Cara Cepat Mengerjakan Limit Tak Hingga Trigonometri

Ini adalah tips dan trik bagaimana cara cepat mengerjakan soal limit tak hingga fungsi trigonometri.

Yups.. kalian ngga salah baca kok.

Memang ada sebagian dari jenis limit tak hingga yang menggunakan fungsi trigonometri.

Jika kita runut kebelakang, jenis soal limit tak hingga fungsi trigonometri ini mulai gaung kembali setelah keluar kembali dalam soal - soal SBMPTN tahun 2017 padahal di tahun - tahun sebelumnya pernah keluar di UM-UGM di bawah tahun 2010.

Itu kenapa menguasai materi jenis soal limit tak hingga fungsi trigonometri akan menjadi tambahan senjata kalian dalam mempersiapkkan diri mengikuti UTBK-SNBT (SBMPTN) ke depan.

Memang pada konsep awal hanya ada dua jenis limit tak hingga yang diperkenalkan di dalam buku - buku paket SMA kelas 11 dan 12.

Jenis limit tak hingga yang mempunyai bentuk pecahan dan selisih dua akar.

Sebenarnya untuk menyelesaikan sebuah soal limit tak hingga yang mempunyai fungsi trigonometri di dalamnya tidaklah sulit.

Karena kaidah - kaidah dasar dari sebuah limit tak hingga akan tetap bisa kita gunakan untuk menyelesaikannya.

Setidaknya ada dua kaidah yang bisa kita pakai untuk menyelesaiakan limit tak hingga fungsi trigonometri.

Kaidah yang umum yaitu dengan merubahnya kebentuk limit fungsi aljabar biasa dengan pendekatan

0

$0$ , sedangkan kaidah kedua tetap menggunakan pendekatan kaidah limit tak hingga aslinya.

Biar kalian ngga bingung di bawah ini ada beberapa rumus dasar dari limit tak hingga untuk masing - masing fungsi trigonometri.

$\lim\limits_{x \to \infty} \sin x = \infty$
$\lim\limits_{x \to \infty} \cos x = \infty$
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\cos x}{x} = 0$
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\sin \frac{a}{x}}{\frac{b}{x}} = \dfrac{a}{b}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\tan \frac{a}{x}}{\frac{b}{x}} = \dfrac{a}{b}$
$\lim\limits_{x \to \infty} \cos \dfrac{a}{x} = 1$

Oke.. biar lebih jelas lagi yuk kita langsung lihat contoh pemakaian rumus - rumusnya dalam soal.

Cara Cepat Limit Tak Hingga Trigonometri

Biar lebih mudah memahaminya, kita akan kerjakan menggunakan dua kaidah ya.

Kaidah pertama kita akan pakai pendekatan limit fungsi aljabar biasa sedangkan kaidah kedua kita akan pakai cara cepatnya yaitu dengan menggunakan rumus dasar dari limit tak hingga trigonometri.

Soal Limit Tak hingga Trigonometri

lim x \to \infty \frac{x - cos x}{x} = \dots

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x-\cos x}{x} = \cdots$ Cara (1)

lim x \to \infty \frac{x - cos x}{x} = \dots

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x-\cos x}{x} = \cdots$

Misal

x = \frac{1}{y}

$x=\dfrac{1}{y}$ maka

y = \frac{1}{x}

$y=\dfrac{1}{x}$ , sehingga untuk

x \to \infty

$x \to \infty$ maka

y \to 0

$y \to 0$ .

Dengan demikian kita peroleh,

\begin{matrix} lim x \to \infty \frac{x - cos x}{x} & = lim y \to 0 \frac{\frac{1}{y} - cos \frac{1}{y}}{\frac{1}{y}} = lim y \to 0 y (\frac{1}{y} - cos \frac{1}{y}) = lim y \to 0 (\frac{y}{y} - y cos \frac{1}{y}) = lim y \to 0 (1 - y cos \frac{1}{y}) = lim y \to 0 1 - lim y \to 0 (y cos \frac{1}{y}) = 1 - 0 \cdot lim y \to 0 cos \frac{1}{y} = 1 - 0 = 1 \end{matrix}

$\begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x-\cos x}{x} &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{y}-\cos \dfrac{1}{y}}{\dfrac{1}{y}} \\ &= \lim\limits_{y \to 0} y \left( \dfrac{1}{y}-\cos \dfrac{1}{y} \right) \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{y}{y} - y \ \cos \dfrac{1}{y} \right) \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \left( 1 - y \ \cos \dfrac{1}{y} \right) \\ &= \lim\limits_{y \to 0} 1 - \lim\limits_{y \to 0} \left( y \ \cos \dfrac{1}{y} \right) \\ &= 1 - 0 \ \cdot \ \lim\limits_{y \to 0} \cos \dfrac{1}{y} \\ &= 1-0 \\ &= 1 \end{align}$

Cara (2) CARA CEPAT !

Ingat kembali bahwa !

lim x \to \infty \frac{cos x}{x} = 0

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\cos x}{x} = 0$

Sehingga,

\begin{matrix} lim x \to \infty \frac{x - cos x}{x} & = lim x \to \infty (\frac{x}{x} - \frac{cos x}{x}) = lim x \to \infty \frac{x}{x} - lim x \to \infty \frac{cos x}{x} = lim x \to \infty 1 - lim x \to \infty \frac{cos x}{x} = 1 - 0 = 1 \end{matrix}

$\begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x-\cos x}{x} &= \lim\limits_{x \to \infty} \left( \dfrac{x}{x}-\dfrac{\cos x}{x} \right) \\ &=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x}{x} - \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\cos x}{x} \\ &=\lim\limits_{x \to \infty} 1 - \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\cos x}{x} \\ &= 1-0 \\ &= 1 \end{align}$

Nah gimana... ternyata akan lebih cepat jika kita paham dengan baik tentang rumus dasar dari limit tak hingga fungsi trigonometri bukan?!?

Biar makin paham simak pembahasan beberapa soal yang sudah kita rangkum dalam kumpulan soal limit tak hingga trigonometri berikut.

Kumpulan Soal Limit Tak hingga Trigonometri

Beberapa soal di bawah ini kita rangkum dari berbagai sumber yang ada baik offline(literasi buku) maupun online.

Termasuk juga di dalamnya soal - soal ulangan harian, ujian tengan semester, penilaian akhir semester, ujian sekolah, SBMPTN, UTBK, SNBT, SIMAK-UI, UM-UGM dan beberapa tes masuk PTN lainnya.

1. Soal SBMPTN 2017 Kode 106

lim x \to \infty \frac{x^{4} sin (\frac{1}{x}) + x^{2}}{1 + x^{3}} = \dots

$\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ \sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}}=\cdots$

\begin{matrix} (A) & Tidak ada limitnya (B) & 0 (C) & 1 (D) & - \infty (E) & \infty \end{matrix}

$\begin{align} (A)\ & \text{Tidak ada limitnya} \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & - \infty \\ (E)\ & \infty \end{align}$

Misal

x = \frac{1}{y}

$x=\dfrac{1}{y}$ maka

y = \frac{1}{x}

$y=\dfrac{1}{x}$ , sehingga untuk

x \to \infty

$x \to \infty$ maka

y \to 0

$y \to 0$ .

\begin{matrix} lim x \to \infty \frac{x^{4} sin (\frac{1}{x}) + x^{2}}{1 + x^{3}} = lim y \to 0 \frac{{(\frac{1}{y})}^{4} sin y + {(\frac{1}{y})}^{2}}{1 + {(\frac{1}{y})}^{3}} = lim y \to 0 \frac{\frac{1}{y^{4}} sin y + \frac{1}{y^{2}}}{1 + \frac{1}{y^{3}}} = lim y \to 0 \frac{\frac{sin y}{y^{4}} + \frac{1}{y^{2}}}{1 + \frac{1}{y^{3}}} \cdot \frac{y^{3}}{y^{3}} = lim y \to 0 \frac{\frac{sin y}{y} + y}{y^{3} + 1} = \frac{1 + 0}{0 + 1} = 1 \end{matrix}

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{x^{4}\ \sin \left (\dfrac{1}{x}\right )+x^{2}}{1+x^{3}} \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\left (\dfrac{1}{y} \right )^{4}\ \sin y+\left (\dfrac{1}{y} \right )^{2}}{1+\left (\dfrac{1}{y} \right )^{3}} \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{y^{4}}\ \sin y+\dfrac{1}{y^{2}}}{1+\dfrac{1}{y^{3}}} \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin y}{y^{4}}+\dfrac{1}{y^{2}}}{1+\dfrac{1}{y^{3}}} \cdot \dfrac{y^{3}}{y^{3}} \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\dfrac{\sin y}{y}+y}{y^{3}+1} \\ & = \dfrac{1+0}{0+1}\\ & = 1 \end{align}$

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah

(C) 1

$(C)\ 1$ .

2. Soal Ulangan Limit Tak Hingga

lim x \to \infty x^{2} sin \frac{1}{x} tan \frac{1}{x} = \dots

$\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \sin \dfrac{1}{x}\ \tan \dfrac{1}{x} =\cdots$

\begin{matrix} (A) & - 1 (B) & 0 (C) & \frac{1}{2} (D) & 1 (E) & 2 \end{matrix}

$\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Misal

x = \frac{1}{y}

$x=\dfrac{1}{y}$ maka

y = \frac{1}{x}

$y=\dfrac{1}{x}$ , sehingga untuk

x \to \infty

$x \to \infty$ maka

y \to 0

$y \to 0$ .

\begin{matrix} lim x \to \infty x^{2} sin \frac{1}{x} tan \frac{1}{x} = lim y \to 0 {(\frac{1}{y})}^{2} sin y tan y = lim y \to 0 \frac{1}{y^{2}} sin y tan y = lim y \to 0 \frac{sin y tan y}{y^{2}} = lim y \to 0 (\frac{sin y}{y} \cdot \frac{tan y}{y}) = 1 \cdot 1 = 1 \end{matrix}

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \sin \dfrac{1}{x}\ \tan \dfrac{1}{x} \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{1}{y} \right)^{2}\ \sin y \ \tan y \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}}\ \sin y \ \tan y \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\sin y \ \tan y}{y^{2}} \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{\sin y}{y} \cdot \dfrac{\tan y}{y} \right) \\ &= 1 \cdot 1 \\ &= 1 \end{align}$

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah

(D) 1

$(D)\ 1$ .

3. Soal Simulasi UTBK Limit Tak Hingga
Jika

lim n \to \infty n cos (\frac{π}{4 n}) sin (\frac{π}{4 n}) = k

$\lim\limits_{n \to \infty} n \cos \left( \dfrac{\pi}{4n} \right) \sin \left( \dfrac{\pi}{4n} \right) =k$ , maka nilai

k

$k$ yang memenuhi adalah...

\begin{matrix} (A) & \frac{π}{4} (B) & \frac{π}{3} (C) & \frac{π}{2} (D) & π (E) & nilai k di pilihan tidak ada yang memenuhi \end{matrix}

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{\pi}{4} \\ (B)\ & \dfrac{\pi}{3} \\ (C)\ & \dfrac{\pi}{2} \\ (D)\ & \pi \\ (E)\ & \text{nilai}\ k\ \text{di pilihan tidak ada yang memenuhi} \end{align}$

Misal

\frac{π}{4 n} = y

$\dfrac{\pi}{4n}=y$ maka

\frac{π}{4 y} = n

$\dfrac{\pi}{4y}=n$ , sehingga untuk

n \to \infty

$n \to \infty$ maka

y \to 0

$y \to 0$ .

\begin{matrix} lim n \to \infty n cos (\frac{π}{4 n}) sin (\frac{π}{4 n}) = lim y \to 0 \frac{π}{4 y} cos y sin y = lim y \to 0 \frac{π \cdot sin y}{4 y} cos y = \frac{π}{4} \cdot cos 0 = \frac{π}{4} \cdot 1 = \frac{π}{4} \end{matrix}

$\begin{align} & \lim\limits_{n \to \infty} n \cos \left( \dfrac{\pi}{4n} \right) \sin \left( \dfrac{\pi}{4n} \right) \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\pi}{4y} \cos y \sin y \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\pi \cdot \sin y}{4y} \cos y \\ &= \dfrac{\pi}{4} \cdot \cos 0 \\ &= \dfrac{\pi}{4} \cdot 1 \\ &= \dfrac{\pi}{4} \end{align}$

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah

(A) \frac{π}{4}

$(A)\ \dfrac{\pi}{4}$ .

4. Soal UM-UGM 2005 Limit Tak Hingga

lim x \to \infty x^{2} (sec \frac{2}{x} - 1) = \dots

$\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( \sec \dfrac{2}{x}-1 \right) =\cdots$

\begin{matrix} (A) & - 2 (B) & - 1 (C) & 0 (D) & 1 (E) & 2 \end{matrix}

$\begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align}$

Misal

x = \frac{1}{y}

$x=\dfrac{1}{y}$ maka

y = \frac{1}{x}

$y=\dfrac{1}{x}$ , sehingga untuk

x \to \infty

$x \to \infty$ maka

y \to 0

$y \to 0$ .

Sehingga,

\begin{matrix} lim x \to \infty x^{2} (sec (2 \cdot \frac{1}{x}) - 1) = lim y \to 0 {(\frac{1}{y})}^{2} (sec (2 \cdot y) - 1) = lim y \to 0 {(\frac{1}{y})}^{2} (sec 2 y - 1) = lim y \to 0 \frac{1}{y^{2}} (\frac{1}{cos 2 y} - 1) = lim y \to 0 \frac{1}{y^{2}} (\frac{1 - cos 2 y}{cos 2 y}) = lim y \to 0 \frac{1}{y^{2}} (\frac{2 {sin}^{2} y}{cos 2 y}) = lim y \to 0 (\frac{2 {sin}^{2} y}{y^{2}} \cdot \frac{1}{cos 2 y}) = 2 \cdot \frac{1}{cos 0} = 2 \end{matrix}

$\begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( \sec \left( 2 \cdot \dfrac{1}{x} \right) -1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{1}{y} \right)^{2}\ \left( \sec \left( 2 \cdot y \right)-1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{1}{y} \right)^{2}\ \left( \sec 2y-1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}} \left( \dfrac{1}{\cos 2y} -1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}}\ \left( \dfrac{1-\cos 2y}{\cos 2y} \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}}\ \left( \dfrac{2\sin^{2}y}{\cos 2y} \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{2\sin^{2}y}{y^{2}} \cdot \dfrac{1}{\cos 2y}\right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{\cos 0} \\ & = 2 \end{align}$

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah

$E)\ 2$ .

5. Soal Penilaian Akhir Semester Limit Tak Hingga

$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{1-x^2} = ....$

$\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{5} \end{align}$

Misal

$x+1=\dfrac{1}{y}$ maka

$y=\dfrac{1}{x+1}$ , sehingga untuk

$x \to \infty$ maka

$y \to 0$ .

$\begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{1-x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{(1-x)(1+x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x }{1 - x} . \frac{\cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{x + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x }{1 - x} \cdot \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{x + 1} \\ & = -1 \ \cdot \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\tan 5y} \\ & = -1 \ \cdot \ \frac{1}{5} \\ &= - \frac{1}{5} \end{align}$

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah

$(E)\ -\dfrac{1}{5}$ .

Penutup

Nah sahabat kreatif, itulah bahasan tentang cara cepat mengerjakan limit tak hingga bentuk fungsi trigonometri.

Semoga menambah pemahaman kalian dalam belajar tentang konsep limit tak hingga lebih dalam ya.

Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.

Selamat Belajar !

Kreatif Matematika Teman Ngopi Belajar Matematika