \lt -3 \ \text{atau} \ x \gt 1 \end{align} $
Grafik fungsi $g(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1$ akan turun dalam interval ...
$ \begin{align} &(A)\ 1 \lt x \lt 3 \\ &(B)\ x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 3 \\ &(C)\ -3 \lt x \lt 1 \\ &(D)\ -3 \lt x \lt -1 \\ &(E)\ x \lt -3 \ \text{atau} \ x \gt 1 \end{align} $
Penyelesaian :
Syarat agar fungsi $g(x)$ turun adalah memenuhi kondisi $g(x) \lt 0$.
$ \begin{align} g(x) &= x^{3}-6x^{2}+9x+1 \\ g'(x) &= 3x^{2}-12x+9 \end{align} $
$g(x)$ turun maka,
$ \begin{align} g'(x) &\lt 0 \\ 3x^{2}-12x+9 &\lt 0 \text{ | :3} \\ x^{2}-4x+3 &\lt 0 \\ (x-1)(x-3) &\lt 0 \end{align} $
Selanjutnya dengan menggunakan garis bilangan dan uji tanda kita bisa cari daerah hasil dari pertidaksamaan kuadrat di atas.
Kita peroleh bahwa $g(x)$ akan turun dalam interval $1 \lt x \lt 3$.
Contoh 3
Kondisi stasioner berikut BENAR untuk fungsi $h(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x+8$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ \text{Maksimum di} \ x=3 \\ &(B)\ \text{Minimum di} \ x=2 \\ &(C)\ \text{Minimum di} \ x=-2 \\ &(D)\ \text{Minimum di} \ x=3 \\ &(E)\ \text{Maksimum di} \ x=-2 \end{align} $
Kondisi stasioner berikut BENAR untuk fungsi $h(x)=2x^{3}-15x^{2}+36x+8$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ \text{Maksimum di} \ x=3 \\ &(B)\ \text{Minimum di} \ x=2 \\ &(C)\ \text{Minimum di} \ x=-2 \\ &(D)\ \text{Minimum di} \ x=3 \\ &(E)\ \text{Maksimum di} \ x=-2 \end{align} $
Penyelesaian :
Syarat stasioner dari fungsi $h(x)$ adalah $h'(x)=0$.
Sehingga kita akan peroleh,
$ \begin{align} h(x) &= 2x^{3}-15x^{2}+36x+8 \\ h'(x) &= 6x^{2}-30x+36 \\ \hline \\ 6x^{2}-30x+36 &=0 \ \text{| : 6} \\ x^{2}-5x+6 &=0 \\ (x-2)(x-3) &=0 \\ x=2 \ \text{atau} \ x=3 \end{align} $
Sekarang kita akan cari tahu jenis stasioner dari masing - masing nilai $x$ tersebut.
Caranya adalah dengan cek nilai $x$ tersebut pada turunan kedua dari fungsi $h(x)$.
$ \begin{align} h'(x) &= 6x^{2}-30x+36 \\ h''(x) &= 12x-30 \end{align} $
Untuk $x=2$ maka,
$ \begin{align} h''(2) &= 12(2)-30 \\ &= -6 \\ \end{align} $
$h''(2) \lt 0$ berarti maksimum di $x=2$.
Untuk $x=3$ maka,
$ \begin{align} h''(3) &= 12(3)-30 \\ &= 6 \\ \end{align} $
$h''(3) \gt 0$ berarti minimum di $x=3$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ \text{Minimum di} \ x=3$.
Contoh 4
Sebuah meriam ditembakkan ke atas dan membentuk suatu lintasan parabola $f(x)=100x-x^{2}$ dalam meter. Ketinggian maksimum yang dapat dicapai oleh meriam tersebut adalah ... meter.
$ \begin{align} &(A)\ 20 \\ &(B)\ 30 \\ &(C)\ 50 \\ &(D)\ 70 \\ &(E)\ 90 \end{align} $
Sebuah meriam ditembakkan ke atas dan membentuk suatu lintasan parabola $f(x)=100x-x^{2}$ dalam meter. Ketinggian maksimum yang dapat dicapai oleh meriam tersebut adalah ... meter.
$ \begin{align} &(A)\ 20 \\ &(B)\ 30 \\ &(C)\ 50 \\ &(D)\ 70 \\ &(E)\ 90 \end{align} $
Penyelesaian :
Ketinggian maksimum dapat dicapai jika $f'(x)=0$
$ \begin{align} f(x) &= 100x-x^{2} \\ f'(x) &= 100-2x \\ \hline 100-2x &=0 \\ x &=50 \end{align} $
Tinggi maksimum meriam adalah $50$ meter.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ 50$.
Contoh 5
Sebuah project dapat diselesaikan dalam waktu $x$ hari dengan memakan biaya perharinya sebesar $\left( 2x+\dfrac{500}{x}-60 \right)$ juta rupiah. Nilai biaya minimum dari project tersebut adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ Rp. \ 50.000.000,00 \\ &(B)\ Rp. \ 65.000.000,00 \\ &(C)\ Rp. \ 75.000.000,00 \\ &(D)\ Rp. \ 80.000.000,00 \\ &(E)\ Rp. \ 120.000.000,00 \end{align} $
Sebuah project dapat diselesaikan dalam waktu $x$ hari dengan memakan biaya perharinya sebesar $\left( 2x+\dfrac{500}{x}-60 \right)$ juta rupiah. Nilai biaya minimum dari project tersebut adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ Rp. \ 50.000.000,00 \\ &(B)\ Rp. \ 65.000.000,00 \\ &(C)\ Rp. \ 75.000.000,00 \\ &(D)\ Rp. \ 80.000.000,00 \\ &(E)\ Rp. \ 120.000.000,00 \end{align} $
Penyelesaian :
Langkah pertama kita cari dulu fungsi biaya total dari project tersebut.
Selanjutnya dengan menggunakan konsep stasioner kita akan dapatkan dengan mudah bahwa biaya minimum adalah turunan pertamanya disamadengankan nol.
Fungsi biaya total,
$ \begin{align} B(x) &= \left( 2x+\dfrac{500}{x}-60 \right)x \\ B(x) &= 2x^{2}-60x+500 \\ \hline B'(x) &=0 \ \text{{biaya minimum}}\\ 4x-60 &=0 \\ x &=15 \end{align} $
Substitusikan ke $B(x)$,
$ \begin{align} B(15) &= 2(15)^{2}-60(15)+500 \\ &= 450-900+500 \\ &= 50 \end{align} $
Sehingga besar biaya minimum dari projectnya adalah $Rp. \ 50.000.000,00$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ Rp. \ 50.000.000,00$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah rangkuman aplikasi turunan : fungsi naik, fungsi turun dan stasioner.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
