Materi Olimpiade Matematika SMA Prinsip Inklusi-Eksklusi Himpunan
Ini adalah pembahasan lengkap materi olimpiade tingkat SMA tentang prinsip inklusi dan eksklusi pada himpunan.
Prinsip inklusi-eksklusi menjadi salah satu materi yang penting dipelajari karena tidak hanya sering menjadi topik yang dikeluarkan saat ajang Olimpiade SMA namun juga sering masuk dalam ujian masuk PTN salah satunya UTBK-SNBT.
Dalam matematika, prinsip inklusi dan ekslusi secara rumpun materi masuk dalam bahasan Matematika Diskrit khususnya ketika kita bahas tentang Teori Himpunan.
Yup, kalian ngga salah dengar. Materi ini sebenarnya masih dalam pembahasan tentang himpunan yang pasti sudah pernah sedikit banyak kalian pelajari.
Bahasan kita kali ini akan mengawali series artikel tentang materi Olimpiade SMA (Matematika) di kreatifmatematika.com
Jadi jangan sampai ketinggalan dan nantikan update materi olimpiade - olimpiade Matematika SMA lainnya.
Balik ke topik, sebelum kita belajar mengenai prinsip inklusi dan eksklusi yuk kita kilas balik tentang himpunan sejenak.
Objek didalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Sebagai ilustrasi coba kalian perhatikan contoh - contoh berikut ini :
Apakah kalian tahu yang mana?
Jadi, contoh no. 1 dan no.3 bukan merupakan himpunan. Kenapa?
Karena pada kedua contoh tersebut definisi/kriteria yang diberikan untuk menjadi himpunan kurang jelas.
Definisi perempuan berhati baik masing - masing orang akan akan berbeda menilainya. Belum tentu perempuan itu baik buat si A maka berhati baik juga buat si B.
Termasuk juga definisi dari siswa SMA yang rajin, bagi si A mungkin saja menganggap si B adalah siswa yang rajin karena sering menjumpai si B belajar.
Akan tetapi bagi si C yang malah ngga pernah lihat si B belajar pasti akan menyimpulkan berbeda.
Sehingga untuk mendefinisikan sebuah himpunan haruslah jelas dan spesifik.
Jadi tidak akan menimbulkan persepsi ganda (ambigu) pada himpunan yang dimaksud.
Caranya tinggal kita daftar saja semua elemen atau anggotanya alias menyebutkan semua anggota himpunan yang ada.
Contoh :
$\{ \ x $ | syarat yang harus dipenuhi oleh $x \ \}$
Ada beberapa aturan yang harus dipahami dalam penulisan notasi himpunan :
$\textbf{A}$ adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari $5$.
sama saja dengan,
$\textbf{A}=\{ \ x $ | $x$ adalah bilangan bulat positif kurang dari $5$.
atau,
$\textbf{A}=\{ x \ | \ x \lt 5, x \in P \}$
atau,
$\textbf{A}=\{ 1,2,3,4 \}$
Maka kedua himpunan $\textbf{A}$ dan $\textbf{B}$ dapat kita nyatakan dalam diagram venn,
Jadi kalau misalkan ada himpunan $\textbf{A}$ dimana $\textbf{A}=\{ a,i,u,e,o \}$ maka kardinal dari $\textbf{A}$ adalah $5$.
Secara simbol bisa kita tulis $n(\textbf{A})=5$ atau $|\textbf{A}|=5$.
Beberapa contoh menghitung kardinal sebuah himpunan :
Prinsip inklusi-eksklusi pada dasarnya adalah suatu prinsip yang digunakan untuk mengetahui jumlah elemen hasil penggabungan dari beberapa himpunan.
Jumlah elemen hasil penggabungan dihitung dari jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen di dalam irisannya.
Salah satu contoh paling sederhana yang sering kita gunakan untuk menghitung banyaknya elemen dari penggabungan dua himpunan yaitu :
$|\textbf{A} \cup \textbf{B}|=|\textbf{A}|+|\textbf{B}|-|\textbf{A} \cap \textbf{B}|$
Bagaimana jika kita punya tiga himpunan $\textbf{A}$, $\textbf{B}$ dan $\textbf{C}$?
Kita bisa pakai persamaan,
$|\textbf{A} \cup \textbf{B} \cup \textbf{C}|=|\textbf{A}|+|\textbf{B}|+|\textbf{C}|-|\textbf{A} \cap \textbf{B}|$$-|\textbf{A} \cap \textbf{C}|-|\textbf{B} \cap \textbf{C}|$$+|\textbf{A} \cap \textbf{B} \cap \textbf{C}|$
Dengan memakai prinsip inklusi-eksklusi maka dua persamaan di atas akan dapat kita perluas untuk banyak himpunan berhingga $n$.
Jadi mau menghitung sampai $100$ himpunan pun dapat kita hitung dengan mudah menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.
Semoga dapat membantu kalian dalam memahami lebih lengkap lagi tentang materi himpunan.
Dalam matematika, prinsip inklusi dan ekslusi secara rumpun materi masuk dalam bahasan Matematika Diskrit khususnya ketika kita bahas tentang Teori Himpunan.
Yup, kalian ngga salah dengar. Materi ini sebenarnya masih dalam pembahasan tentang himpunan yang pasti sudah pernah sedikit banyak kalian pelajari.
Bahasan kita kali ini akan mengawali series artikel tentang materi Olimpiade SMA (Matematika) di kreatifmatematika.com
Jadi jangan sampai ketinggalan dan nantikan update materi olimpiade - olimpiade Matematika SMA lainnya.
Balik ke topik, sebelum kita belajar mengenai prinsip inklusi dan eksklusi yuk kita kilas balik tentang himpunan sejenak.
Definisi Himpunan
Himpunan adalah sekumpulan dari objek tertentu yang memiliki definisi yang jelas dan dianggap sebagai satu kesatuan.Objek didalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Sebagai ilustrasi coba kalian perhatikan contoh - contoh berikut ini :
- Himpunan perempuan berhati baik.
- Himpunan bilangan bulat lebih dari $3$.
- Himpunan siswa SMA yang rajin.
- Himpunan bilangan prima antara $10$ dan $20$.
Apakah kalian tahu yang mana?
Jadi, contoh no. 1 dan no.3 bukan merupakan himpunan. Kenapa?
Karena pada kedua contoh tersebut definisi/kriteria yang diberikan untuk menjadi himpunan kurang jelas.
Definisi perempuan berhati baik masing - masing orang akan akan berbeda menilainya. Belum tentu perempuan itu baik buat si A maka berhati baik juga buat si B.
Termasuk juga definisi dari siswa SMA yang rajin, bagi si A mungkin saja menganggap si B adalah siswa yang rajin karena sering menjumpai si B belajar.
Akan tetapi bagi si C yang malah ngga pernah lihat si B belajar pasti akan menyimpulkan berbeda.
Sehingga untuk mendefinisikan sebuah himpunan haruslah jelas dan spesifik.
Jadi tidak akan menimbulkan persepsi ganda (ambigu) pada himpunan yang dimaksud.
Cara Menuliskan Himpunan
Untuk menuliskan atau menyatakan sebuah himpunan terdapat beberapa cara yang bisa kalian pilih, diantaranya :A. Metode Enumerasi
Metode enumerasi adalah cara menuliskan sebuah himpunan yang paling sederhana dan mudah.Caranya tinggal kita daftar saja semua elemen atau anggotanya alias menyebutkan semua anggota himpunan yang ada.
Contoh :
- $\textbf{A}= \{ 0,1,5,6,8,9 \}$
- $\textbf{B}= \{ \{ \}, -1,2,4,5,6 \}$
- $\textbf{C}= \{ Tono, Ali, Kurnia, Sendi, \}$
- $\textbf{D}= \{ a, 1,2,b,4,d \}$
B. Simbol - Simbol Baku Himpunan
Penamaan himpunan memakai huruf kapital bercetak tebal. Untuk himpunan - himpunan bilangan tertentu penamaannya sudah ditentukan sebagai berikut :- $\textbf{N}=$ Himpunan bilangan asli $=\{ 1,2,3,4,5,6, \dots \}$
- $\textbf{P}=$ Himpunan bilangan bulat positif $=\{ 1,2,3,4,5,6, \dots \}$
- $\textbf{Z}=$ Himpunan bilangan bulat $=\{ \cdots, -3,-2,-1,0, 1,2,3, \cdots \}$
- $\textbf{Q}=$ Himpunan bilangan rasional
- $\textbf{R}=$ Himpunan bilangan real
- $\textbf{C}=$ Himpunan bilangan kompleks
C. Notasi Pembentuk Himpunan
Penulisan himpunan bisa dinotasikan dengan :$\{ \ x $ | syarat yang harus dipenuhi oleh $x \ \}$
Ada beberapa aturan yang harus dipahami dalam penulisan notasi himpunan :
- Bagian di kiri tanda “ | “ melambangkan elemen himpunan.
- Tanda “ | “ dibaca “dimana” atau “sedemikian hingga”.
- Bagian di kanan tanda “ | “ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.
- Setiap tanda “ , “ didalam syarat keanggotaan dibaca sebagai “dan”.
$\textbf{A}$ adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari $5$.
sama saja dengan,
$\textbf{A}=\{ \ x $ | $x$ adalah bilangan bulat positif kurang dari $5$.
atau,
$\textbf{A}=\{ x \ | \ x \lt 5, x \in P \}$
atau,
$\textbf{A}=\{ 1,2,3,4 \}$
D. Diagram Venn Himpunan
Misalkan kita akan menyajikan dalam diagram venn himpunan $\textbf{A}=\{ 1,2,3,5 \}$ dan $\textbf{B}=\{ 2,5,6,8 \}$ yang semuanya masuk dalam himpunan semesta $\textbf{S}=\{ x \ | \ x \lt 8, x \in P \}$.Maka kedua himpunan $\textbf{A}$ dan $\textbf{B}$ dapat kita nyatakan dalam diagram venn,
Kardinalitas Himpunan
Kardinalitas sebuah himpunan merupakan banyaknya elemen atau anggota dari himpunan tersebut.Jadi kalau misalkan ada himpunan $\textbf{A}$ dimana $\textbf{A}=\{ a,i,u,e,o \}$ maka kardinal dari $\textbf{A}$ adalah $5$.
Secara simbol bisa kita tulis $n(\textbf{A})=5$ atau $|\textbf{A}|=5$.
Beberapa contoh menghitung kardinal sebuah himpunan :
- $\textbf{A}=\{ \ x $ | $x$ adalah bilangan prima kurang dari $20$ $\to |\textbf{A}|=8$
- $\textbf{T}=\{ kucing, a, Amir, 10, paku \}$ $\to |\textbf{T}|=5$
- $\textbf{F}=\{ 𝑎, \{ 𝑎 \}, \{ \{ 𝑎 \} \}, \{ \} \}$ $\to |\textbf{F}|=4$
Prinsip Inklusi-Eksklusi Himpunan
Sampailah kita pada bahasan inti, prinsip inklusi-eksklusi.Prinsip inklusi-eksklusi pada dasarnya adalah suatu prinsip yang digunakan untuk mengetahui jumlah elemen hasil penggabungan dari beberapa himpunan.
Jumlah elemen hasil penggabungan dihitung dari jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen di dalam irisannya.
Salah satu contoh paling sederhana yang sering kita gunakan untuk menghitung banyaknya elemen dari penggabungan dua himpunan yaitu :
$|\textbf{A} \cup \textbf{B}|=|\textbf{A}|+|\textbf{B}|-|\textbf{A} \cap \textbf{B}|$
Bagaimana jika kita punya tiga himpunan $\textbf{A}$, $\textbf{B}$ dan $\textbf{C}$?
Kita bisa pakai persamaan,
$|\textbf{A} \cup \textbf{B} \cup \textbf{C}|=|\textbf{A}|+|\textbf{B}|+|\textbf{C}|-|\textbf{A} \cap \textbf{B}|$$-|\textbf{A} \cap \textbf{C}|-|\textbf{B} \cap \textbf{C}|$$+|\textbf{A} \cap \textbf{B} \cap \textbf{C}|$
Dengan memakai prinsip inklusi-eksklusi maka dua persamaan di atas akan dapat kita perluas untuk banyak himpunan berhingga $n$.
Jadi mau menghitung sampai $100$ himpunan pun dapat kita hitung dengan mudah menggunakan prinsip inklusi-eksklusi.
Misalkan kita mempunyai $n$ himpunan katakan $\textbf{A}_1, \textbf{A}_2, \textbf{A}_3, \cdots , \textbf{A}_n$ maka berlaku,
$|\textbf{A}_1 \cup \textbf{A}_2 \cup \textbf{A}_3 \cup \cdots \cup \textbf{A}_n|=\sum \limits^{n}_{i=1} |\textbf{A}_i|$ $-\sum \limits^{ }_{1 \le i \lt j \le n} |\textbf{A}_i \cap \textbf{A}_j|$ $+\sum \limits^{ }_{1 \le i \lt j \lt k \le n} |\textbf{A}_i \cap \textbf{A}_j \cap \textbf{A}_k|$ $+ \cdots $ $+\left( -1 \right)^{n-1} |\textbf{A}_1 \cap \textbf{A}_2 \cap \cdots \cap \textbf{A}_n|$
$|\textbf{A}_1 \cup \textbf{A}_2 \cup \textbf{A}_3 \cup \cdots \cup \textbf{A}_n|=\sum \limits^{n}_{i=1} |\textbf{A}_i|$ $-\sum \limits^{ }_{1 \le i \lt j \le n} |\textbf{A}_i \cap \textbf{A}_j|$ $+\sum \limits^{ }_{1 \le i \lt j \lt k \le n} |\textbf{A}_i \cap \textbf{A}_j \cap \textbf{A}_k|$ $+ \cdots $ $+\left( -1 \right)^{n-1} |\textbf{A}_1 \cap \textbf{A}_2 \cap \cdots \cap \textbf{A}_n|$
Contoh Soal Prinsip Inklusi-Eksklusi Himpunan
Kita akan bahas beberapa soal yang berhubungan dengan prinsip inklusi-eksklusi dan bagaimana cara mengerjakannya. Jangan di skip ya, simak pembahasannya sampai tuntas.
No. 1 Soal UMPTN 1997
Hasil pengamatan yang dilakukan terhadap $100$ keluarga menyatakan bahwa ada $55$ keluarga memiliki sepeda motor dan $35$ keluarga memiliki mobil. Jika ternyata ada $30$ keluarga yang tidak memiliki sepeda motor maupun mobil, maka banyaknya keluarga yang memiliki sepeda motor dan mobil adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 15 \\ &(B). \ 20 \\ &(C). \ 35 \\ &(D). \ 45 \\ &(E). \ 70 \\ \end{align} $
Hasil pengamatan yang dilakukan terhadap $100$ keluarga menyatakan bahwa ada $55$ keluarga memiliki sepeda motor dan $35$ keluarga memiliki mobil. Jika ternyata ada $30$ keluarga yang tidak memiliki sepeda motor maupun mobil, maka banyaknya keluarga yang memiliki sepeda motor dan mobil adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 15 \\ &(B). \ 20 \\ &(C). \ 35 \\ &(D). \ 45 \\ &(E). \ 70 \\ \end{align} $
$100$ keluarga yang diamati adalah seluruh keluarga yang memiliki sepeda motor, mobil, yang punya keduanya atau yang tidak punya keduanya.
Jika keluarga yang punya sepeda motor kita misalkan $\textbf{A}$ dan keluarga yang punya mobil $\textbf{B}$, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align} |\textbf{A} \cup \textbf{B}|-30 &=|\textbf{A}|+|\textbf{B}|-|\textbf{A} \cap \textbf{B}| \\ 100-30 &= 55+35-|\textbf{A} \cap \textbf{B}| \\ 70 &= 90-|\textbf{A} \cap \textbf{B}| \\ |\textbf{A} \cap \textbf{B}| &= 90-70 \\ &= 20 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 20$.
Jika keluarga yang punya sepeda motor kita misalkan $\textbf{A}$ dan keluarga yang punya mobil $\textbf{B}$, maka dapat kita tuliskan:
$ \begin{align} |\textbf{A} \cup \textbf{B}|-30 &=|\textbf{A}|+|\textbf{B}|-|\textbf{A} \cap \textbf{B}| \\ 100-30 &= 55+35-|\textbf{A} \cap \textbf{B}| \\ 70 &= 90-|\textbf{A} \cap \textbf{B}| \\ |\textbf{A} \cap \textbf{B}| &= 90-70 \\ &= 20 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 20$.
No. 2 Soal UMPTN 1998 Rayon C
Dari $30$ pengendara yang terkena tilang, $15$ diantaranya tidak membawa SIM, $17$ diantaranya tidak membawa STNK, $5$ orang diantaranya karena melakukan pelanggaran sama sekali tidak membawa SIM dan STNK. Banyaknya pengendara yang terkena tilang tetapi membawa SIM atau STNK adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 7 \\ &(B). \ 11 \\ &(C). \ 15 \\ &(D). \ 23 \\ &(E). \ 26 \\ \end{align} $
Dari $30$ pengendara yang terkena tilang, $15$ diantaranya tidak membawa SIM, $17$ diantaranya tidak membawa STNK, $5$ orang diantaranya karena melakukan pelanggaran sama sekali tidak membawa SIM dan STNK. Banyaknya pengendara yang terkena tilang tetapi membawa SIM atau STNK adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 7 \\ &(B). \ 11 \\ &(C). \ 15 \\ &(D). \ 23 \\ &(E). \ 26 \\ \end{align} $
$30$ adalah jumlah seluruh pengendara yang terkena pelanggaran.
Misal $| \textbf{A} |$ merupakan banyak pengendara yang membawa SIM dan $| \textbf{B} |$ yang membawa STNK maka,
$| \textbf{A} |=30-15=15$
$| \textbf{B} |=30-17=13$
Sehingga banyaknya pengendara yang terkena tilang tetapi membawa SIM atau STNK,
$ \begin{align} |\textbf{A} \cup \textbf{B}| &=|\textbf{A}|+|\textbf{B}|-|\textbf{A} \cap \textbf{B}| \\ &= 15+13-5 \\ &= 23 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 23$.
Misal $| \textbf{A} |$ merupakan banyak pengendara yang membawa SIM dan $| \textbf{B} |$ yang membawa STNK maka,
$| \textbf{A} |=30-15=15$
$| \textbf{B} |=30-17=13$
Sehingga banyaknya pengendara yang terkena tilang tetapi membawa SIM atau STNK,
$ \begin{align} |\textbf{A} \cup \textbf{B}| &=|\textbf{A}|+|\textbf{B}|-|\textbf{A} \cap \textbf{B}| \\ &= 15+13-5 \\ &= 23 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 23$.
No. 3 Soal UMPTN 1999 Rayon A
$n(\textbf{A})$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $\textbf{A}$. Jika $n(\textbf{A} - \textbf{B})=3x+60$, $n(\textbf{A} \cap \textbf{B})=x^2$, $n(\textbf{B}-\textbf{A})=5x$ dan $n(\textbf{A} \cup \textbf{B})=300$ maka $n(\textbf{A})=$ ...
$ \begin{align} &(A). \ 100 \\ &(B). \ 150 \\ &(C). \ 240 \\ &(D). \ 250 \\ &(E). \ 275 \\ \end{align} $
$n(\textbf{A})$ menyatakan banyaknya anggota himpunan $\textbf{A}$. Jika $n(\textbf{A} - \textbf{B})=3x+60$, $n(\textbf{A} \cap \textbf{B})=x^2$, $n(\textbf{B}-\textbf{A})=5x$ dan $n(\textbf{A} \cup \textbf{B})=300$ maka $n(\textbf{A})=$ ...
$ \begin{align} &(A). \ 100 \\ &(B). \ 150 \\ &(C). \ 240 \\ &(D). \ 250 \\ &(E). \ 275 \\ \end{align} $
Dengan memakai konsep kardinalitas prinsip inklusi - eksklusi maka,
$ \begin{align} n \left( A \cup B \right) = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\ n \left( A \cup B \right) = &\ n(A-B)+n(B-A)+n\left( A \cap B \right) \\ 300 = &\ 3x+60 + 5x + x^{2} \\ 0 = &\ x^{2}+8x-240 \\ 0 = &\ \left( x+20 \right) \left( x-12 \right) \\ &\ x=-20\ \text{atau}\ x=12 \end{align} $
$ \begin{align} n \left( A \right) = &\ n(A-B)+ n\left( A \cap B \right) \\ = &\ 3x+60 + x^{2} \\ = &\ 3(12)+60 + (12)^{2} \\ = &\ 36+60+144 \\ = &\ 240 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C). \ 240$.
$ \begin{align} n \left( A \cup B \right) = &\ n(A)+n(B)-n\left( A \cap B \right) \\ n \left( A \cup B \right) = &\ n(A-B)+n(B-A)+n\left( A \cap B \right) \\ 300 = &\ 3x+60 + 5x + x^{2} \\ 0 = &\ x^{2}+8x-240 \\ 0 = &\ \left( x+20 \right) \left( x-12 \right) \\ &\ x=-20\ \text{atau}\ x=12 \end{align} $
$ \begin{align} n \left( A \right) = &\ n(A-B)+ n\left( A \cap B \right) \\ = &\ 3x+60 + x^{2} \\ = &\ 3(12)+60 + (12)^{2} \\ = &\ 36+60+144 \\ = &\ 240 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C). \ 240$.
No. 4 Soal Himpunan Kelas 12 SMA
Dalam suatu survey pada $60$ orang, didapat bahwa $25$ orang membaca majalah Tempo, $26$ orang membaca majalah Gatra dan $26$ orang membaca majalah Intisari. Juga terdapat $9$ orang yang membaca majalah Tempo dan Intisari, $11$ orang membaca majalah Tempo dan Gatra, $8$ orang membaca Gatra dan Intisari, serta $8$ orang tidak membaca majalah satupun.
(a.) Tentukan banyak orang yang membaca ketiga majalah tersebut?
(b.) Tentukan juga banyak orang yang benar- benar membaca satu majalah?
Dalam suatu survey pada $60$ orang, didapat bahwa $25$ orang membaca majalah Tempo, $26$ orang membaca majalah Gatra dan $26$ orang membaca majalah Intisari. Juga terdapat $9$ orang yang membaca majalah Tempo dan Intisari, $11$ orang membaca majalah Tempo dan Gatra, $8$ orang membaca Gatra dan Intisari, serta $8$ orang tidak membaca majalah satupun.
(a.) Tentukan banyak orang yang membaca ketiga majalah tersebut?
(b.) Tentukan juga banyak orang yang benar- benar membaca satu majalah?
(a).
Misal :
$|\textbf{T}| \to$ banyak orang yang membaca majalah Tempo.
$|\textbf{G}| \to$ banyak orang yang membaca majalah Gatra.
$|\textbf{I}| \to$ banyak orang yang membaca majalah Intisari.
Dengan demikian kita akan dapatkan,
$ \begin{align} |\textbf{T} \cup \textbf{G} \cup \textbf{I}| &=|\textbf{T}|+|\textbf{G}|+|\textbf{I}|-|\textbf{T} \cap \textbf{G}|-|\textbf{T} \cap \textbf{I}|-|\textbf{G} \cap \textbf{I}|+|\textbf{T} \cap \textbf{G} \cap \textbf{I}|+|\textbf{T} \cup \textbf{G} \cup \textbf{I}|^C \\ 60 &= 25+26+26-11-9-8+|\textbf{T} \cap \textbf{G} \cap \textbf{I}|+8 \\ |\textbf{T} \cap \textbf{G} \cap \textbf{I}| &= 60-57 \\ &= 3 \ \text{orang} \end{align} $
Jadi, banyak orang yang membaca ketiga majalah tersebut adalah $3$ orang.
(b).
Untuk soal (b). ini akan lebih mudah kita kerjakan menggunakan diagram venn berdasarkan hasil perhitungan jawaban poin (a).
Jika kita gambar pada diagram venn maka kita akan dapatkan seperti di bawah ini,
Sehingga banyak orang yang benar- benar membaca satu majalah,
$ \begin{align} &=8+10+12 \\ &= 30 \ \text{orang} \end{align} $
Misal :
$|\textbf{T}| \to$ banyak orang yang membaca majalah Tempo.
$|\textbf{G}| \to$ banyak orang yang membaca majalah Gatra.
$|\textbf{I}| \to$ banyak orang yang membaca majalah Intisari.
Dengan demikian kita akan dapatkan,
$ \begin{align} |\textbf{T} \cup \textbf{G} \cup \textbf{I}| &=|\textbf{T}|+|\textbf{G}|+|\textbf{I}|-|\textbf{T} \cap \textbf{G}|-|\textbf{T} \cap \textbf{I}|-|\textbf{G} \cap \textbf{I}|+|\textbf{T} \cap \textbf{G} \cap \textbf{I}|+|\textbf{T} \cup \textbf{G} \cup \textbf{I}|^C \\ 60 &= 25+26+26-11-9-8+|\textbf{T} \cap \textbf{G} \cap \textbf{I}|+8 \\ |\textbf{T} \cap \textbf{G} \cap \textbf{I}| &= 60-57 \\ &= 3 \ \text{orang} \end{align} $
Jadi, banyak orang yang membaca ketiga majalah tersebut adalah $3$ orang.
(b).
Untuk soal (b). ini akan lebih mudah kita kerjakan menggunakan diagram venn berdasarkan hasil perhitungan jawaban poin (a).
Jika kita gambar pada diagram venn maka kita akan dapatkan seperti di bawah ini,
$ \begin{align} &=8+10+12 \\ &= 30 \ \text{orang} \end{align} $
No. 5 Soal Himpunan Kelas 12 SMA
Pada suatu angket yang diikuti $40$ pelajar diketahui bahwa $32$ orang lebih menyukai Internet Explorer, $18$ orang lebih menyukai Mozilla Firefox, dan $2$ orang tidak menyukai keduanya.
(a). Tentukan banyak pelajar yang menyukai Internet Explorer dan Mozilla Firefox.
(b). Tentukan banyak pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox, tetapi tidak keduanya.
Pada suatu angket yang diikuti $40$ pelajar diketahui bahwa $32$ orang lebih menyukai Internet Explorer, $18$ orang lebih menyukai Mozilla Firefox, dan $2$ orang tidak menyukai keduanya.
(a). Tentukan banyak pelajar yang menyukai Internet Explorer dan Mozilla Firefox.
(b). Tentukan banyak pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox, tetapi tidak keduanya.
(a).
Misal :
$|\textbf{E}| \to$ banyak pelajar yang menyukai Internet Explorer.
$|\textbf{M}| \to$ banyak pelajar yang menyukai Mozilla Firefox.
Sehingga,
$ \begin{align} |\textbf{E} \cup \textbf{M}| &=|\textbf{E}|+|\textbf{M}|-|\textbf{E} \cap \textbf{M}|+|\textbf{E} \cup \textbf{M}|^C \\ 40 &= 32+18-|\textbf{E} \cap \textbf{M}|+2 \\ |\textbf{E} \cap \textbf{M}| &= 52-40 \\ &= 12 \ \text{orang} \end{align} $
Jadi, banyak pelajar yang menyukai Internet Explorer dan Mozilla Firefox adalah $12$ orang.
(b).
Dengan diagram venn kita akan dapatkan,
Dengan demikian banyak pelajar yang menyukai Internet Explorer atau Mozilla Firefox, tetapi tidak keduanya :
$ \begin{align} &=20+6 \\ &= 26 \ \text{orang} \end{align} $
Misal :
$|\textbf{E}| \to$ banyak pelajar yang menyukai Internet Explorer.
$|\textbf{M}| \to$ banyak pelajar yang menyukai Mozilla Firefox.
Sehingga,
$ \begin{align} |\textbf{E} \cup \textbf{M}| &=|\textbf{E}|+|\textbf{M}|-|\textbf{E} \cap \textbf{M}|+|\textbf{E} \cup \textbf{M}|^C \\ 40 &= 32+18-|\textbf{E} \cap \textbf{M}|+2 \\ |\textbf{E} \cap \textbf{M}| &= 52-40 \\ &= 12 \ \text{orang} \end{align} $
Jadi, banyak pelajar yang menyukai Internet Explorer dan Mozilla Firefox adalah $12$ orang.
(b).
Dengan diagram venn kita akan dapatkan,
$ \begin{align} &=20+6 \\ &= 26 \ \text{orang} \end{align} $
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah pembahasan kita kali ini tentang Prinsip Inklusi-Eksklusi pada konsep matematika himpunan yang sering jadi materi Olimpiade tingkat SMA ataupun SMPBTN/UTBK/SNBT.Semoga dapat membantu kalian dalam memahami lebih lengkap lagi tentang materi himpunan.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
“Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow. The important thing is not to stop questioning.” – Albert Einstein
