Catatan Lengkap Vektor Materi dan Contoh Pembahasan Kelas 11 SMA
Ini adalah kumpulan catatan lengkap materi vektor mulai dari konsep dasar hingga contoh - contoh soal dan pembahasannya.
Vektor merupakan materi yang penting kita pelajari karena akan menjembatani untuk memahami bidang - bidang dalam ilmu sains lainnya.
Ada banyak penggunaan vektor dalam kehidupan sehari - hari yang sudah banyak digunakan oleh manusia bahkan sejak jaman dulu.
Ngga percaya?
Salah satu penggunaan vektor yang paling menonjol adalah manfaatnya yang sangat besar dalam bidang navigasi.
Sebut saja navigasi kapal dan pesawat terbang.
Dengan adanya konsep vektor dalam navigasi kita bisa dengan mudah menentukan jarak, lokasi dan arah dari objek - objek bergerak (kapal/pesawat) di laut dan udara.
Itu kenapa jika ada dua buah vektor yang saling berkebalikan arahnya maka secara nilai akan berlawanan tanda.
Secara geometri merupakan sebuah garis berarah dari sebuah titik pangkal menuju titik tertentu pada ujungnya.
Sebuah vektor $\vec{AB}$ merupakan perpindahan lokasi dari titik $A$ ke titik $B$.
Sehingga nilai dari vektor $\vec{AB}=B-A$.
Jika titik $A(a_1, a_2, a_3)$ dan $B(b_1, b_2, b_3)$ maka,
$ \begin{align} \vec{AB} &= B-A \\ &= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{align} $
Masing - masing titik pada bidang koordinat di $R_3$ akan mempunyai vektor posisi jika ditinjau dari pusat koordinat.
Sebuah vektor posisi yang pangkalnya di $O(0,0,0)$ dan ujungnya di titik $A(a_1, a_2, a_3)$ kita sebut dengan vektor $\vec{OA}$ atau lebih lazim dinotasikan dengan $\vec{a}$.
Jika titik $A(a_1, a_2, a_3)$ dan $O(0,0,0)$ maka,
$ \begin{align} \vec{a} &= A-O \\ &= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \vec{a} &= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{align} $
Kita juga bisa menuliskan vektor $\vec{a}$ di atas dalam bentuk vektor basis yaitu :
$\vec{a}=a_1 \vec{i}+a_2 \vec{j}+a_3 \vec{k}$
Panjang vektor $\vec{a}$ dinotasikan dengan tanda mutlak $|\vec{a}|$.
Panjang vektor $\vec{a}$ kita peroleh dari,
$|\vec{a}|=\sqrt{(a_1)^{2}+(a_2)^{2}+(a_3)^{2}}$
Vektor satuan dari $\vec{a}$ dinotasikan dengan simbol $\hat{e}_{\vec{a}}$ (baca : $e$ topi dari vektor $\vec{a}$) yang dirumuskan dengan,
$\hat{e}_{\vec{a}} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
Karena dalam operasinya vektor hanya mengenal tiga bentuk operasi yaitu : penjumlahan, pengurangan dan perkalian.
Yups, dalam operasi vektor tidak mengenal yang namanya operasi pembagian.
$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} \end{align} $
$ \begin{align} \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \end{pmatrix} \end{align} $
$ \begin{align} k\vec{a} = \vec{a}k = \begin{pmatrix} ka_1 \\ ka_2 \\ ka_3 \end{pmatrix} \end{align} $
Jika $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ maka dengan operasi hasil kali dalam kita akan dapatkan,
Jika $\alpha = \angle(\vec{a},\vec{b})$ maka hasil dot product juga bisa kita nyatakan sebagai,
Operasi cross product ini akan menghasilkan sebuah vektor yang baru.
Jika $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ maka,
Jika $\alpha = \angle(\vec{a},\vec{b})$ maka hasil cross product juga bisa kita nyatakan sebagai,
Jadi jika terdapat dua buah vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ maka yang dimaksud dengan proyeksi vektor orthogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ ialah sebuah vektor baru sebut saja vektor $\vec{c}$ yang merupakan bayangan vektor $\vec{a}$ yang menempel pada vektor $\vec{b}$.
Perhatikan gambar di bawah!
Dimana,
Rumus Proyeksi Vektor Orthogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$
dengan panjang vektor $\vec{c}$ (sering juga disebut dengan Proyeksi Skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$),
Rumus Proyeksi Skalar Vektor Orthogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$
Semoga dapat membantu kalian dalam memahami lebih lengkap lagi tentang materi vektor.
Ada banyak penggunaan vektor dalam kehidupan sehari - hari yang sudah banyak digunakan oleh manusia bahkan sejak jaman dulu.
Ngga percaya?
Salah satu penggunaan vektor yang paling menonjol adalah manfaatnya yang sangat besar dalam bidang navigasi.
Sebut saja navigasi kapal dan pesawat terbang.
Dengan adanya konsep vektor dalam navigasi kita bisa dengan mudah menentukan jarak, lokasi dan arah dari objek - objek bergerak (kapal/pesawat) di laut dan udara.
Definisi Vektor
Vektor merupakan sebuah besaran yang tidak hanya mempunyai nilai tapi juga arah di dalamnya.Itu kenapa jika ada dua buah vektor yang saling berkebalikan arahnya maka secara nilai akan berlawanan tanda.
Secara geometri merupakan sebuah garis berarah dari sebuah titik pangkal menuju titik tertentu pada ujungnya.
Sehingga nilai dari vektor $\vec{AB}=B-A$.
Jika titik $A(a_1, a_2, a_3)$ dan $B(b_1, b_2, b_3)$ maka,
$ \begin{align} \vec{AB} &= B-A \\ &= \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{align} $
Contoh Soal :
Diketahui $A(4, 6, 3)$ dan $B(1, 0, 4)$ maka vektor $\vec{BA}=$ ...
Jawab :
$ \begin{align} \vec{BA} &= A-B \\ &= \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} $
Jadi, vektor $\vec{BA}=(3,6,-1)$
Diketahui $A(4, 6, 3)$ dan $B(1, 0, 4)$ maka vektor $\vec{BA}=$ ...
Jawab :
$ \begin{align} \vec{BA} &= A-B \\ &= \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} $
Jadi, vektor $\vec{BA}=(3,6,-1)$
Vektor Posisi dan Panjang Sebuah Vektor
Vektor posisi adalah sebuah vektor yang pangkalnya di titik pusat koordinat $O(0,0,0)$.Masing - masing titik pada bidang koordinat di $R_3$ akan mempunyai vektor posisi jika ditinjau dari pusat koordinat.
Sebuah vektor posisi yang pangkalnya di $O(0,0,0)$ dan ujungnya di titik $A(a_1, a_2, a_3)$ kita sebut dengan vektor $\vec{OA}$ atau lebih lazim dinotasikan dengan $\vec{a}$.
$ \begin{align} \vec{a} &= A-O \\ &= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \vec{a} &= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{align} $
Kita juga bisa menuliskan vektor $\vec{a}$ di atas dalam bentuk vektor basis yaitu :
$\vec{a}=a_1 \vec{i}+a_2 \vec{j}+a_3 \vec{k}$
Panjang vektor $\vec{a}$ dinotasikan dengan tanda mutlak $|\vec{a}|$.
Panjang vektor $\vec{a}$ kita peroleh dari,
$|\vec{a}|=\sqrt{(a_1)^{2}+(a_2)^{2}+(a_3)^{2}}$
Contoh Soal :
Jika $\vec{a}$ menyatakan vektor posisi $A(5, -2, 1)$ maka $\vec{a}$ dan $|\vec{a}|$ adalah...
Jawab :
(i)
$ \begin{align} \vec{a} &= A-0 \\ &= \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} $
(ii)
$ \begin{align} |\vec{a}| &=\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}+1^{2}} \\ &= \sqrt{30} \end{align} $
Jadi, vektor $\vec{a}=(5,-2,1)$ dan $|\vec{a}|=\sqrt{30}$
Jika $\vec{a}$ menyatakan vektor posisi $A(5, -2, 1)$ maka $\vec{a}$ dan $|\vec{a}|$ adalah...
Jawab :
(i)
$ \begin{align} \vec{a} &= A-0 \\ &= \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} $
(ii)
$ \begin{align} |\vec{a}| &=\sqrt{5^{2}+(-2)^{2}+1^{2}} \\ &= \sqrt{30} \end{align} $
Jadi, vektor $\vec{a}=(5,-2,1)$ dan $|\vec{a}|=\sqrt{30}$
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah sebuah vektor yang mempunyai panjang satu satuan.Vektor satuan dari $\vec{a}$ dinotasikan dengan simbol $\hat{e}_{\vec{a}}$ (baca : $e$ topi dari vektor $\vec{a}$) yang dirumuskan dengan,
$\hat{e}_{\vec{a}} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$
Contoh Soal :
Jika $A(2, -2, 2)$ dan $B(0, 1, -8)$ maka vektor satuan dari $\vec{AB}$ adalah...
Jawab :
$ \begin{align} \hat{e}_{\vec{AB}} = \dfrac{\vec{AB}}{\left| \vec{AB} \right|} \end{align} $
$ \begin{align} \vec{AB} &= B-A \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix} \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} \hat{e}_{\vec{AB}} &= \dfrac{(-2,3,-10)}{\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}+ (-10)^{2}}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{113}} (-2,3,-10) \\ &= \left( -\dfrac{2}{\sqrt{113}}, \dfrac{3}{\sqrt{113}}, -\dfrac{10}{\sqrt{113}} \right) \end{align} $
Jadi, vektor satuan dari $\vec{AB}$ adalah $\hat{e}_{\vec{AB}} = \left( -\dfrac{2}{\sqrt{113}}, \dfrac{3}{\sqrt{113}}, -\dfrac{10}{\sqrt{113}} \right)$.
Jika $A(2, -2, 2)$ dan $B(0, 1, -8)$ maka vektor satuan dari $\vec{AB}$ adalah...
Jawab :
$ \begin{align} \hat{e}_{\vec{AB}} = \dfrac{\vec{AB}}{\left| \vec{AB} \right|} \end{align} $
$ \begin{align} \vec{AB} &= B-A \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -10 \end{pmatrix} \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} \hat{e}_{\vec{AB}} &= \dfrac{(-2,3,-10)}{\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}+ (-10)^{2}}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{113}} (-2,3,-10) \\ &= \left( -\dfrac{2}{\sqrt{113}}, \dfrac{3}{\sqrt{113}}, -\dfrac{10}{\sqrt{113}} \right) \end{align} $
Jadi, vektor satuan dari $\vec{AB}$ adalah $\hat{e}_{\vec{AB}} = \left( -\dfrac{2}{\sqrt{113}}, \dfrac{3}{\sqrt{113}}, -\dfrac{10}{\sqrt{113}} \right)$.
Operasi Vektor
Vektor sedikit spesial dalam urusan operasinya.Karena dalam operasinya vektor hanya mengenal tiga bentuk operasi yaitu : penjumlahan, pengurangan dan perkalian.
Yups, dalam operasi vektor tidak mengenal yang namanya operasi pembagian.
A. Penjumlahan Vektor
Jika $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ maka,$ \begin{align} \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3 \end{pmatrix} \end{align} $
B. Pengurangan Vektor
Jika $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ maka,$ \begin{align} \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \end{pmatrix} \end{align} $
C. Perkalian Vektor Dengan Skalar($k$)
Jika $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ maka,$ \begin{align} k\vec{a} = \vec{a}k = \begin{pmatrix} ka_1 \\ ka_2 \\ ka_3 \end{pmatrix} \end{align} $
D. Perkalian Vektor Dengan Vektor
Nah, ini yang sedikit berbeda. Pada operasi perkalian dua buah vektor dapat kita bedakan menjadi dua, yaitu operasi perkalian dot product dan cross product.D.1 Dot Product Vektor
Perkalian titik (dot product) dari dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar (konstanta).Jika $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ maka dengan operasi hasil kali dalam kita akan dapatkan,
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
Jika $\alpha = \angle(\vec{a},\vec{b})$ maka hasil dot product juga bisa kita nyatakan sebagai,
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos {\alpha}$
D.2 Cross Product Vektor
Cross product vektor sering juga disebut dengan perkalian silang pada vektor.Operasi cross product ini akan menghasilkan sebuah vektor yang baru.
Jika $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ dan $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ maka,
$
\begin{align}
\vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix} \right| \\
& = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1 )\vec{k}
\end{align}
$
Jika $\alpha = \angle(\vec{a},\vec{b})$ maka hasil cross product juga bisa kita nyatakan sebagai,
$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin {\alpha}$
Contoh Soal 1:
Jika $\vec{a}=(0, -2, 3)$, $\vec{b}=(6, 1, 1)$ dan $\vec{c}=(5, -5, -2)$ maka hasil dari $2\vec{a}+3\vec{c}-\vec{b}$ adalah...
Jawab :
$ \begin{align} & 2\vec{a}+3\vec{c}-\vec{b} \\ &= 2 \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 15 \\ -15 \\ -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 9 \\ -20 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} $
Jadi, hasil dari $2\vec{a}+3\vec{c}-\vec{b}$ $=(9,-20,-1)$ atau bisa kita tuliskan dalam vektor basis $9 \vec{i}-20\vec{j}-\vec{k}$.
Jika $\vec{a}=(0, -2, 3)$, $\vec{b}=(6, 1, 1)$ dan $\vec{c}=(5, -5, -2)$ maka hasil dari $2\vec{a}+3\vec{c}-\vec{b}$ adalah...
Jawab :
$ \begin{align} & 2\vec{a}+3\vec{c}-\vec{b} \\ &= 2 \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \\ -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 15 \\ -15 \\ -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 9 \\ -20 \\ -1 \end{pmatrix} \end{align} $
Jadi, hasil dari $2\vec{a}+3\vec{c}-\vec{b}$ $=(9,-20,-1)$ atau bisa kita tuliskan dalam vektor basis $9 \vec{i}-20\vec{j}-\vec{k}$.
Contoh Soal 2:
Jika $\vec{a}=(x, 6, 3)$ dan $\vec{b}=(2, 1, 3)$ memenuhi $2\vec{a} \cdot \vec{b}=10$ maka nilai $x=$ ...
Jawab :
$ \begin{align} 2\vec{a} \cdot \vec{b} &= 10 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= 5 \\ 2x+6+9 &= 5 \\ 2x &= -10 \\ x &= -5 \end{align} $
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2\vec{a} \cdot \vec{b}=10$ adalah $x=-5$.
Jika $\vec{a}=(x, 6, 3)$ dan $\vec{b}=(2, 1, 3)$ memenuhi $2\vec{a} \cdot \vec{b}=10$ maka nilai $x=$ ...
Jawab :
$ \begin{align} 2\vec{a} \cdot \vec{b} &= 10 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= 5 \\ 2x+6+9 &= 5 \\ 2x &= -10 \\ x &= -5 \end{align} $
Jadi, nilai $x$ yang memenuhi persamaan $2\vec{a} \cdot \vec{b}=10$ adalah $x=-5$.
Contoh Soal 3:
Jika diketahui $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$ dan $\vec{b}=\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}$ maka nilai $\vec{a} \times \vec{b}=$ ...
Jawab :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & | & \vec{i} & \vec{j} \\ 2 & -1 & 3 & | & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & | & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (-1.-2\vec{i} + 1.3\vec{j} + 2.2\vec{k}) - (2.3\vec{i} + 2.(-2)\vec{j} + 1.(-1)\vec{k}) \\ & = (2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}) - (6\vec{i} -4\vec{j} -\vec{k}) \\ & = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k} - 6\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k} \\ & = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} \end{align} $
Jadi, vektor yang merupakan hasil dari $\vec{a} \times \vec{b}$ $=-4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k}$.
Jika diketahui $\vec{a}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$ dan $\vec{b}=\vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}$ maka nilai $\vec{a} \times \vec{b}=$ ...
Jawab :
$ \begin{align} \vec{a} \times \vec{b} & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -2 \end{matrix} \right| \\ & = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} & | & \vec{i} & \vec{j} \\ 2 & -1 & 3 & | & 2 & -1 \\ 1 & 2 & -2 & | & 1 & 2 \end{matrix} \right| \\ & = (-1.-2\vec{i} + 1.3\vec{j} + 2.2\vec{k}) - (2.3\vec{i} + 2.(-2)\vec{j} + 1.(-1)\vec{k}) \\ & = (2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k}) - (6\vec{i} -4\vec{j} -\vec{k}) \\ & = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 4\vec{k} - 6\vec{i} + 4\vec{j} + \vec{k} \\ & = -4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k} \end{align} $
Jadi, vektor yang merupakan hasil dari $\vec{a} \times \vec{b}$ $=-4\vec{i} + 7\vec{j} + 5\vec{k}$.
Proyeksi Vektor Orthogonal
Proyeksi vektor bisa kita bayangkan sebagai bayangan vektor.Jadi jika terdapat dua buah vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ maka yang dimaksud dengan proyeksi vektor orthogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ ialah sebuah vektor baru sebut saja vektor $\vec{c}$ yang merupakan bayangan vektor $\vec{a}$ yang menempel pada vektor $\vec{b}$.
Perhatikan gambar di bawah!
Rumus Proyeksi Vektor Orthogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$
$\vec{c}= \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align}$
dengan panjang vektor $\vec{c}$ (sering juga disebut dengan Proyeksi Skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$),
Rumus Proyeksi Skalar Vektor Orthogonal $\vec{a}$ pada $\vec{b}$
$|\vec{c}|= \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align}$
Contoh Soal 1:
Jika $\vec{a}=(2,2,2)$ dan $\vec{b}=(-8, -10, 6)$ dan $\vec{c}$ merupakan vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ maka nilai $\vec{c}=$ ...
Jawab :
$ \begin{align} \vec{c} &= \left( \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ &= \left( \dfrac{2(-8)+2(-10)+2(6)}{ \left| \sqrt{(-8)^{2}+(-10)^{2}+6^{2}} \right|^2} \right) (-8, -10, 6) \\ &= \left( \dfrac{2(-8)+2(-10)+2(6)}{ \left| \sqrt{(-8)^{2}+(-10)^{2}+6^{2}} \right|^2} \right) (-8, -10, 6) \\ &= \left( \dfrac{-16-20+12}{64+100+36} \right) (-8, -10, 6) \\ &= \dfrac{-24}{200}(-8, -10, 6) \\ &= \left( \dfrac{24}{25}, \dfrac{6}{5} , -\dfrac{18}{25} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $\vec{c}=\left( \dfrac{24}{25}, \dfrac{6}{5} , -\dfrac{18}{25} \right)$.
Jika $\vec{a}=(2,2,2)$ dan $\vec{b}=(-8, -10, 6)$ dan $\vec{c}$ merupakan vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ maka nilai $\vec{c}=$ ...
Jawab :
$ \begin{align} \vec{c} &= \left( \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ &= \left( \dfrac{2(-8)+2(-10)+2(6)}{ \left| \sqrt{(-8)^{2}+(-10)^{2}+6^{2}} \right|^2} \right) (-8, -10, 6) \\ &= \left( \dfrac{2(-8)+2(-10)+2(6)}{ \left| \sqrt{(-8)^{2}+(-10)^{2}+6^{2}} \right|^2} \right) (-8, -10, 6) \\ &= \left( \dfrac{-16-20+12}{64+100+36} \right) (-8, -10, 6) \\ &= \dfrac{-24}{200}(-8, -10, 6) \\ &= \left( \dfrac{24}{25}, \dfrac{6}{5} , -\dfrac{18}{25} \right) \end{align}$
Jadi, nilai $\vec{c}=\left( \dfrac{24}{25}, \dfrac{6}{5} , -\dfrac{18}{25} \right)$.
Contoh Soal 2:
Jika $\vec{a} = (2, -1, 3)$ dan $\vec{b} = (-1, 2, -2)$ maka nilai proyeksi skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah ...
Jawab :
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \left| \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ & = \left| \dfrac{(2, -1, 3).(-1, 2, -2)}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} } \right| \\ & = \left| \dfrac{2.(-1) + -1. 2 + 3. (-2) }{\sqrt{9} } \right| \\ & = \left| \dfrac{-2 - 2 - 6 }{3} \right| \\ & = \left| \dfrac{-10}{3} \right| & = \dfrac{10}{3} \end{align} $
Jadi, proyeksi skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\dfrac{10}{3}$.
Jika $\vec{a} = (2, -1, 3)$ dan $\vec{b} = (-1, 2, -2)$ maka nilai proyeksi skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah ...
Jawab :
$ \begin{align} \text{Proyeksi skalar } & = \left| \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ & = \left| \dfrac{(2, -1, 3).(-1, 2, -2)}{\sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} } \right| \\ & = \left| \dfrac{2.(-1) + -1. 2 + 3. (-2) }{\sqrt{9} } \right| \\ & = \left| \dfrac{-2 - 2 - 6 }{3} \right| \\ & = \left| \dfrac{-10}{3} \right| & = \dfrac{10}{3} \end{align} $
Jadi, proyeksi skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah $\dfrac{10}{3}$.
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah catatan lengkap tentang vektor dengan contoh - contoh soal dan pembahasan yang wajib jadi pegangan kalian dalam belajar.Semoga dapat membantu kalian dalam memahami lebih lengkap lagi tentang materi vektor.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
“Janganlah pernah menyerah ketika kamu masih mampu berusaha lagi. Tidak ada kata berakhir sampai kamu berhenti mencoba.” – Brian Dyson
