Cara Merasionalkan Akar Pangkat 3 Dengan Mudah
Ini adalah pembahasan lengkap tentang cara mudah bagaimana merasionalkan bentuk aljabar akar pangkat 3.
Pernahkan kalian mencoba merasionalkan akar pangkat 3 seperti bentuk di bawah ini?
$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{8}$
Sebelum kita bahas lebih jauh, kita disclaimer dulu ya buat apa sih harus belajar merasionalkan akar pangkat 3?
Apa gunanya belajar materi ini?
Ada banyak manfaat dengan belajar merasionalkan akar pangkat 3, beberapa diantaranya selain kebutuhan menyederhanakan fungsi aljabar adalah untuk menyelesaikan soal - soal limit bentuk akar dan turunan fungsi aljabar.
Materi merasionalkan fungsi akar memang sebenarnya sudah kita pelajari saat di kelas 9 SMP, yaitu saat pertama kali mendapatkan teori atau konsep dasar dari eksponen.
Namun demikian kedalaman materi saat itu seringnya hanya sebatas merasionalkan akar pangkat 2.
Cara yang paling umum untuk merasionalkan bentuk akar adalah dengan mengalikannya dengan akar sekawan.
Nahh.. disinilah permasalahannya.
Banyak yang masih salah memahami bentuk dari "akar sekawan".
Kalian pasti akan berpikir bahwa yang namanya bentuk akar sekawan adalah bentuk lain akar dalam soal hanya saja berbeda tanda.
Misal kita punya bentuk akar $\left( \sqrt{3}+2 \right)$ maka akar sekawannya adalah $\left( \sqrt{3}-2 \right)$.
Dalam hal ini memang sama sekali tidak salah, namun pemahaman bahwa bentuk akar sekawan adalah bentuk lain akar yang berbeda tanda tentu merupakan pemahaman yang SANGAT SALAH.
Dalam matematika yang dimaksud dengan akar sekawan adalah sebuah bentuk aljabar dimana jika dikalian dengan sekawannya maka akan menghilangkan bentuk akarnya.
Sebagai contoh tadi jika kita mengalikan $\left( \sqrt{3}+2 \right)$ dengan akar sekawannya $\left( \sqrt{3}-2 \right)$ maka akan terbentuk sebuah operasi selisih dua kuadrat yang bisa menghilangkan bentuk akarnya.
Lebih jelas lagi biasanya kita tulis seperti dibawah,
$ \begin{align} \left( \sqrt{3}+2 \right)\left( \sqrt{3}-2 \right) &= \left( \sqrt{3} \right)^{2}-2^{2} \\ &= 3-4 \\ &= -1 \end{align} $
Beberapa diantaranya adalah :
Perbanyak latihan dengan bentuk soal - soal yang lain agar kalian makin paham dan jago lagi.
$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{8}$
Sebelum kita bahas lebih jauh, kita disclaimer dulu ya buat apa sih harus belajar merasionalkan akar pangkat 3?
Apa gunanya belajar materi ini?
Ada banyak manfaat dengan belajar merasionalkan akar pangkat 3, beberapa diantaranya selain kebutuhan menyederhanakan fungsi aljabar adalah untuk menyelesaikan soal - soal limit bentuk akar dan turunan fungsi aljabar.
Materi merasionalkan fungsi akar memang sebenarnya sudah kita pelajari saat di kelas 9 SMP, yaitu saat pertama kali mendapatkan teori atau konsep dasar dari eksponen.
Namun demikian kedalaman materi saat itu seringnya hanya sebatas merasionalkan akar pangkat 2.
Cara yang paling umum untuk merasionalkan bentuk akar adalah dengan mengalikannya dengan akar sekawan.
Nahh.. disinilah permasalahannya.
Banyak yang masih salah memahami bentuk dari "akar sekawan".
Kalian pasti akan berpikir bahwa yang namanya bentuk akar sekawan adalah bentuk lain akar dalam soal hanya saja berbeda tanda.
Misal kita punya bentuk akar $\left( \sqrt{3}+2 \right)$ maka akar sekawannya adalah $\left( \sqrt{3}-2 \right)$.
Dalam hal ini memang sama sekali tidak salah, namun pemahaman bahwa bentuk akar sekawan adalah bentuk lain akar yang berbeda tanda tentu merupakan pemahaman yang SANGAT SALAH.
Dalam matematika yang dimaksud dengan akar sekawan adalah sebuah bentuk aljabar dimana jika dikalian dengan sekawannya maka akan menghilangkan bentuk akarnya.
Sebagai contoh tadi jika kita mengalikan $\left( \sqrt{3}+2 \right)$ dengan akar sekawannya $\left( \sqrt{3}-2 \right)$ maka akan terbentuk sebuah operasi selisih dua kuadrat yang bisa menghilangkan bentuk akarnya.
Lebih jelas lagi biasanya kita tulis seperti dibawah,
$ \begin{align} \left( \sqrt{3}+2 \right)\left( \sqrt{3}-2 \right) &= \left( \sqrt{3} \right)^{2}-2^{2} \\ &= 3-4 \\ &= -1 \end{align} $
A. Bentuk - Bentuk Akar Sekawan Pangkat 3
Ada beberapa bentuk akar sekawan pangkat 3 yang akan membantu kita dalam merasionalkan bentuk akar jenis ini.Beberapa diantaranya adalah :
- Bentuk sekawan dari $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ adalah $\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}$
- Bentuk sekawan dari $\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$ adalah $\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}$
- Bentuk sekawan dari $a+\sqrt[3]{b}$ adalah $a^{2}-a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}}$
- Bentuk sekawan dari $a-\sqrt[3]{b}$ adalah $a^{2}+a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}}$
- Bentuk sekawan dari $\sqrt[3]{a}+b$ adalah $\sqrt[3]{a^{2}}-b\sqrt[3]{a}+b^{2}$
- Bentuk sekawan dari $\sqrt[3]{a}-b$ adalah $\sqrt[3]{a^{2}}+b\sqrt[3]{a}+b^{2}$
B. Contoh Soal dan Pembahasan Akar Sekawan Pangkat 3
Biar makin paham lagi tentang merasionalkan bentuk akar pangkat tiga, yuk ikutin aplikasinya dalam soal dan pembahasan di bawah ini.
Contoh 1
Bentuk paling sederhana (rasional) dari $\left( \dfrac{2}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}} \right)$ adalah ...
Bentuk paling sederhana (rasional) dari $\left( \dfrac{2}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}} \right)$ adalah ...
Untuk merasionalkan sebuah bentuk pecahan akar, maka yang perlu kita lakukan adalah dengan mengalikannya dengan bentuk akar sekawan dari akarnya.
Bentuk sekawan dari $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ adalah $\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \left( \dfrac{2}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}} \right) \times \dfrac{\sqrt[3]{2^{2}}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{2^{2}}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^{2}}} \\ &= \dfrac{2 \left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9} \right)}{2+3} \\ &= \dfrac{1}{5} \left( 2\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{6}+2\sqrt[3]{9} \right) \end{align} $
Bentuk sekawan dari $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ adalah $\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \left( \dfrac{2}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}} \right) \times \dfrac{\sqrt[3]{2^{2}}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^{2}}}{\sqrt[3]{2^{2}}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{3^{2}}} \\ &= \dfrac{2 \left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9} \right)}{2+3} \\ &= \dfrac{1}{5} \left( 2\sqrt[3]{4}-2\sqrt[3]{6}+2\sqrt[3]{9} \right) \end{align} $
Contoh 2
Bentuk paling sederhana (rasional) dari $\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}} \right)$ adalah ...
Bentuk paling sederhana (rasional) dari $\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}} \right)$ adalah ...
Bentuk sekawan dari $\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}$ adalah $\sqrt[3]{a^{2}}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^{2}}$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} & \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}} \right) \times \dfrac{\sqrt[3]{5^{2}}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{4^{2}}}{\sqrt[3]{5^{2}}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{4^{2}}} \\ &= \dfrac{\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{16}}{5-4} \\ &= \sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{16} \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} & \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{4}} \right) \times \dfrac{\sqrt[3]{5^{2}}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{4^{2}}}{\sqrt[3]{5^{2}}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{4^{2}}} \\ &= \dfrac{\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{16}}{5-4} \\ &= \sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{20}+\sqrt[3]{16} \end{align} $
Contoh 3
Bentuk rasional dari bentuk akar $\left( \dfrac{10}{1+\sqrt[3]{4}} \right)$ adalah ...
Bentuk rasional dari bentuk akar $\left( \dfrac{10}{1+\sqrt[3]{4}} \right)$ adalah ...
Untuk menyelesaikan soal ini kita akan pakai,
bentuk sekawan dari $a+\sqrt[3]{b}$ adalah $a^{2}-a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}}$
Sehingga,
$ \begin{align} & \left( \dfrac{10}{1+\sqrt[3]{4}} \right) \times \dfrac{1^{2}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4^{2}}}{1^{2}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4^{2}}} \\ &= \dfrac{10 \left( 1-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16} \right)}{1+4} \\ &= 2 \left( 1-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16} \right) \\ &= 2 - 2\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{16} \end{align} $
bentuk sekawan dari $a+\sqrt[3]{b}$ adalah $a^{2}-a\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^{2}}$
Sehingga,
$ \begin{align} & \left( \dfrac{10}{1+\sqrt[3]{4}} \right) \times \dfrac{1^{2}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4^{2}}}{1^{2}-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{4^{2}}} \\ &= \dfrac{10 \left( 1-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16} \right)}{1+4} \\ &= 2 \left( 1-\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16} \right) \\ &= 2 - 2\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{16} \end{align} $
Penutup
Nah sahabat kreatif, itulah cara mudah untuk merasionalkan bentuk akar pangkat 3.Perbanyak latihan dengan bentuk soal - soal yang lain agar kalian makin paham dan jago lagi.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
"Jangan takut gagal, itu bukti kamu akan segera sukses." – Anonim
