Ngulik Soal Lingkaran : 20+ Soal dan Jawaban Bikin Nilai Matematika Makin Kinclong!
Ini adalah pembahasan lengkap dua puluh contoh soal lingkaran materi kelas 12 Matematika Lanjutan.
Sebelum masuk dalam pembahasan contoh - contoh soal lingkarannya, kita disclaimer dulu ya.
Kumpulan soal di bawah ini adalah soal - soal yang berhasil kita rangkum dari berbagai sumber baik soal latihan, ulangan, dan beberapa soal kreasi sendiri.
Semua kita akan bahas detail berdasarkan konsep dasar dan rumus cepat jika ada.
Kumpulan soal di bawah bisa kalian jadikan referensi sebelum ulangan maupun mengerjakan tugas - tugas harian yang diberikan bapak dan ibu guru di sekolah.
Semua free bebas kalian sadur ataupun share ke teman - teman di sekolah jika membutuhkan.
Let’s go! Kita masuk ke contoh soal dan pembahasan soalnya.
Semoga pembahasan ini membantu kamu menguasai persamaan lingkaran, ya!
Yuk, terus latihan biar siap tempur di ujian!
Selamat belajar dan semangat mencapai nilai matematika yang kinclong! 😊
Kumpulan soal di bawah ini adalah soal - soal yang berhasil kita rangkum dari berbagai sumber baik soal latihan, ulangan, dan beberapa soal kreasi sendiri.
Semua kita akan bahas detail berdasarkan konsep dasar dan rumus cepat jika ada.
Kumpulan soal di bawah bisa kalian jadikan referensi sebelum ulangan maupun mengerjakan tugas - tugas harian yang diberikan bapak dan ibu guru di sekolah.
Semua free bebas kalian sadur ataupun share ke teman - teman di sekolah jika membutuhkan.
Contoh Soal dan Pembahasan Bab Lingkaran
Agar makin memahami pembahasan soal kali ini, sebagai bahan materi kalian bisa baca terlebih dahulu postingan yang lalu tentang rangkuman materi lingkaran yang ada di web ini.Let’s go! Kita masuk ke contoh soal dan pembahasan soalnya.
Contoh No.1
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $5$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ x^{2}+y^{2} = 5 \\ & (B) \ x^{2}+y^{2} = 25 \\ & (C) \ (x-5)^{2}+(y-5)^{2} = 5 \\ & (D) \ (x-5)^{2}+(y-5)^{2} = 25 \\ & (E) \ (x-5)^{2}+(y-5)^{2} = 55 \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $5$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ x^{2}+y^{2} = 5 \\ & (B) \ x^{2}+y^{2} = 25 \\ & (C) \ (x-5)^{2}+(y-5)^{2} = 5 \\ & (D) \ (x-5)^{2}+(y-5)^{2} = 25 \\ & (E) \ (x-5)^{2}+(y-5)^{2} = 55 \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $r$ adalah
$x^{2}+y^{2} = r^{2}$
Sehingga,
$ \begin{align} x^{2}+y^{2} &= r^{2} \\ x^{2}+y^{2} &= 5^{2} \\ x^{2}+y^{2} &= 25 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ x^{2}+y^{2} = 25$
$x^{2}+y^{2} = r^{2}$
Sehingga,
$ \begin{align} x^{2}+y^{2} &= r^{2} \\ x^{2}+y^{2} &= 5^{2} \\ x^{2}+y^{2} &= 25 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ x^{2}+y^{2} = 25$
Contoh No.2
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $\sqrt{11}$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ x^{2}+y^{2} = \sqrt{11} \\ & (B) \ x^{2}+y^{2} = 11 \\ & (C) \ x^{2}+y^{2} = 121 \\ & (D) \ (x-11)^{2}+(y-11)^{2} = \sqrt{11} \\ & (E) \ (x-11)^{2}+(y-11)^{2} = 121 \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $\sqrt{11}$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ x^{2}+y^{2} = \sqrt{11} \\ & (B) \ x^{2}+y^{2} = 11 \\ & (C) \ x^{2}+y^{2} = 121 \\ & (D) \ (x-11)^{2}+(y-11)^{2} = \sqrt{11} \\ & (E) \ (x-11)^{2}+(y-11)^{2} = 121 \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $r$ adalah
$x^{2}+y^{2} = r^{2}$
Sehingga,
$ \begin{align} x^{2}+y^{2} &= r^{2} \\ x^{2}+y^{2} &= \left( \sqrt{11} \right)^{2} \\ x^{2}+y^{2} &= 11 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ x^{2}+y^{2} = 11$
$x^{2}+y^{2} = r^{2}$
Sehingga,
$ \begin{align} x^{2}+y^{2} &= r^{2} \\ x^{2}+y^{2} &= \left( \sqrt{11} \right)^{2} \\ x^{2}+y^{2} &= 11 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ x^{2}+y^{2} = 11$
Contoh No.3
Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(2,-3)$ dan berjari - jari $\sqrt{11}$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ x^{2}+y^{2} = \sqrt{11} \\ & (B) \ x^{2}+y^{2} = 11 \\ & (C) \ x^{2}+y^{2} = 121 \\ & (D) \ (x-2)^{2}+(y+3)^{2} = 11 \\ & (E) \ (x+2)^{2}+(y-3)^{2} = 121 \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(2,-3)$ dan berjari - jari $\sqrt{11}$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ x^{2}+y^{2} = \sqrt{11} \\ & (B) \ x^{2}+y^{2} = 11 \\ & (C) \ x^{2}+y^{2} = 121 \\ & (D) \ (x-2)^{2}+(y+3)^{2} = 11 \\ & (E) \ (x+2)^{2}+(y-3)^{2} = 121 \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$ dan berjari - jari $r$ adalah :
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
Sehingga dapat kita peroleh,
$ \begin{align} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\ (x-2)^{2}+(y-(-3))^{2} &=\left( \sqrt{11} \right)^{2} \\ (x-2)^{2}+(y+3)^{2} &=11 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D) \ (x-2)^{2}+(y+3)^{2}=11$
$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$
Sehingga dapat kita peroleh,
$ \begin{align} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\ (x-2)^{2}+(y-(-3))^{2} &=\left( \sqrt{11} \right)^{2} \\ (x-2)^{2}+(y+3)^{2} &=11 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D) \ (x-2)^{2}+(y+3)^{2}=11$
Contoh No.4
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(2,3)$ dan melalui titik $(5,-1)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0 \\ & (B) \ x^{2}+y^{2}-4x-6y-25=0 \\ & (C) \ x^{2}+y^{2}-2x-6y-12=0 \\ & (D) \ x^{2}+y^{2}-2x-3y-10=0 \\ & (E) \ x^{2}+y^{2}+2x+3y+25=0 \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di titik $P(2,3)$ dan melalui titik $(5,-1)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ x^{2}+y^{2}-4x-6y-12=0 \\ & (B) \ x^{2}+y^{2}-4x-6y-25=0 \\ & (C) \ x^{2}+y^{2}-2x-6y-12=0 \\ & (D) \ x^{2}+y^{2}-2x-3y-10=0 \\ & (E) \ x^{2}+y^{2}+2x+3y+25=0 \end{align} $
Karena lingkaran melalui titik $(5,-1)$ maka jari - jarinya sama saja dengan mencari jarak antara titip pusat $P(2,3)$ dengan titik $(5,-1)$.
$ \begin{align} r &= \sqrt{(5-2)^{2}+(-1-3)^{2}} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{align} $
Dengan demikian persamaan lingkaran yang berpusat di $P(2,3)$ dan berjari - jari $5$ adalah,
$ \begin{align} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\ (x-2)^{2}+(y-3)^{2} &=5^{2} \\ x^{2}-2x+4+y^{2}-6y+9 &= 25 \\ x^{2}+y^{2}-2x-6y+13-25 &=0 \\ x^{2}+y^{2}-2x-6y-12 &=0 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C) \ x^{2}+y^{2}-2x-6y-12=0$.
$ \begin{align} r &= \sqrt{(5-2)^{2}+(-1-3)^{2}} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \end{align} $
Dengan demikian persamaan lingkaran yang berpusat di $P(2,3)$ dan berjari - jari $5$ adalah,
$ \begin{align} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\ (x-2)^{2}+(y-3)^{2} &=5^{2} \\ x^{2}-2x+4+y^{2}-6y+9 &= 25 \\ x^{2}+y^{2}-2x-6y+13-25 &=0 \\ x^{2}+y^{2}-2x-6y-12 &=0 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C) \ x^{2}+y^{2}-2x-6y-12=0$.
Contoh No.5
Titik $A(-2,0)$ dan $B(6,2)$ merupakan batas - batas diameter lingkaran yang berada pada lingkaran dengan pusat $P(2k,k)$. Nilai $k(k+1)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ 1 \\ & (B) \ 2 \\ & (C) \ 3 \\ & (D) \ 4 \\ & (E) \ 5 \end{align} $
Titik $A(-2,0)$ dan $B(6,2)$ merupakan batas - batas diameter lingkaran yang berada pada lingkaran dengan pusat $P(2k,k)$. Nilai $k(k+1)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ 1 \\ & (B) \ 2 \\ & (C) \ 3 \\ & (D) \ 4 \\ & (E) \ 5 \end{align} $
Karena $AB$ adalah diamter lingkaran maka $P$ akan berada pada tengah - tengah diameter.
Sehingga $AP:PB=1:1$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} P(2k,k) &= P \left( \dfrac{-2+6}{2} , \dfrac{0+2}{2} \right) \\ P(2k,k) &= P(2, 1) \end{align} $
Kita dapatkan nilai $k=1$, maka
$ \begin{align} k(k+1) &= 1(1+1) \\ &= 2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ 2$.
Sehingga $AP:PB=1:1$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} P(2k,k) &= P \left( \dfrac{-2+6}{2} , \dfrac{0+2}{2} \right) \\ P(2k,k) &= P(2, 1) \end{align} $
Kita dapatkan nilai $k=1$, maka
$ \begin{align} k(k+1) &= 1(1+1) \\ &= 2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ 2$.
Contoh No.6
Titik pusat dan jari - jari lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x-2y+6=0$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ (-6,1) \ \text{dan} \ 2 \\ & (B) \ (6,-1) \ \text{dan} \ 4 \\ & (C) \ (3,-1) \ \text{dan} \ 2 \\ & (D) \ (-3,1) \ \text{dan} \ 4 \\ & (E) \ (-3,1) \ \text{dan} \ 2 \end{align} $
Titik pusat dan jari - jari lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x-2y+6=0$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ (-6,1) \ \text{dan} \ 2 \\ & (B) \ (6,-1) \ \text{dan} \ 4 \\ & (C) \ (3,-1) \ \text{dan} \ 2 \\ & (D) \ (-3,1) \ \text{dan} \ 4 \\ & (E) \ (-3,1) \ \text{dan} \ 2 \end{align} $
Jika diketahui persamaan umum lingkaran :
\[ x^{2}+y^{2}+Ax+by+C=0 \]
maka pusat dan jari - jarinya adalah :
\[ P \left( -\dfrac{1}{2} A, -\dfrac{1}{2} B \right) \]
dan
\[ r= \sqrt{\dfrac{1}{4} A^{2} + \dfrac{1}{4} B^{2}-C} \]
Diketahui $x^{2}+y^{2}+6x-2y+6=0$, kita dapatkan :
\[ P \left( -\dfrac{1}{2} \times 6 , -\dfrac{1}{2} \times (-2) \right) = P(-3,1) \]
Sedangkan besar jari - jarinya adalah
\[ r= \sqrt{(-3)^{2}+1^{2}-6} = 2 \]
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C) \ (3,-1) \ \text{dan} \ 2$.
Contoh No.7
Diketahui sebuah lingkaran $x^{2}+y^{2}+8x+4y-n=0$ mempunyai panjang jari - jari $3$ satuan. Besar nilai $n$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ 10 \\ & (B) \ 11 \\ & (C) \ 13 \\ & (D) \ -10 \\ & (E) \ -11 \end{align} $
Diketahui sebuah lingkaran $x^{2}+y^{2}+8x+4y-n=0$ mempunyai panjang jari - jari $3$ satuan. Besar nilai $n$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ 10 \\ & (B) \ 11 \\ & (C) \ 13 \\ & (D) \ -10 \\ & (E) \ -11 \end{align} $
Langkah pertama cari pusatnya :
\[ P \left( -\dfrac{1}{2} \times 8 , -\dfrac{1}{2} \times 4 \right) = P(-4,-2) \]
Lanjut kita cari nilai $n$ melalui jari - jarinya :
$
\begin{align}
r &= \sqrt{(-4)^{2} + (-2)^{2}-(-n)} \\
3 &= \sqrt{16 + 4 + n}
\end{align}
$
Kuadratkan kedua ruas, kita dapat :
$ \begin{align} 9 &= 20 + n \\ n &= -11 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E) \ -11$
Kuadratkan kedua ruas, kita dapat :
$ \begin{align} 9 &= 20 + n \\ n &= -11 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E) \ -11$
Contoh No.8
Diketahui sebuah lingkaran mempunyai persamaan $x^{2}+y^{2}+ax+4y+b=0$. Jika pusat dan jari - jarinya adalah $(2,-2)$ dan $3$ satuan maka nilai $a+b =$ ...
$ \begin{align} & (A) \ 1 \\ & (B) \ 2 \\ & (C) \ 3 \\ & (D) \ 4 \\ & (E) \ 5 \end{align} $
Diketahui sebuah lingkaran mempunyai persamaan $x^{2}+y^{2}+ax+4y+b=0$. Jika pusat dan jari - jarinya adalah $(2,-2)$ dan $3$ satuan maka nilai $a+b =$ ...
$ \begin{align} & (A) \ 1 \\ & (B) \ 2 \\ & (C) \ 3 \\ & (D) \ 4 \\ & (E) \ 5 \end{align} $
Pusat lingkaran tersebut adalah $(2,-2)$ maka :
$ \begin{align} \dfrac{1}{2} a &= 2\\ a &= 4 \end{align} $
Lanjut kita cari nilai $b$ nya dengan menggunakan panjang jari - jari dan pusatnya :
$ \begin{align} 3 &= \sqrt{2^{2} + (-2)^{2}-b} \\ 3 &= \sqrt{4 + 4 -b} \\ 9 &= 8+b \\ b &= 1 \end{align} $
$a+b=4+1=5$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ 5$.
$ \begin{align} \dfrac{1}{2} a &= 2\\ a &= 4 \end{align} $
Lanjut kita cari nilai $b$ nya dengan menggunakan panjang jari - jari dan pusatnya :
$ \begin{align} 3 &= \sqrt{2^{2} + (-2)^{2}-b} \\ 3 &= \sqrt{4 + 4 -b} \\ 9 &= 8+b \\ b &= 1 \end{align} $
$a+b=4+1=5$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E) \ 5$.
Contoh No.9
Diketahui sebuah lingkaran mempunyai pusat $P(5,-3)$ dan menyinggung sumbu -$x$ maka persamaan lingkarannya adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ (x+5)^{2}+(y+3)^{2} = 9 \\ & (B) \ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} = 9 \\ & (C) \ (x+5)^{2}+(y+3)^{2} = 25 \\ & (D) \ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} = 25 \\ & (E) \ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} = 34 \end{align} $
Diketahui sebuah lingkaran mempunyai pusat $P(5,-3)$ dan menyinggung sumbu -$x$ maka persamaan lingkarannya adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ (x+5)^{2}+(y+3)^{2} = 9 \\ & (B) \ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} = 9 \\ & (C) \ (x+5)^{2}+(y+3)^{2} = 25 \\ & (D) \ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} = 25 \\ & (E) \ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} = 34 \end{align} $
Perhatikan gambar di bawah ini !
Dari gambar terlihat bahwa jika lingkarannya menyinggung sumbu-$x$ maka kita bisa dapatkan bahwa $r=| y_P |$.
Sehingga kita dapatkan jari - jarinya adalah : \[ r = | -3 | =3 \] Sehingga persamaan lingkarannya adalah :
$ \begin{align} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} &= 3^{2} \\ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} &= 9 \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B) \ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} = 9$.
Sehingga kita dapatkan jari - jarinya adalah : \[ r = | -3 | =3 \] Sehingga persamaan lingkarannya adalah :
$ \begin{align} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} &= 3^{2} \\ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} &= 9 \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B) \ (x-5)^{2}+(y-3)^{2} = 9$.
Contoh No.10
Diketahui sebuah lingkaran mempunyai pusat persamaan $2x^{2}+2y^{2}+4x+8y+1=0$ maka pusat dan jari - jarinya adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ P(1,-2) \ \text{dan} \ \dfrac{3}{2} \\ & (B) \ P(-1,-2) \ \text{dan} \ \dfrac{3}{2} \\ & (C) \ P(-1,2) \ \text{dan} \ \dfrac{2}{3} \\ & (D) \ P(-2,-1) \ \text{dan} \ \dfrac{2}{3} \\ & (E) \ P(2,-1) \ \text{dan} \ \dfrac{3}{2} \end{align} $
Diketahui sebuah lingkaran mempunyai pusat persamaan $2x^{2}+2y^{2}+4x+8y+1=0$ maka pusat dan jari - jarinya adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ P(1,-2) \ \text{dan} \ \dfrac{3}{2} \\ & (B) \ P(-1,-2) \ \text{dan} \ \dfrac{3}{2} \\ & (C) \ P(-1,2) \ \text{dan} \ \dfrac{2}{3} \\ & (D) \ P(-2,-1) \ \text{dan} \ \dfrac{2}{3} \\ & (E) \ P(2,-1) \ \text{dan} \ \dfrac{3}{2} \end{align} $
Caranya mudah, kembalikan saja bentuknya menjadi bentuk umum persamaan lingkaran :
\[ x^{2}+y^{2}+Ax+by+C=0 \]
Sehingga,
$ \begin{align} 2x^{2}+2y^{2}+4x+8y+1 &= 0 \ |:2 \\ x^{2}+y^{2}+2x+4y+\dfrac{1}{2} &= 0 \end{align} $
kita dapatkan pusat dan jari - jarinya adalah \[ P \left( -\dfrac{1}{2} \times 2 , -\dfrac{1}{2} \times 4 \right) = P(-1,-2) \] Lanjut kita cari jari - jarinya : $ \begin{align} r &= \sqrt{(-1)^{2} + (-2)^{2}-\dfrac{1}{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{9}{2}} \\ &= \dfrac{3}{2} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $ (B) \ P(-1,-2) \ \text{dan} \ \dfrac{3}{2}$.
$ \begin{align} 2x^{2}+2y^{2}+4x+8y+1 &= 0 \ |:2 \\ x^{2}+y^{2}+2x+4y+\dfrac{1}{2} &= 0 \end{align} $
kita dapatkan pusat dan jari - jarinya adalah \[ P \left( -\dfrac{1}{2} \times 2 , -\dfrac{1}{2} \times 4 \right) = P(-1,-2) \] Lanjut kita cari jari - jarinya : $ \begin{align} r &= \sqrt{(-1)^{2} + (-2)^{2}-\dfrac{1}{2}} \\ &= \sqrt{\dfrac{9}{2}} \\ &= \dfrac{3}{2} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $ (B) \ P(-1,-2) \ \text{dan} \ \dfrac{3}{2}$.
Contoh No.11
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12 = 0$ di titik $(7,1)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ 3x-4y-41=0 \\ &(B). \ 4x+3y-55=0 \\ &(C). \ 4x-5y-53=0 \\ &(D). \ 4x+3y-31=0 \\ &(E). \ 4x-3y-40=0 \end{align} $
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12 = 0$ di titik $(7,1)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ 3x-4y-41=0 \\ &(B). \ 4x+3y-55=0 \\ &(C). \ 4x-5y-53=0 \\ &(D). \ 4x+3y-31=0 \\ &(E). \ 4x-3y-40=0 \end{align} $
Persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12 = 0$ mempunyai pusat dan jari - jari $P(3,-2)$ dan jari - jari $5$.
Persamaan garis singgungnya di titik $(7,1)$ adalah
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) &= r^2 \\ (7-3)(x-3)+(1+2)(y+2) &= 25 \\ 4x-12+3y+6 &= 25 \\ 4x-3y -31 &= 0 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 4x+3y-31=0 $.
Persamaan garis singgungnya di titik $(7,1)$ adalah
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) &= r^2 \\ (7-3)(x-3)+(1+2)(y+2) &= 25 \\ 4x-12+3y+6 &= 25 \\ 4x-3y -31 &= 0 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 4x+3y-31=0 $.
Contoh No.12
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=20$ yang bergradien $2$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ y=2x+20 \\ &(B.) \ y=2x+10 \\ &(C.) \ y=2x+5 \\ &(D.) \ y=2x-5 \\ &(E.) \ y=2x-20 \end{align} $
Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=20$ yang bergradien $2$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ y=2x+20 \\ &(B.) \ y=2x+10 \\ &(C.) \ y=2x+5 \\ &(D.) \ y=2x-5 \\ &(E.) \ y=2x-20 \end{align} $
Persamaan lingkaran $x^2+y^2=20$ mempunyai pusat dan jari - jari $P(0,0)$ dan $\sqrt{20}$.
Sehingga persamaan garis singgungnya yang bergradien $2$ adalah
$ \begin{align} y &= mx \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= 2x \pm \sqrt{20} \sqrt{2^{2}+1} \\ y &= 2x \pm \sqrt{100} \\ y &= 2x+10 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B.) \ y=2x+10 $.
Sehingga persamaan garis singgungnya yang bergradien $2$ adalah
$ \begin{align} y &= mx \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y &= 2x \pm \sqrt{20} \sqrt{2^{2}+1} \\ y &= 2x \pm \sqrt{100} \\ y &= 2x+10 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B.) \ y=2x+10 $.
Contoh No.13
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv x^{2}+y^{2}-6x-2y-1=0$ yang tegak lurus terhadap garis $3x-4y=5$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ 3x+4y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \\ &(B.) \ 4x+3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \\ &(C.) \ 4x-3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \\ &(D.) \ -4x+3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \\ &(E.) \ -4x-3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \end{align} $
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv x^{2}+y^{2}-6x-2y-1=0$ yang tegak lurus terhadap garis $3x-4y=5$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ 3x+4y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \\ &(B.) \ 4x+3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \\ &(C.) \ 4x-3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \\ &(D.) \ -4x+3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \\ &(E.) \ -4x-3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0 \end{align} $
Persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y-1=0$ mempunyai pusat dan jari - jari $P(3,1)$ dan $\sqrt{11}$.
Gradien $3x-4y=5$ adalah $m_1=-\dfrac{3}{(-4)}=\dfrac{3}{4}$ sehingga nilai $m$ yang tegak lurus dengannya adalah $m_2=-\dfrac{4}{3}$.
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} y-b &= m_{2}(x-a) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= -\dfrac{4}{3}(x-3) \pm \sqrt{11} \sqrt{\left( -\dfrac{4}{3} \right)^{2}+1} \\ y-1 &= -\dfrac{4}{3}(x-3) \pm \sqrt{11} \sqrt{\dfrac{25}{9}} \\ y-1 &= -\dfrac{4}{3}(x-3) \pm \dfrac{5}{3} \sqrt{11} \ | \times 3 \\ 3y-3 &= -4x+12 \pm 5 \sqrt{11} \\ 0 &= 4x+3y-15 \pm 5 \sqrt{11} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B.) \ 4x+3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0$.
Gradien $3x-4y=5$ adalah $m_1=-\dfrac{3}{(-4)}=\dfrac{3}{4}$ sehingga nilai $m$ yang tegak lurus dengannya adalah $m_2=-\dfrac{4}{3}$.
Sehingga persamaan garis singgungnya :
$ \begin{align} y-b &= m_{2}(x-a) \pm r \sqrt{m^{2}+1} \\ y-1 &= -\dfrac{4}{3}(x-3) \pm \sqrt{11} \sqrt{\left( -\dfrac{4}{3} \right)^{2}+1} \\ y-1 &= -\dfrac{4}{3}(x-3) \pm \sqrt{11} \sqrt{\dfrac{25}{9}} \\ y-1 &= -\dfrac{4}{3}(x-3) \pm \dfrac{5}{3} \sqrt{11} \ | \times 3 \\ 3y-3 &= -4x+12 \pm 5 \sqrt{11} \\ 0 &= 4x+3y-15 \pm 5 \sqrt{11} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B.) \ 4x+3y-15 \pm 5 \sqrt{11} = 0$.
Contoh No.14
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv x^{2}+y^{2}+4x+10y-11=0$ di titik $P$ dengan ordinat $y=-3$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ x-3y-9 = 0 \\ &(B.) \ x+3y-9 = 0 \\ &(C.) \ 3x-y-9 = 0 \\ &(D.) \ 3x+y+9 = 0 \\ &(E.) \ 3x+y-9 = 0 \end{align} $
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $L \equiv x^{2}+y^{2}+4x+10y-11=0$ di titik $P$ dengan ordinat $y=-3$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ x-3y-9 = 0 \\ &(B.) \ x+3y-9 = 0 \\ &(C.) \ 3x-y-9 = 0 \\ &(D.) \ 3x+y+9 = 0 \\ &(E.) \ 3x+y-9 = 0 \end{align} $
Karena disoal diketahui ordinatnya $y=-3$, langkah awal kita cari aja dulu absisnya ($x$).
Caranya kita substitusi $y=-3$ ke persamaan lingkarannya.
$ \begin{align} x^{2}+(-3)^{2}+4x+10(-3)-11 &= 0 \\ x^{2}+4x-32 &= 0 \\ (x+8)(x-4) &= 0 \\ x=-9 \ \text{atau} \ x &= 4 \end{align} $
Didapat dua titik singgung yaitu $P(4,-3)$ dan $P(-9,-3)$
Persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x+10y-11=0$ mempunyai pusat $(-2,-5)$ dan jari - jari $\sqrt{40}$.
Sehingga persamaan garis singgung untuk $P(4,-3)$ :
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) &= r^2 \\ (4+2)(x+2)+(-3+5)(y+5) &= 40 \\ 6x+12+2y+10 &= 40 \\ 6x+2y-18 &= 0 \ |:2 \\ 3x+y-9 &= 0 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E.) \ 3x+y-9 = 0 $.
Caranya kita substitusi $y=-3$ ke persamaan lingkarannya.
$ \begin{align} x^{2}+(-3)^{2}+4x+10(-3)-11 &= 0 \\ x^{2}+4x-32 &= 0 \\ (x+8)(x-4) &= 0 \\ x=-9 \ \text{atau} \ x &= 4 \end{align} $
Didapat dua titik singgung yaitu $P(4,-3)$ dan $P(-9,-3)$
Persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}+4x+10y-11=0$ mempunyai pusat $(-2,-5)$ dan jari - jari $\sqrt{40}$.
Sehingga persamaan garis singgung untuk $P(4,-3)$ :
$ \begin{align} (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b) &= r^2 \\ (4+2)(x+2)+(-3+5)(y+5) &= 40 \\ 6x+12+2y+10 &= 40 \\ 6x+2y-18 &= 0 \ |:2 \\ 3x+y-9 &= 0 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E.) \ 3x+y-9 = 0 $.
Contoh No.15
Kedudukan titik $(2,4)$ terhadap lingkaran $L \equiv x^{2}+y^{2}=25$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ \text{Di dalam lingkaran.} \\ &(B.) \ \text{Di luar lingkaran.} \\ &(C.) \ \text{Pada lingkaran.} \\ &(D.) \ \text{Tidak dapat ditentukan.} \end{align} $
Kedudukan titik $(2,4)$ terhadap lingkaran $L \equiv x^{2}+y^{2}=25$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ \text{Di dalam lingkaran.} \\ &(B.) \ \text{Di luar lingkaran.} \\ &(C.) \ \text{Pada lingkaran.} \\ &(D.) \ \text{Tidak dapat ditentukan.} \end{align} $
Untuk menentukan kedudukan suatu titik terhadap lingkaran langkahnya sangat mudah, yaitu tinggal substitusikan saja titik $(x_1,y_1)$ nya ke persamaan lingkarannya.
Kedudukannya ada tiga jenis yaitu :
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A.) \ \text{Di dalam lingkaran.}$.
Kedudukannya ada tiga jenis yaitu :
- $(x_1)^{2}+(y_1)^{2}=r^{2} \to$ Pada Lingkaran
- $(x_1)^{2}+(y_1)^{2} \gt r^{2} \to$ Di Luar Lingkaran
- $(x_1)^{2}+(y_1)^{2} \lt r^{2} \to$ Di Dalam Lingkaran
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A.) \ \text{Di dalam lingkaran.}$.
Contoh No.16 Soal SBMPTN 2019
Diketahui titik $P(4,a)$ dan lingkaran $L \equiv x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$, Jika titik $P$ berada dalam lingkaran $L$, maka nilai $a$ yang mungkin adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ 1 \lt a \lt 3 \\ &(B.) \ -3 \lt a \lt 5 \\ &(C.) \ -5 \lt a \lt -3 \\ &(D.) \ 3 \lt a \lt 5 \\ &(E.) \ -5 \lt a \lt 3 \end{align} $
Diketahui titik $P(4,a)$ dan lingkaran $L \equiv x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$, Jika titik $P$ berada dalam lingkaran $L$, maka nilai $a$ yang mungkin adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ 1 \lt a \lt 3 \\ &(B.) \ -3 \lt a \lt 5 \\ &(C.) \ -5 \lt a \lt -3 \\ &(D.) \ 3 \lt a \lt 5 \\ &(E.) \ -5 \lt a \lt 3 \end{align} $
Karena titik $P(4,a)$ terletak di dalam lingkarannya, maka berlaku hubungan
$ \begin{align} 4^{2}+a^{2}-8(4)-2(a)+1 & \lt 0 \\ 16+a^{2}-32-2a+1 & \lt 0 \\ a^{2} -2a-15 & \lt 0 \\ (a+3)(a-5) & \lt 0 \end{align} $
Sehingga kita akan dapatkan batas - batas nilai $a$ yang mungkin adalah $-3 \lt a \lt 5$.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B.) \ -3 \lt a \lt 5 $
$ \begin{align} 4^{2}+a^{2}-8(4)-2(a)+1 & \lt 0 \\ 16+a^{2}-32-2a+1 & \lt 0 \\ a^{2} -2a-15 & \lt 0 \\ (a+3)(a-5) & \lt 0 \end{align} $
Sehingga kita akan dapatkan batas - batas nilai $a$ yang mungkin adalah $-3 \lt a \lt 5$.
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B.) \ -3 \lt a \lt 5 $
Contoh No.17 Soal SBMPTN 2019
Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$ menyinggung garis $ax+by=2b$ maka $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\cdots$
$ \begin{align} &(A.) \ \dfrac{1}{4} \\ &(B.) \ \dfrac{1}{2} \\ &(C.) \ \dfrac{3}{4} \\ &(D.) \ 1 \\ &(E.) \ 2 \end{align} $
Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$ menyinggung garis $ax+by=2b$ maka $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\cdots$
$ \begin{align} &(A.) \ \dfrac{1}{4} \\ &(B.) \ \dfrac{1}{2} \\ &(C.) \ \dfrac{3}{4} \\ &(D.) \ 1 \\ &(E.) \ 2 \end{align} $
Karena kondisi garis dan lingkarannya bersinggungan maka cara mengerjakannya adalah dengan substitusi persamaan garis ke persamaan lingkarannya.
Kemudian setelah mendapatkan persamaan baru, kita akan cari nilai diskriminannya $D=0$.
Sehingga,
$ \begin{align} x^{2}+y^{2} & = 1 \\ x^{2}+\left( 2-\dfrac{ax}{b} \right)^{2} & = 1 \\ x^{2}+4+ \dfrac{a^{2}x^{2}}{b^{2}} - \dfrac{4ax}{b} & = 1 \\ \left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right) x^{2} - \dfrac{4a}{b}x + 3 & = 0 \\ \\ D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ \left( \dfrac{4a}{b} \right)^{2}-4\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right)\left( 3 \right) & = 0 \\ \dfrac{16a^{2}}{b^{2}} -12 \left( \dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \right) & = 0 \\ \dfrac{16a^{2}-12b^{2}-12a^{2}}{b^{2}} & = 0 \\ 4a^{2}-12b^{2} & = 0 \\ a^{2} & = 3b^{2}\\ \\ \dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = \dfrac{3b^{2}}{3b^{2}+b^{2}} \\ & = \dfrac{3b^{2}}{4b^{2}} = \dfrac{3 }{4} \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C.) \ \dfrac{3}{4}$.
Kemudian setelah mendapatkan persamaan baru, kita akan cari nilai diskriminannya $D=0$.
Sehingga,
$ \begin{align} x^{2}+y^{2} & = 1 \\ x^{2}+\left( 2-\dfrac{ax}{b} \right)^{2} & = 1 \\ x^{2}+4+ \dfrac{a^{2}x^{2}}{b^{2}} - \dfrac{4ax}{b} & = 1 \\ \left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right) x^{2} - \dfrac{4a}{b}x + 3 & = 0 \\ \\ D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ \left( \dfrac{4a}{b} \right)^{2}-4\left( \dfrac{a^{2}}{b^{2}}+1 \right)\left( 3 \right) & = 0 \\ \dfrac{16a^{2}}{b^{2}} -12 \left( \dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}} \right) & = 0 \\ \dfrac{16a^{2}-12b^{2}-12a^{2}}{b^{2}} & = 0 \\ 4a^{2}-12b^{2} & = 0 \\ a^{2} & = 3b^{2}\\ \\ \dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} & = \dfrac{3b^{2}}{3b^{2}+b^{2}} \\ & = \dfrac{3b^{2}}{4b^{2}} = \dfrac{3 }{4} \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C.) \ \dfrac{3}{4}$.
Contoh No.18 Soal UM-UGM 2019
Bilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari - jari $A+1$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ 5 \\ &(B.) \ 4 \\ &(C.) \ 3 \\ &(D.) \ 2 \\ &(E.) \ 1 \end{align} $
Bilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari - jari $A+1$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ 5 \\ &(B.) \ 4 \\ &(C.) \ 3 \\ &(D.) \ 2 \\ &(E.) \ 1 \end{align} $
Kita bisa cari nilai $A$ nya dengan menggunakan rumus mencari jari - jari seperti soal - soal yang sudah kita bahas di atas.
$ \begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 }\\ \left( A+1 \right)^{2} &= \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 \\ A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\ 0 &= 3A^{2}-2A-40 \\ 0 &= \left ( 3A+10 \right ) \left ( A-4 \right )\\ & A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B.) \ 4$.
$ \begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 }\\ \left( A+1 \right)^{2} &= \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 \\ A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\ 0 &= 3A^{2}-2A-40 \\ 0 &= \left ( 3A+10 \right ) \left ( A-4 \right )\\ & A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B.) \ 4$.
Contoh No.19 Soal UM-UGM 2017
Sebuah lingkaran dengan pusat $P(2,3)$ dan menyinggung garis $4x+3y -7 = 0$ maka persamaan lingkaran adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4 \\ (B)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-7 \right)^{2} = 14 \\ (C)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 7 \\ (D)\ & \left( x-4 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4 \\ (E)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-2 \right)^{2} = 27 \end{align} $
Sebuah lingkaran dengan pusat $P(2,3)$ dan menyinggung garis $4x+3y -7 = 0$ maka persamaan lingkaran adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4 \\ (B)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-7 \right)^{2} = 14 \\ (C)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 7 \\ (D)\ & \left( x-4 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4 \\ (E)\ & \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-2 \right)^{2} = 27 \end{align} $
Dalam soal ini yang belum diketahui adalah panjang jari - jari dari lingkarannya.
Karena pusat $P(2,3)$ dan menyinggung garis $4x+3y -7 = 0$ maka jari - jarinya adalah jarak antara titik $P$ dengan garis $4x+3y -7 = 0$.
Jarak titik $(x_1,y_1)$ terhadap garis $ax+by+c=0$ adalah : \[ d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \] Sehingga,
$ \begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(4)(2)+(3)(3)+(-7)}{\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{10}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{10}{5} \right|= 2 \end{align} $
Persamaan lingkaran dengan pusat $P(2,3)$ dan $r=4$ adalah :
$ \begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} &= 2^{2} \\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} &= 4 \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4$.
Karena pusat $P(2,3)$ dan menyinggung garis $4x+3y -7 = 0$ maka jari - jarinya adalah jarak antara titik $P$ dengan garis $4x+3y -7 = 0$.
Jarak titik $(x_1,y_1)$ terhadap garis $ax+by+c=0$ adalah : \[ d = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \] Sehingga,
$ \begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(4)(2)+(3)(3)+(-7)}{\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{10}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{10}{5} \right|= 2 \end{align} $
Persamaan lingkaran dengan pusat $P(2,3)$ dan $r=4$ adalah :
$ \begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} &= 2^{2} \\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} &= 4 \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4$.
Contoh No.20 Soal UN MAT 2016
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 4x-3y=43 \\ (B)\ & 4x+3y=23 \\ (C)\ & 3x-4y=41 \\ (D)\ & 10x+3y=55 \\ (E)\ & 4x-5y=53 \end{align} $
Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 4x-3y=43 \\ (B)\ & 4x+3y=23 \\ (C)\ & 3x-4y=41 \\ (D)\ & 10x+3y=55 \\ (E)\ & 4x-5y=53 \end{align} $
Rumus persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ adalah
\[ xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}Ax_{1}+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}By_{1}+C=0 \]
Sehingga persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah
$x(7)+y(-5)+\frac{1}{2}(-6)x+\frac{1}{2}(-6)(7)+\frac{1}{2}(4)y+\frac{1}{2}(4)(-5)-12=0$
$7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$
$4x-3y=43$
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ 4x-3y=43$.
$x(7)+y(-5)+\frac{1}{2}(-6)x+\frac{1}{2}(-6)(7)+\frac{1}{2}(4)y+\frac{1}{2}(4)(-5)-12=0$
$7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$
$4x-3y=43$
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ 4x-3y=43$.
Contoh No.21 Soal SBMPTN 2014
Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x−y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 12 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 0 \end{align} $
Jika lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x−y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 12 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 0 \end{align} $
Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ maka
$ \begin{align} r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ 2 & = \sqrt{\frac{1}{4}(-2a)^{2}-b} \\ 4 & = a^{2}-b\ \cdots\ (1) \end{align} $
Karena $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $x−y=0$ maka
$ \begin{align} x^{2}+x^{2}-2ax+b &= 0 \\ 2x^{2}-2ax+b &= 0 \\ \\ D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ (-2a)^{2}-4(2)(b) & = 0 \\ 4a^{2}-8b & = 0 \\ a^{2}-2b & = 0\ \cdots\ (2) \\ \end{align} $
Eliminasi persamaan ($1$) dan ($2$) :
$ \begin{array}{c|c|cc} a^{2}-b=4 & \\ a^{2}-2b=0 & (-) \\ \hline b =4\ &\ a^{2}-b =4 \\ &\ a^{2}-4 =4 \\ &\ a^{2} =8 \\ a^{2}+b=12 \end{array} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ 12$.
$ \begin{align} r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ 2 & = \sqrt{\frac{1}{4}(-2a)^{2}-b} \\ 4 & = a^{2}-b\ \cdots\ (1) \end{align} $
Karena $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $x−y=0$ maka
$ \begin{align} x^{2}+x^{2}-2ax+b &= 0 \\ 2x^{2}-2ax+b &= 0 \\ \\ D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ (-2a)^{2}-4(2)(b) & = 0 \\ 4a^{2}-8b & = 0 \\ a^{2}-2b & = 0\ \cdots\ (2) \\ \end{align} $
Eliminasi persamaan ($1$) dan ($2$) :
$ \begin{array}{c|c|cc} a^{2}-b=4 & \\ a^{2}-2b=0 & (-) \\ \hline b =4\ &\ a^{2}-b =4 \\ &\ a^{2}-4 =4 \\ &\ a^{2} =8 \\ a^{2}+b=12 \end{array} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ 12$.
Penutup
Gimana, sudah makin paham kan tentang lingkaran ?Semoga pembahasan ini membantu kamu menguasai persamaan lingkaran, ya!
Yuk, terus latihan biar siap tempur di ujian!
Selamat belajar dan semangat mencapai nilai matematika yang kinclong! 😊
"Berjuang dalam belajar itu wajar, karena dari sana kita tumbuh lebih kuat." – Anonim
