Contoh Soal Integral Substitusi dan Pembahasannya
Ini adalah pembahasan lengkap tentang integral substitusi beserta contoh soal dan pembahasannya.
Dalam kalkulus integral substitusi merupakan salah satu teknik pengintegralan yang digunakan ketika bertemu dengan persoalan integral yang melibatkan turunan fungsi di dalamnya.
Dengan kata lain jika integral dasar sudah ngga bisa dengan mudah mengintegralkan fungsinya maka kita bisa coba menyederhanakan bentuk fungsinya agar bisa diintegralkan dengan mudah menggunakan integral susbtitusi.
Teknik pengintrgralan ini umumnya dipakai saat pada dua kondisi, yaitu untuk menyederhanakan integral bentuk akar atau pangkat yang tinggi dan bentuk pecahan rasional yang kompleks sehingga rumus pada integral dasar sudah ngga bisa kita pakai untuk menyelesaikannya dengan langsung.
Ciri utama dari bentuk fungsi yang menggunakan integral substitusi adalah ketika terdapat bagian turunan dari satu bagian terhadap bagian lainnya.
Salah satu contohnya adalah :
Jika kita amati lebih dalam, pada contoh soal di atas fungsi soal terdiri dari dua bagian gugus fungsi yaitu $\left (2x+5 \right )$ dan $\left (x^{2}+5x-10 \right )^{5}$.
Dimana jika kita telusuri sebenarnya gugus fungsi $\left (2x+5 \right )$ merupakan turunan pertama dari bentuk fungsi $\left (x^{2}+5x-10 \right )$.
Dengan menggunakan konsep integral substitusi kita bisa selesaikan soal di atas dengan mudah.
Awalnya mungkin bakal sedikit susah karena belum paham benar, tapi seiring dengan banyakin latihan soal kalian pasti bakal makin paham deh.
Belajar matematika wajib perbanyak latihan soal ya.
Dengan kata lain jika integral dasar sudah ngga bisa dengan mudah mengintegralkan fungsinya maka kita bisa coba menyederhanakan bentuk fungsinya agar bisa diintegralkan dengan mudah menggunakan integral susbtitusi.
Teknik pengintrgralan ini umumnya dipakai saat pada dua kondisi, yaitu untuk menyederhanakan integral bentuk akar atau pangkat yang tinggi dan bentuk pecahan rasional yang kompleks sehingga rumus pada integral dasar sudah ngga bisa kita pakai untuk menyelesaikannya dengan langsung.
Ciri utama dari bentuk fungsi yang menggunakan integral substitusi adalah ketika terdapat bagian turunan dari satu bagian terhadap bagian lainnya.
Salah satu contohnya adalah :
$\int \left (2x+5 \right ) \left (x^{2}+5x-10 \right )^{5} \ dx = $ ...
Jika kita amati lebih dalam, pada contoh soal di atas fungsi soal terdiri dari dua bagian gugus fungsi yaitu $\left (2x+5 \right )$ dan $\left (x^{2}+5x-10 \right )^{5}$.
Dimana jika kita telusuri sebenarnya gugus fungsi $\left (2x+5 \right )$ merupakan turunan pertama dari bentuk fungsi $\left (x^{2}+5x-10 \right )$.
Dengan menggunakan konsep integral substitusi kita bisa selesaikan soal di atas dengan mudah.
Langkah (1) :
Misal $u=x^{2}+5x-10$ maka $du=(2x+5) \ dx$
Langkah (2) :
Substitusikan hasil dari langkah (1) dan ubah fungsi integralnya dalam variabel $u$, sehingga kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int \left (2x+5 \right ) \left (x^{2}+5x-10 \right )^{5} \ dx \\ &= \int \left (x^{2}+5x-10 \right )^{5} \ \left ( 2x+5 \right ) \ dx \\ &= \int u^{5} \ du \\ &= \dfrac{1}{6} u^{6} + C \end{align} $
Langkah (3) :
Langkah terakhir setelah mendapatkan hasil integralnya adalah mengembalikan kembali nilai varriabel $u$ yang telah kita misalkan pada langkah pertama, sehingga
$ \begin{align} &= \dfrac{1}{6} u^{6} + C \\ &= \dfrac{1}{6} \left (x^{2}+5x-10 \right )^{6} + C \\ \end{align} $
Jadi hasil dari integral parsial
$ \begin{align} &\int \left (2x+5 \right ) \left (x^{2}+5x-10 \right )^{5} \ dx \\ &= \dfrac{1}{6} \left (x^{2}+5x-10 \right )^{6} + C \\ \end{align} $
Misal $u=x^{2}+5x-10$ maka $du=(2x+5) \ dx$
Langkah (2) :
Substitusikan hasil dari langkah (1) dan ubah fungsi integralnya dalam variabel $u$, sehingga kita akan peroleh
$ \begin{align} & \int \left (2x+5 \right ) \left (x^{2}+5x-10 \right )^{5} \ dx \\ &= \int \left (x^{2}+5x-10 \right )^{5} \ \left ( 2x+5 \right ) \ dx \\ &= \int u^{5} \ du \\ &= \dfrac{1}{6} u^{6} + C \end{align} $
Langkah (3) :
Langkah terakhir setelah mendapatkan hasil integralnya adalah mengembalikan kembali nilai varriabel $u$ yang telah kita misalkan pada langkah pertama, sehingga
$ \begin{align} &= \dfrac{1}{6} u^{6} + C \\ &= \dfrac{1}{6} \left (x^{2}+5x-10 \right )^{6} + C \\ \end{align} $
Jadi hasil dari integral parsial
$ \begin{align} &\int \left (2x+5 \right ) \left (x^{2}+5x-10 \right )^{5} \ dx \\ &= \dfrac{1}{6} \left (x^{2}+5x-10 \right )^{6} + C \\ \end{align} $
Kumpulan Soal Integral Substitusi
Biar makin mantap lagi belajar integral substitusinya, yuk simak beberapa contoh soal di bawah ini berikut pembahasannya ya.
Contoh Soal 1
Hasil sederhana dari $\int \left (2x-1 \right ) \left( x^{2}-x+3 \right )^{3} \ dx = $ ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{1}{3} \left( x^{2}-x+3 \right)^{3} + C\\ & (B) \ \dfrac{1}{4} \left( x^{2}-x+3 \right)^{3} + C\\ & (C) \ \dfrac{1}{4} \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C\\ & (D) \ \dfrac{1}{2} \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C\\ & (E) \ \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C \end{align} $
Hasil sederhana dari $\int \left (2x-1 \right ) \left( x^{2}-x+3 \right )^{3} \ dx = $ ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{1}{3} \left( x^{2}-x+3 \right)^{3} + C\\ & (B) \ \dfrac{1}{4} \left( x^{2}-x+3 \right)^{3} + C\\ & (C) \ \dfrac{1}{4} \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C\\ & (D) \ \dfrac{1}{2} \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C\\ & (E) \ \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C \end{align} $
Misal :
$u =x^{2}-x+3$ maka $du=(2x-1) \ dx$
Sehingga,
$ \begin{align} & \int \left (2x-1 \right ) \left( x^{2}-x+3 \right )^{3} \ dx \\ &= \int \left( x^{2}-x+3 \right )^{3} \ \left (2x-1 \right ) \ dx \\ &= \int u^{3} \ du \\ &= \dfrac{1}{4} u^{4} + C \\ &= \dfrac{1}{4} \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $\dfrac{1}{4} \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C$
$u =x^{2}-x+3$ maka $du=(2x-1) \ dx$
Sehingga,
$ \begin{align} & \int \left (2x-1 \right ) \left( x^{2}-x+3 \right )^{3} \ dx \\ &= \int \left( x^{2}-x+3 \right )^{3} \ \left (2x-1 \right ) \ dx \\ &= \int u^{3} \ du \\ &= \dfrac{1}{4} u^{4} + C \\ &= \dfrac{1}{4} \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $\dfrac{1}{4} \left( x^{2}-x+3 \right)^{4} + C$
Contoh Soal 2
Hasil dari $\int \dfrac{3x}{\left( 1+9x^{2} \right)^{4}} \ dx $ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ -\dfrac{1}{4 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C\\ & (B) \ -\dfrac{1}{12 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C\\ & (C) \ -\dfrac{1}{18 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C\\ & (D) \ \dfrac{1}{6 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C\\ & (E) \ \dfrac{1}{18 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C \end{align} $
Hasil dari $\int \dfrac{3x}{\left( 1+9x^{2} \right)^{4}} \ dx $ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ -\dfrac{1}{4 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C\\ & (B) \ -\dfrac{1}{12 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C\\ & (C) \ -\dfrac{1}{18 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C\\ & (D) \ \dfrac{1}{6 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C\\ & (E) \ \dfrac{1}{18 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C \end{align} $
Misal :
$u =1+9x^{2}$ maka $du=18x \ dx$ dengan demikian $dx=\dfrac{du}{18x}$
Sehingga,
$ \begin{align} & \int \dfrac{3x}{\left( 1+9x^{2} \right)^{4}} \ dx \\ &= \int 3x \ u^{-4} \ \dfrac{du}{18x} \\ &= \int \dfrac{1}{6} \ u^{-4} \ du \\ &= \dfrac{\frac{1}{6}}{-3} \ u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{18} \ \dfrac{1}{u^{3}} + C \\ &= -\dfrac{1}{18 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $-\dfrac{1}{18 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C$
$u =1+9x^{2}$ maka $du=18x \ dx$ dengan demikian $dx=\dfrac{du}{18x}$
Sehingga,
$ \begin{align} & \int \dfrac{3x}{\left( 1+9x^{2} \right)^{4}} \ dx \\ &= \int 3x \ u^{-4} \ \dfrac{du}{18x} \\ &= \int \dfrac{1}{6} \ u^{-4} \ du \\ &= \dfrac{\frac{1}{6}}{-3} \ u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{18} \ \dfrac{1}{u^{3}} + C \\ &= -\dfrac{1}{18 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $-\dfrac{1}{18 \left( 1+9x^{2} \right)^{3}} + C$
Contoh Soal 3
Hasil dari $\int \left( 3x+2 \right)^{2024} \ dx $ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{1}{4} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C\\ & (B) \ \dfrac{1}{2025} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C\\ & (C) \ \dfrac{1}{8100} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C\\ & (D) \ \dfrac{1}{6075} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C\\ & (E) \ \dfrac{1}{4050} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C \end{align} $
Hasil dari $\int \left( 3x+2 \right)^{2024} \ dx $ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{1}{4} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C\\ & (B) \ \dfrac{1}{2025} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C\\ & (C) \ \dfrac{1}{8100} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C\\ & (D) \ \dfrac{1}{6075} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C\\ & (E) \ \dfrac{1}{4050} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C \end{align} $
Misal :
$u =3x+2 $ maka $du=3 \ dx$ dengan demikian $dx=\dfrac{du}{3}$
Sehingga,
$ \begin{align} & \int \left( 3x+2 \right)^{2024} \ dx \\ &= \int u^{2024} \ \dfrac{du}{3} \\ &= \int \dfrac{1}{3} u^{2024} \ du \\ &= \dfrac{1}{3} \ \dfrac{1}{2025} u^{2025} + C \\ &= \dfrac{1}{6075} u^{2025} + C \\ &= \dfrac{1}{6075} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D).$ $\dfrac{1}{6075} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C$
$u =3x+2 $ maka $du=3 \ dx$ dengan demikian $dx=\dfrac{du}{3}$
Sehingga,
$ \begin{align} & \int \left( 3x+2 \right)^{2024} \ dx \\ &= \int u^{2024} \ \dfrac{du}{3} \\ &= \int \dfrac{1}{3} u^{2024} \ du \\ &= \dfrac{1}{3} \ \dfrac{1}{2025} u^{2025} + C \\ &= \dfrac{1}{6075} u^{2025} + C \\ &= \dfrac{1}{6075} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D).$ $\dfrac{1}{6075} \left( 3x+2 \right)^{2025} + C$
Contoh Soal 4
Hasil dari $\int 2x \sin \left( x^{2}-\pi \right) \ dx $ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ -\cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \\ & (B) \ -\dfrac{1}{2} \cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \\ & (C) \ -\dfrac{1}{4} \cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \\ & (D) \ \cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \\ & (E) \ x \cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \end{align} $
Hasil dari $\int 2x \sin \left( x^{2}-\pi \right) \ dx $ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ -\cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \\ & (B) \ -\dfrac{1}{2} \cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \\ & (C) \ -\dfrac{1}{4} \cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \\ & (D) \ \cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \\ & (E) \ x \cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \end{align} $
Sekilas soal di atas memang terlihat seperti soal integral parsial.
Namun demikian, kita masih bisa kok mengerjakannya pakai integral substitusi, yaitu dengan memisalkan $u$ pada bagian sudut dari fungsi trigonometrinya.
Misal :
$u =x^{2}-\pi $ maka $du=2x \ dx$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \int 2x \sin \left( x^{2}-\pi \right) \ dx \\ &= \int \sin \left( x^{2}-\pi \right) \ 2x \ dx \\ &= \int \sin u \ du \\ &= -\cos u + C \\ &= -\cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \end{align} $
Ingat kembali bahwa integral dari fungsi trigonometri sin dan cos adalah:
$ \begin{align} &\int \sin (ax+b) \ dx \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos (ax+b) + C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A).$ $-\cos \left( x^{2}-\pi \right) + C$
Namun demikian, kita masih bisa kok mengerjakannya pakai integral substitusi, yaitu dengan memisalkan $u$ pada bagian sudut dari fungsi trigonometrinya.
Misal :
$u =x^{2}-\pi $ maka $du=2x \ dx$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \int 2x \sin \left( x^{2}-\pi \right) \ dx \\ &= \int \sin \left( x^{2}-\pi \right) \ 2x \ dx \\ &= \int \sin u \ du \\ &= -\cos u + C \\ &= -\cos \left( x^{2}-\pi \right) + C \end{align} $
Ingat kembali bahwa integral dari fungsi trigonometri sin dan cos adalah:
$ \begin{align} &\int \sin (ax+b) \ dx \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos (ax+b) + C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A).$ $-\cos \left( x^{2}-\pi \right) + C$
Contoh Soal 5 | Soal SBMPTN 2017
Hasil dari $\int 9x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx= $ ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{1}{3} \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \\ & (B) \ \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \\ & (C) \ 2 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \\ & (D) \ 3 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \\ & (E) \ 9 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \end{align} $
Hasil dari $\int 9x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx= $ ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{1}{3} \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \\ & (B) \ \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \\ & (C) \ 2 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \\ & (D) \ 3 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \\ & (E) \ 9 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C \end{align} $
Misal :
$ \begin{align} u & = x^{3}-1 \\ \dfrac{du}{dx} & = 3x^{2} \\ du & = 3x^{2}\ dx \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} &\int 9x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\ & = \int 3 \cdot 3x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\ & = \int 3 \cdot \sqrt{x^{3}-1}\ 3x^{2}\ dx \\ & = \int 3 \cdot \sqrt{u}\ du \\ & = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( u \right) \sqrt{u}\ +C \\ & = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C \\ & = 2 \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $2 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C$
$ \begin{align} u & = x^{3}-1 \\ \dfrac{du}{dx} & = 3x^{2} \\ du & = 3x^{2}\ dx \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} &\int 9x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\ & = \int 3 \cdot 3x^{2} \sqrt{x^{3}-1}\ dx \\ & = \int 3 \cdot \sqrt{x^{3}-1}\ 3x^{2}\ dx \\ & = \int 3 \cdot \sqrt{u}\ du \\ & = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( u \right) \sqrt{u}\ +C \\ & = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C \\ & = 2 \cdot \left( x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}\ +C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $2 \left(x^{3}-1 \right) \sqrt{x^{3}-1}+C$
Contoh Soal 6 | Soal SBMPTN 2018
Jika $\int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx=\sqrt{2}$, maka nilai $\int \limits_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} f \left( \sqrt{x} \right)\ dx$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\ & (B) \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & (C) \ \sqrt{2} \\ & (D) \ 2 \sqrt{2} \\ & (E) \ 4 \sqrt{2} \end{align} $
Jika $\int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx=\sqrt{2}$, maka nilai $\int \limits_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} f \left( \sqrt{x} \right)\ dx$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{\sqrt{2}}{4} \\ & (B) \ \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & (C) \ \sqrt{2} \\ & (D) \ 2 \sqrt{2} \\ & (E) \ 4 \sqrt{2} \end{align} $
Diketahui dalam soal yaitu :
$\int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx=\sqrt{2}$
Misal :
$ \begin{align} u & = \sqrt{x} \\ \dfrac{du}{dx} & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \\ du \cdot 2 \sqrt{x} & = dx \\ du \cdot 2 & = \dfrac{dx}{ \sqrt{x} } \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} \int \limits_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} f \left( \sqrt{x} \right)\ dx &= \int \limits_{1}^{4} f \left( \sqrt{x} \right)\ \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\ \hline x=4 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{4}=2 \\ x=1 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{1}=1 \\ \hline &= \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ 2\ du \\ &= 2 \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ du \\ &= 2 \cdot \left( \sqrt{2} \right) \\ &= 2\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D).$ $2 \sqrt{2}$
$\int \limits_{1}^{2} f(x)\ dx=\sqrt{2}$
Misal :
$ \begin{align} u & = \sqrt{x} \\ \dfrac{du}{dx} & = \dfrac{1}{2 \sqrt{x}} \\ du \cdot 2 \sqrt{x} & = dx \\ du \cdot 2 & = \dfrac{dx}{ \sqrt{x} } \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} \int \limits_{1}^{4} \dfrac{1}{\sqrt{x}} f \left( \sqrt{x} \right)\ dx &= \int \limits_{1}^{4} f \left( \sqrt{x} \right)\ \dfrac{dx}{\sqrt{x}} \\ \hline x=4 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{4}=2 \\ x=1 \rightarrow u &= \sqrt{x}=\sqrt{1}=1 \\ \hline &= \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ 2\ du \\ &= 2 \int \limits_{1}^{2} f \left( u \right)\ du \\ &= 2 \cdot \left( \sqrt{2} \right) \\ &= 2\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D).$ $2 \sqrt{2}$
Contoh Soal 7
Hasil dari $\int \dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}} \ dx$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{1}{3} (x^{2}+4x-3)\sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ & (B) \ \dfrac{2}{3} (x^{2}+4x-3)\sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ & (C) \ \sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ & (D) \ 2 \sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ & (E) \ 3 \sqrt{x^{2}+4x-3} +C \end{align} $
Hasil dari $\int \dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}} \ dx$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{1}{3} (x^{2}+4x-3)\sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ & (B) \ \dfrac{2}{3} (x^{2}+4x-3)\sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ & (C) \ \sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ & (D) \ 2 \sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ & (E) \ 3 \sqrt{x^{2}+4x-3} +C \end{align} $
Misal :
$ \begin{align} u & = x^{2}+4x-3 \\ \dfrac{du}{dx} &= 2x+4 \\ \dfrac{du}{dx} &= 2(x+2) \\ dx &= \dfrac{du}{2(x+2)} \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} &\int \dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}} \ dx \\ &= \int (x+2) \ u^{-\frac{1}{2}} \ \dfrac{du}{2(x+2)} \\ &= \int \ u^{-\frac{1}{2}} \ \dfrac{du}{2} \\ &= \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \ u^{\frac{1}{2}} + C \\ &= \sqrt{u} +C \\ &= \sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $\sqrt{x^{2}+4x-3} +C$
$ \begin{align} u & = x^{2}+4x-3 \\ \dfrac{du}{dx} &= 2x+4 \\ \dfrac{du}{dx} &= 2(x+2) \\ dx &= \dfrac{du}{2(x+2)} \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} &\int \dfrac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-3}} \ dx \\ &= \int (x+2) \ u^{-\frac{1}{2}} \ \dfrac{du}{2(x+2)} \\ &= \int \ u^{-\frac{1}{2}} \ \dfrac{du}{2} \\ &= \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} \ u^{\frac{1}{2}} + C \\ &= \sqrt{u} +C \\ &= \sqrt{x^{2}+4x-3} +C \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $\sqrt{x^{2}+4x-3} +C$
Contoh Soal 8
Hasil dari $\int \dfrac{3}{(3x-1)^{4}} \ dx$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{3}{3(3x-1)^{3}} +C \\ & (B) \ -\dfrac{1}{3(3x-1)^{3}} +C \\ & (C) \ -\dfrac{3}{(3x-1)^{3}} +C \\ & (D) \ 3(3x-1)^{3} +C \\ & (E) \ (3x-1)^{3} +C \end{align} $
Hasil dari $\int \dfrac{3}{(3x-1)^{4}} \ dx$ adalah ...
$ \begin{align} & (A) \ \dfrac{3}{3(3x-1)^{3}} +C \\ & (B) \ -\dfrac{1}{3(3x-1)^{3}} +C \\ & (C) \ -\dfrac{3}{(3x-1)^{3}} +C \\ & (D) \ 3(3x-1)^{3} +C \\ & (E) \ (3x-1)^{3} +C \end{align} $
Misal :
$u=3x-1$ maka $du=3 \ dx$.
Sehingga,
$ \begin{align} &\int \dfrac{3}{(3x-1)^{4}} \ dx \\ &= \int \dfrac{3 \ dx}{(3x-1)^{4}} \\ &= \int \dfrac{du}{u^{4}} \\ &= \int u^{-4} \ du \\ &= \dfrac{1}{-3} u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{3 u^{3}} + C \\ &= -\dfrac{1}{3(3x-1)^{3}} +C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B).$ $-\dfrac{1}{3(3x-1)^{3}} +C$
$u=3x-1$ maka $du=3 \ dx$.
Sehingga,
$ \begin{align} &\int \dfrac{3}{(3x-1)^{4}} \ dx \\ &= \int \dfrac{3 \ dx}{(3x-1)^{4}} \\ &= \int \dfrac{du}{u^{4}} \\ &= \int u^{-4} \ du \\ &= \dfrac{1}{-3} u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{3 u^{3}} + C \\ &= -\dfrac{1}{3(3x-1)^{3}} +C \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B).$ $-\dfrac{1}{3(3x-1)^{3}} +C$
Contoh Soal 9 | Soal SIMAK UI 2010
Jika $\int \limits_{1}^{4} f \left(x \right)\ dx=6$, maka $\int \limits_{1}^{4} f \left(5-x \right)\ dx=$ ...
$ \begin{align} & (A) \ 6 \\ & (B) \ 3 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ -1 \\ & (E) \ -6 \end{align} $
Jika $\int \limits_{1}^{4} f \left(x \right)\ dx=6$, maka $\int \limits_{1}^{4} f \left(5-x \right)\ dx=$ ...
$ \begin{align} & (A) \ 6 \\ & (B) \ 3 \\ & (C) \ 0 \\ & (D) \ -1 \\ & (E) \ -6 \end{align} $
Misal :
$u=5-x$ maka $du=-dx$.
Untuk $x=4 \rightarrow u=1$ dan $x=1 \rightarrow u=4$.
Sehingga,
$ \begin{align} \int \limits_{1}^{4} f \left(5-x \right)\ dx &= \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ \left( - du \right) \\ &= - \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ du \\ &= \int \limits_{1}^{4} f \left(u \right)\ du \\ \hline \int \limits_{a}^{b} f \left( x \right)\ dx &= \int \limits_{a}^{b} f \left( t \right)\ dt \\ \hline \int \limits_{a}^{b} f \left( u \right)\ du &= \int \limits_{1}^{4} f \left(x \right)\ dx = 6 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A).$ $6$
$u=5-x$ maka $du=-dx$.
Untuk $x=4 \rightarrow u=1$ dan $x=1 \rightarrow u=4$.
Sehingga,
$ \begin{align} \int \limits_{1}^{4} f \left(5-x \right)\ dx &= \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ \left( - du \right) \\ &= - \int \limits_{4}^{1} f \left(u \right)\ du \\ &= \int \limits_{1}^{4} f \left(u \right)\ du \\ \hline \int \limits_{a}^{b} f \left( x \right)\ dx &= \int \limits_{a}^{b} f \left( t \right)\ dt \\ \hline \int \limits_{a}^{b} f \left( u \right)\ du &= \int \limits_{1}^{4} f \left(x \right)\ dx = 6 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A).$ $6$
Contoh Soal 10 | Soal SIMAK UI 2019
Jika $\int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx=10$, maka $f(a)=2+f(b)$, nilai $f(b)=$ ...
$ \begin{align} & (A) \ -2 \\ & (B) \ -4 \\ & (C) \ -6 \\ & (D) \ -8 \\ & (E) \ -10 \end{align} $
Jika $\int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx=10$, maka $f(a)=2+f(b)$, nilai $f(b)=$ ...
$ \begin{align} & (A) \ -2 \\ & (B) \ -4 \\ & (C) \ -6 \\ & (D) \ -8 \\ & (E) \ -10 \end{align} $
Misal :
$ \begin{align} u & = f(x) \\ \dfrac{du}{dx} & = f'(x) \\ du & = f'(x)\ dx \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} \int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx &=10 \\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ f'(x) dx &=10 \\ \int \limits_{a}^{b} u\ du &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot u^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(x) \right)^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(b) \right)^{2} \right]- \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(a) \right)^{2} \right] &=10 \\ \left( f(b) \right)^{2} - \left( f(a) \right)^{2} &=20 \\ \left( f(b) - f(a) \right) \left( f(b) + f(a) \right) &=20 \\ \left( f(b) - 2 - f(b) \right) \left( f(b) + 2+f(b) \right) &=20 \\ \left( - 2 \right) \left( 2f(b) + 2 \right) &=20 \\ 2f(b) + 2 &=-10 \\ 2f(b) &=-12 \\ f(b) &=-6 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $-6$
$ \begin{align} u & = f(x) \\ \dfrac{du}{dx} & = f'(x) \\ du & = f'(x)\ dx \end{align} $
Sehingga,
$ \begin{align} \int \limits_{a}^{b} f'(x)\ f(x) dx &=10 \\ \int \limits_{a}^{b} f(x)\ f'(x) dx &=10 \\ \int \limits_{a}^{b} u\ du &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot u^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(x) \right)^{2} \right]_{a}^{b} &=10 \\ \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(b) \right)^{2} \right]- \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \left( f(a) \right)^{2} \right] &=10 \\ \left( f(b) \right)^{2} - \left( f(a) \right)^{2} &=20 \\ \left( f(b) - f(a) \right) \left( f(b) + f(a) \right) &=20 \\ \left( f(b) - 2 - f(b) \right) \left( f(b) + 2+f(b) \right) &=20 \\ \left( - 2 \right) \left( 2f(b) + 2 \right) &=20 \\ 2f(b) + 2 &=-10 \\ 2f(b) &=-12 \\ f(b) &=-6 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C).$ $-6$
Penutup
Nah sahabat kreatif, sudah paham belum materi integral substitusinya?!?Awalnya mungkin bakal sedikit susah karena belum paham benar, tapi seiring dengan banyakin latihan soal kalian pasti bakal makin paham deh.
Belajar matematika wajib perbanyak latihan soal ya.
Jangan lupa untuk share ke sahabat atau teman - teman jika pembahasan ini bermanfaat.
Selamat Belajar !
"Apa yang kamu lakukan hari ini dapat memperbaiki masa depanmu." – Anonim
