5 Soal Cerita Limit Tak Hingga Lengkap Pembahasan
Ini adalah pembahasan kumpulan soal cerita materi limit tak hingga kelas 12 SMA.
Salah satu bagian menarik pada saat membahas tentang limit fungsi aljabar adalah adanya limit tak hingga($\infty$).
Dengan limit tak hingga ini secara matematis kita bisa menghitung besaran - besaran di alam semesta yang jumlahnya luar biasa banyak (mendekati tak hingga).
Beberapa soal yang akan kita bahas di bawah ini akan memberikan pengetahuan buat kalian bagaimana itu bisa terjadi.
Disclaimer dulu, konsep dasar materi limit tak hingga sudah pernah kita bahas pada postingan yang lalu - lalu, jadi buat kalian yang belum sempat belajar bisa kalian cek pada menu daftar isi ya.
Seiring dengan rajin latihan dan memperbanyak bank soal, yakin deh kalian bakal makin jago dikemudian hari.
Dengan limit tak hingga ini secara matematis kita bisa menghitung besaran - besaran di alam semesta yang jumlahnya luar biasa banyak (mendekati tak hingga).
Beberapa soal yang akan kita bahas di bawah ini akan memberikan pengetahuan buat kalian bagaimana itu bisa terjadi.
Disclaimer dulu, konsep dasar materi limit tak hingga sudah pernah kita bahas pada postingan yang lalu - lalu, jadi buat kalian yang belum sempat belajar bisa kalian cek pada menu daftar isi ya.
Soal Cerita Limit Tak Hingga
Oke yuk kita bahas soal - soal cerita limit tak hingganya.
Soal Cerita 1
Seorang dokter hewan memeriksa pupil mata kucing. Misalkan diameter pupil mata kucing tersebut ditentukan dengan fungsi,
$f(x) = \dfrac{160x^{-0.4}+90}{4x^{-0.4}+15}$
dalam milimeter(mm) dan $x$ adalah intensitas cahaya pada pupil. Diameter pupil mata kucing pada saat cahaya tak terbatas adalah ... mm
$ \begin{align} & A. \ 3 \\ & B. \ 6 \\ & C. \ 12 \\ & D. \ 24 \\ & E. \ 40 \\ \end{align} $
Seorang dokter hewan memeriksa pupil mata kucing. Misalkan diameter pupil mata kucing tersebut ditentukan dengan fungsi,
$f(x) = \dfrac{160x^{-0.4}+90}{4x^{-0.4}+15}$
dalam milimeter(mm) dan $x$ adalah intensitas cahaya pada pupil. Diameter pupil mata kucing pada saat cahaya tak terbatas adalah ... mm
$ \begin{align} & A. \ 3 \\ & B. \ 6 \\ & C. \ 12 \\ & D. \ 24 \\ & E. \ 40 \\ \end{align} $
Dengan melihat maksud cerita pada soal maka diameter pupil mata kucing pada saat cahaya tak terbatas sebenarnya adalah nilai $f(x)$ saat $x$ mendekati tak hingga.
Atau bisa kita tulis dalam bentuk limit yaitu :
$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{160x^{-0.4}+90}{4x^{-0.4}+15}$
Oke sekarang yuk kita pecahkan berapa hasil nilai limit tak hingganya.
Ingat kembali bahwa untuk mengerjakan soal limit tak hingga bentuk pecahan maka yang harus kita lakukan adalah dengan membagi masing - masing pembilang dan penyebut dengan $x$ pangkat tertinggi pada $f(x)$ tersebut.
Sehingga,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{160x^{-0.4}+90}{4x^{-0.4}+15} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{160x^{-0.4}+90x^{0}}{4x^{-0.4}+15x^{0}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{160x^{-0.4}}{x^{0}}+\dfrac{90x^{0}}{x^{0}}}{\dfrac{4x^{-0.4}}{x^{0}}+\dfrac{15x^{0}}{x^{0}}} \\ &= \dfrac{0+90}{0+15} \\ &= \dfrac{90}{15} \\ &= 6 \end{align} $
Jadi, lebar diameter mata kucing saat mendapatkan intensitas cahaya tak terbatas akan mendekati $6$ mm ($B$).
Atau bisa kita tulis dalam bentuk limit yaitu :
$\lim\limits_{x \to \infty} f(x)=\lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{160x^{-0.4}+90}{4x^{-0.4}+15}$
Oke sekarang yuk kita pecahkan berapa hasil nilai limit tak hingganya.
Ingat kembali bahwa untuk mengerjakan soal limit tak hingga bentuk pecahan maka yang harus kita lakukan adalah dengan membagi masing - masing pembilang dan penyebut dengan $x$ pangkat tertinggi pada $f(x)$ tersebut.
Sehingga,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{160x^{-0.4}+90}{4x^{-0.4}+15} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{160x^{-0.4}+90x^{0}}{4x^{-0.4}+15x^{0}} \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{160x^{-0.4}}{x^{0}}+\dfrac{90x^{0}}{x^{0}}}{\dfrac{4x^{-0.4}}{x^{0}}+\dfrac{15x^{0}}{x^{0}}} \\ &= \dfrac{0+90}{0+15} \\ &= \dfrac{90}{15} \\ &= 6 \end{align} $
Jadi, lebar diameter mata kucing saat mendapatkan intensitas cahaya tak terbatas akan mendekati $6$ mm ($B$).
Soal Cerita 2
Untuk kebutuhan observasi terhadap diagnosa penyakitnya, seorang pasien disuntik suatu obat Tipe A. Setelah suntikan, konsentrasi obat dalam nanomol per liter(nmol/l) dalam otot bervariasi sesuai dengan fungsi waktu $f(t)$.
Misalkan $t$ diukur dalam jam, dan $f(t)= \dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}$.
Konsentrasi obat saat $t \to \infty$ adalah ... nmol/l
$ \begin{align} & A. \ 0,5 \\ & B. \ 1 \\ & C. \ 3 \\ & D. \ 4,3 \\ & E. \ 7 \\ \end{align} $
Untuk kebutuhan observasi terhadap diagnosa penyakitnya, seorang pasien disuntik suatu obat Tipe A. Setelah suntikan, konsentrasi obat dalam nanomol per liter(nmol/l) dalam otot bervariasi sesuai dengan fungsi waktu $f(t)$.
Konsentrasi obat saat $t \to \infty$ adalah ... nmol/l
$ \begin{align} & A. \ 0,5 \\ & B. \ 1 \\ & C. \ 3 \\ & D. \ 4,3 \\ & E. \ 7 \\ \end{align} $
Sesuai dengan konsep limit tak hingga bentuk pecahan, langsung aja kita bagi pembilang dan penyebut dengan $t$ pangkat tertinggi.
Dengan demikian,
$ \begin{align} \lim\limits_{t \to \infty} f(t) &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{\dfrac{t}{t}}{\sqrt{\dfrac{t^{2}}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{2}}}} \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{t^{2}}}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+0}} \\ &= 1 \end{align} $
Jadi, konsentrasi obat saat $t \to \infty$ adalah $B. \ 1$ nmol/l.
Dengan demikian,
$ \begin{align} \lim\limits_{t \to \infty} f(t) &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{\dfrac{t}{t}}{\sqrt{\dfrac{t^{2}}{t^{2}}+\dfrac{1}{t^{2}}}} \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{t^{2}}}} \\ &= \dfrac{1}{\sqrt{1+0}} \\ &= 1 \end{align} $
Jadi, konsentrasi obat saat $t \to \infty$ adalah $B. \ 1$ nmol/l.
Soal Cerita 3
Seorang pengusaha ayam geprek menjual dagangannya sebanyak $m$ porsi dan akan memperoleh laba yang dapat dinyatakan dengan fungsi sebesar
$f(m)=\dfrac{15m^{2}-3m+1}{\sqrt{4m^{4}+2m^{2}+1}}$ juta rupiah.
Laba yang ia dapatkan jika porsi yang terjual sangat banyak adalah...
$ \begin{align} & A. \ Rp. \ 5.000.000,00 \\ & B. \ Rp. \ 7.500.000,00 \\ & C. \ Rp. \ 10.000.000,00 \\ & D. \ Rp. \ 12.500.000,00 \\ & E. \ Rp. \ 15.000.000,00 \\ \end{align} $
Seorang pengusaha ayam geprek menjual dagangannya sebanyak $m$ porsi dan akan memperoleh laba yang dapat dinyatakan dengan fungsi sebesar
$f(m)=\dfrac{15m^{2}-3m+1}{\sqrt{4m^{4}+2m^{2}+1}}$ juta rupiah.
Laba yang ia dapatkan jika porsi yang terjual sangat banyak adalah...
$ \begin{align} & A. \ Rp. \ 5.000.000,00 \\ & B. \ Rp. \ 7.500.000,00 \\ & C. \ Rp. \ 10.000.000,00 \\ & D. \ Rp. \ 12.500.000,00 \\ & E. \ Rp. \ 15.000.000,00 \\ \end{align} $
Laba yang ia akan dapatkan adalah,
$ \begin{align} \lim\limits_{m \to \infty} f(m) &= \lim\limits_{m \to \infty} \dfrac{15m^{2}-3m+1}{\sqrt{4m^{4}+2m^{2}+1}} \\ \\ &= \lim\limits_{m \to \infty} \dfrac{\dfrac{15m^{2}}{m^{2}}-\dfrac{3m}{m^{2}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{\sqrt{\dfrac{4m^{4}}{m^{4}}+\dfrac{2m^{2}}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{4}}}} \\ \\ &= \lim\limits_{m \to \infty} \dfrac{15-\dfrac{3}{m}+\dfrac{1}{m^{2}}}{\sqrt{4+\dfrac{2}{m^{2}}+\dfrac{1}{m^{4}}}} \\ \\ &= \dfrac{15-0+0}{\sqrt{4+0+0}} \\ \\ &= \dfrac{15}{2} = 7,5 \ \text{juta} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $B. \ Rp. \ 7.500.000,00$.
$ \begin{align} \lim\limits_{m \to \infty} f(m) &= \lim\limits_{m \to \infty} \dfrac{15m^{2}-3m+1}{\sqrt{4m^{4}+2m^{2}+1}} \\ \\ &= \lim\limits_{m \to \infty} \dfrac{\dfrac{15m^{2}}{m^{2}}-\dfrac{3m}{m^{2}}+\dfrac{1}{m^{2}}}{\sqrt{\dfrac{4m^{4}}{m^{4}}+\dfrac{2m^{2}}{m^{4}}+\dfrac{1}{m^{4}}}} \\ \\ &= \lim\limits_{m \to \infty} \dfrac{15-\dfrac{3}{m}+\dfrac{1}{m^{2}}}{\sqrt{4+\dfrac{2}{m^{2}}+\dfrac{1}{m^{4}}}} \\ \\ &= \dfrac{15-0+0}{\sqrt{4+0+0}} \\ \\ &= \dfrac{15}{2} = 7,5 \ \text{juta} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $B. \ Rp. \ 7.500.000,00$.
Soal Cerita 4
Senyawa kimia mengalami peluruhan secara terus menerus.
Banyaknya peluruhan senyawa tersebut dinyatakan dalam fungsi
$f(x)=\dfrac{12 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x} \tan \left( \frac{3}{x} \right)}$,
dengan $x$ adalah lama senyawa kimia meluruh. Jika $f(x)$ dinyatakan dalam satuan gram, maka banyaknya peluruhan senyawa tersebut adalah... gram.
$ \begin{align} & A. \ 2 \\ & B. \ 4 \\ & C. \ 6 \\ & D. \ 8 \\ & E. \ 10 \\ \end{align} $
Senyawa kimia mengalami peluruhan secara terus menerus.
$f(x)=\dfrac{12 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x} \tan \left( \frac{3}{x} \right)}$,
dengan $x$ adalah lama senyawa kimia meluruh. Jika $f(x)$ dinyatakan dalam satuan gram, maka banyaknya peluruhan senyawa tersebut adalah... gram.
$ \begin{align} & A. \ 2 \\ & B. \ 4 \\ & C. \ 6 \\ & D. \ 8 \\ & E. \ 10 \\ \end{align} $
Karena proses peluruhan berlangsung terus menerus hingga tak hingga, maka sama halnya dengan mencari nilai $f(x)$ saat $x \to \infty$.
Sehingga dapat kita tulis sebagai,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{12 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x} \tan \left( \frac{3}{x} \right)} \end{align} $
Untuk mendapatkan solusi dari limit tak hingga trigonometri sedikit berbeda dengan limit tak hingga biasanya.
Kita bisa dengan membawanya dalam konsep limit fungsi trigonomerti.
Misal $y=\dfrac{1}{x}$ maka $x=\dfrac{1}{y}$
sehingga untuk $x \to \infty$ maka $y \to 0$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{12 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x} \tan \left( \frac{3}{x} \right)} &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{12 \ \sin^{2} \left( y \right)}{y \tan \left( 3y \right)} \\ &= 12 \ \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{\sin y}{y} \ \dfrac{\sin y}{\tan 3y} \right) \\ &= 12 \ \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\sin y}{y} \ \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\sin y}{\tan 3y} \\ &= 12 \times 1 \times \dfrac{1}{3} \\ &= 4 \end{align} $
Jadi, banyak peluruhan senyawa tersebut adalah $4$ gram ($B$).
Sehingga dapat kita tulis sebagai,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} f(x) &= \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{12 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x} \tan \left( \frac{3}{x} \right)} \end{align} $
Untuk mendapatkan solusi dari limit tak hingga trigonometri sedikit berbeda dengan limit tak hingga biasanya.
Kita bisa dengan membawanya dalam konsep limit fungsi trigonomerti.
Misal $y=\dfrac{1}{x}$ maka $x=\dfrac{1}{y}$
sehingga untuk $x \to \infty$ maka $y \to 0$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{12 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{x} \right)}{\frac{1}{x} \tan \left( \frac{3}{x} \right)} &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{12 \ \sin^{2} \left( y \right)}{y \tan \left( 3y \right)} \\ &= 12 \ \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{\sin y}{y} \ \dfrac{\sin y}{\tan 3y} \right) \\ &= 12 \ \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\sin y}{y} \ \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\sin y}{\tan 3y} \\ &= 12 \times 1 \times \dfrac{1}{3} \\ &= 4 \end{align} $
Jadi, banyak peluruhan senyawa tersebut adalah $4$ gram ($B$).
Soal Cerita 5
Seorang ilmuwan sedang melakukan percobaan suatu senyawa. Senyawa ini merupakan hasil reaksi kimia dari beberapa senyawa. Setelah diteliti ternyata jumlah senyawa baru yang terbentuk mengikuti :
$f(t)=\dfrac{(20t+1)(100t+5)}{3+4t+5t^{2}}$
dengan $f(t)$ menyatakan jumlah senyawa dalam miligram dan $t$ waktu dalam detik. Jumlah senyawa yang terbentuk dalam jangka waktu yang sangat lama adalah ... miligram.
$ \begin{align} & A. \ 4.000 \\ & B. \ 2.000 \\ & C. \ 800 \\ & D. \ 400 \\ & E. \ 200 \\ \end{align} $
Seorang ilmuwan sedang melakukan percobaan suatu senyawa. Senyawa ini merupakan hasil reaksi kimia dari beberapa senyawa. Setelah diteliti ternyata jumlah senyawa baru yang terbentuk mengikuti :
$f(t)=\dfrac{(20t+1)(100t+5)}{3+4t+5t^{2}}$
dengan $f(t)$ menyatakan jumlah senyawa dalam miligram dan $t$ waktu dalam detik. Jumlah senyawa yang terbentuk dalam jangka waktu yang sangat lama adalah ... miligram.
$ \begin{align} & A. \ 4.000 \\ & B. \ 2.000 \\ & C. \ 800 \\ & D. \ 400 \\ & E. \ 200 \\ \end{align} $
Jumlah senyawa yang terbentuk adalah,
$ \begin{align} \lim\limits_{t \to \infty} f(t) &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{(20t+1)(100t+5)}{3+4t+5t^{2}} \\ \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{2000t^{2}+200t+5}{3+4t+5t^{2}} \\ \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{\dfrac{2000t^{2}}{t^{2}}+\dfrac{200t}{t^{2}}+\dfrac{5}{t^{2}}}{\dfrac{3}{t^{2}}+\dfrac{4t}{t^{2}}+\dfrac{5t^{2}}{t^{2}}} \\ \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{2000+\dfrac{200}{t}+\dfrac{5}{t^{2}}}{\dfrac{3}{t^{2}}+\dfrac{4}{t}+5} \\ \\ &= \dfrac{2000+0+0}{0+0+5} \\ &= \dfrac{2000}{5} \\ &= 400 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $D. \ 400$ miligram.
$ \begin{align} \lim\limits_{t \to \infty} f(t) &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{(20t+1)(100t+5)}{3+4t+5t^{2}} \\ \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{2000t^{2}+200t+5}{3+4t+5t^{2}} \\ \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{\dfrac{2000t^{2}}{t^{2}}+\dfrac{200t}{t^{2}}+\dfrac{5}{t^{2}}}{\dfrac{3}{t^{2}}+\dfrac{4t}{t^{2}}+\dfrac{5t^{2}}{t^{2}}} \\ \\ &= \lim\limits_{t \to \infty} \dfrac{2000+\dfrac{200}{t}+\dfrac{5}{t^{2}}}{\dfrac{3}{t^{2}}+\dfrac{4}{t}+5} \\ \\ &= \dfrac{2000+0+0}{0+0+5} \\ &= \dfrac{2000}{5} \\ &= 400 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $D. \ 400$ miligram.
Penutup
Nah sahabat kreatif, pada dasarnya jika kita paham dengan konsep dasar dari limit tak hingga ngerjain soal ceritanya pasti akan mudah.Seiring dengan rajin latihan dan memperbanyak bank soal, yakin deh kalian bakal makin jago dikemudian hari.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
"Hidup itu seperti bersepeda. Jika ingin menjaga keseimbanganmu, kamu harus terus bergerak maju." – Albert Einstein
