Rangkuman Bilangan Kompleks Contoh Soal dan Pembahasan

Ini adalah rangkuman lengkap materi bilangan kompleks kelas 11 SMA | Pengertian Bilangan Kompleks | Contoh Soal dan Pembahasan.

Kelompok bilangan real tentu saja sudah tidak asing bagi kalian bukan?!?

Yup... hampir semua hasil perhitungan - perhitungan yang kita dapatkan dalam konsep - konsep matematika yang telah kita pelajari merupakan bilangan real(nyata).

Namun terkadang kita juga mendapati hasil perhitungan berupa bilangan tidak real.

Katakan saja seperti dalam contoh kejadian berikut:
$ \begin{align} x^{2}+1 &= 0 \\ x^{2} &= -1 \\ x &= \pm \sqrt{-1} \end{align} $

Tahukah kalian berapakah nilai dari $\sqrt{-1}$ ???

Jika kalian penasaran dan menghitungnya memakai kalkulator hasilnya akan muncul "$Error$".

Lho kok bisa error???

Karena $\sqrt{-1}$ merupakan salah satu nilai yang menghasilkan bilangan tidak real atau yang lebih kita kenal dengan bilangan imajiner(khayal).

Kalkulator kita tidak bisa menghitungnya.

Karena kalkulator kita secara umum tidak didesain untuk bisa menghitung operasi pada bilangan imajiner dan terbatas pada operasi - operasi bilangan real.

Nah... jika kita gabungkan antara bilangan real dan imajiner secara urut dan terstruktur maka terbentuklah yang namanya sistem bilangan kompleks.

---

Bentuk Umum Bilangan Kompleks

Secara umum bilangan kompleks mempunyai bentuk, "$a+bi$" dimana bagian "$a$" merupakan bagian real, sedangkan "$bi$" merupakan bagian imajiner.

Dan dalam operasi matematika bilangan kompleks dilambangkan dengan,

$z=a+bi$

Biar tidak pusing membayangkannya seperti apa sebenarnya, kalian bisa cermati beberapa contoh dari bilangan kompleks di bawah ini.

Beberapa Contoh Bilangan Kompleks

• $z=5+2i$
• $z=1-7i$
• $z=3i-10$
• $z=8+i$
• $z=1-i$

---

Operasi Bilangan Kompleks

Misalkan terdapat dua buah bilangan kompleks $z_{1}=x_{1}+y_{1}i$ dan $z_{2}=x_{2}+y_{2}i$.

A. Penjumlahan Bilangan Kompleks

$z_{1}+z_{2}=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})i$

B. Pengurangan Bilangan Kompleks

$z_{1}-z_{2}=(x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})i$

C. Perkalian Bilangan Kompleks

$z_{1} \cdot z_{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i$

D. Pembagian Bilangan Kompleks

$\dfrac{z_{1}}{z_{2}}=\left( \dfrac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \right)+\left( \dfrac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}} \right)i $

---

Contoh Soal Bilangan Kompleks dan Pembahasan

Berikut ini adalah beberapa contoh soal tentang operasi bilangan kompleks semoga bisa membantu kalian untuk bisa lebih memahami lagi tentang konsep dari bilangan kompleks.

Contoh 1. Soal Bilangan Kompleks
Hasil dari penjumlahan $(5-2i)$ dan $(2+3i)$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 3+i \\ & (B) \ 3-i \\ & (C) \ -3+i \\ & (D) \ -7-i \\ & (E) \ 7+i \end{align} $

Misal : $z_{1}=(5-2i)$ dan $z_{2}=(2+3i)$.

Sehingga hasil penjumlahan dari $z_{1}$ dan $z_{2}$ adalah,
$ \begin{align} z_{1}+z_{2} &= (5-2i)+(2+3i) \\ &= (5+2)+(-2i+3i) \\ &= 7+i \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ 7+i $.

Contoh 2. Soal Bilangan Kompleks
Nilai sederhana dari $(2-i)-(6-3i)$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 2+3i \\ & (B) \ 5-i \\ & (C) \ -4+2i \\ & (D) \ -6+i \\ & (E) \ -10+6i \end{align} $

$ \begin{align} & (2-i)-(6-3i) \\ &= (2-6)+(-i-(-3i)) \\ &= (2-6)+(-i+3i) \\ &= -4+2i \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C) \ -4+2i$.

Contoh 3. Soal Bilangan Kompleks
Hasil pengurangan $(10-5i)$ terhadap $(-8-2i)$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 5-3i \\ & (B) \ -12-10i \\ & (C) \ -4-i \\ & (D) \ -18+3i \\ & (E) \ -10-5i \end{align} $

$ \begin{align} & (-8-2i)-(10-5i) \\ &= (-8-10)+(-2i-(-5i)) \\ &= (-8-10)+(-2i+5i) \\ &= -18+3i \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D) \ -18+3i$.

Contoh 4. Soal Bilangan Kompleks
Diketahui $z_{1}=3+2i$ dan $z_{2}=7-i$ maka nilai $z_{1} \cdot z_{2}$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ 23+11i \\ & (B) \ 23-11i \\ & (C) \ 21+11i \\ & (D) \ 19-11i \\ & (E) \ 19+11i \end{align} $

$ \begin{align} & (3+2i)(7-i) \\ &= (3 (7) - 2(-1))+(3(-1)+7(2))i \\ &= (21+2)+(-3+14)i \\ &= 23+11i \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A) \ 23+11i$.

Contoh 5. Soal Bilangan Kompleks
Hasil sederhana dari $\dfrac{1+3i}{2-i}$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{1}{5} (-1+7i) \\ & (B) \ \dfrac{2}{5} (-1+7i) \\ & (C) \ \dfrac{1}{5} (1-7i) \\ & (D) \ \dfrac{2}{5} (1-7i) \\ & (E) \ -\dfrac{1}{5} (-1+7i) \end{align} $

$ \begin{align} & \dfrac{1+3i}{2-i} \\ &= \left( \dfrac{1(2)+3(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}} \right) + \left( \dfrac{2(3)-1(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}} \right)i \\ &= \left( \dfrac{-1}{5} \right) + \left( \dfrac{7}{5} \right)i \\ &= \dfrac{1}{5} (-1+7i) \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A) \ \dfrac{1}{5} (-1+7i)$.

---

Penutup 

Nah adik - adik sahabat kreatif, itulah bahasan lengkap kita tentang rangkuman bilangan kompleks disertai contoh soal dan pembahasannya.

Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat. 

Selamat Belajar !