Trik Jitu Menyelesaikan Soal Barisan Dan Deret Artimatika Dengan Turunan
Hai sahabat kreatif !
Kali ini kita akan bahas salah satu materi yang sangat menarik.
Tahukah kamu ada salah satu materi warisan dari SMP yang terus dipelajari di SMA???
Jika kamu berpikir materi itu adalah Barisan dan Deret, maka jawabanmu tepat banget.
Materi barisan dan deret selalu muncul dalam berbagai pembahasan khususnya matematika SMA.
Namun kalau ditanya apakah kamu tahu bahwa konsep turunan juga bisa menyelesaikan persoalan barisan dan deret aritmatika?!?
Sepertinya tidak semua bakal tahu.
Nah kali ini kita akan kupas tuntas, apa hubungan antara konsep barisan dan deret aritmatika dengan turunan.
Barisan dan deret aritmatika adalah sebuah pola barisan dan deret bilangan yang mempunyai ciri selisih setiap dua suku berurutan selalu tetap.
Besar selisih ini yang kita sebut dengan istilah beda.
Dalam menyelesaikan persoalan ini kamu umumnya akan dituntut untuk mencari nilai dari suku pertama ($a$) dan nilai beda ($b$) tadi.
Pola bilangan pada barisan dan deret aritmatika mempunyai rumus suku ke-$n$: \[ U_{n} = a + (n-1)b \] Sedangkan rumus untuk mencari jumlah $n$ suku pertamanya adalah: \[ S_{n} = \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1)b \right) \]
Kita bisa tulis bahwa, \[ b=U'_{n} \] atau \[ b=S''_{n} \] Artinya apa ?
Jika kita punya rumus suku ke-$n$ barisan dan deret aritmatika
atau
Penyelesaian :
Kamu pasti sudah bisa menebaknya dengan tepat jawaban soal di atas.
Karena $U_{n} = 5n + 11 $ maka dengan memakai RUMUS CEPAT di atas kita dapatkan $b=5$.
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(C.) \ 5$.
Penyelesaian :
Kamu bisa ikuti beberapa langkah berikut untuk menyelesaikan soal di atas.
Langkah Pertama: Dapatkan nilai beda dengan menggunakan RUMUS CEPAT. \[ S_{n} = 3n^{2} - 8n \to b=2 \times 3=6 \] Langkah kedua: Dapatkan nilai suku pertamanya($a$). \[ a=S_{1} = 3(1^{2}) - 8(1) =-5 \] Langkah Ketiga: Dapatkan nilai suku kelima sesuai dengan yang ditanyakan pada soal.
$ \begin{align} U_{n} &= a + (n-1)b \\ U_{5} &= -5 + (5-1)6 \\ &= 19 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(E.) \ 19$.
2. Sering - Sering Latihan: Belajar matematika memang tidak seperti baca novel, kamu butuh minimal ada kertas dan pensil buat coretan menghitung. Kamu butuh pengalaman demi pengalaman yang akan mengasah kemampuanmu dalah berhitung.
3. Perbanyak Bank Soal: Dengan memperbanyak jenis - jenis soal latihan akan semakin mempekaya ketrampilanmu dalam mendapatkan solusi dengan cepat dan tepat.
Kuncinya adalah memahami konsep dasar, memilih rumus yang tepat, dan menghitung dengan teliti.
Dengan trik-trik di atas, kamu bisa menghadapi soal-soal ini dengan percaya diri.
Yuk, latihan terus biar makin jago!
Selamat belajar dan semoga sukses, ya! 🚀
Kali ini kita akan bahas salah satu materi yang sangat menarik.
Tahukah kamu ada salah satu materi warisan dari SMP yang terus dipelajari di SMA???
Jika kamu berpikir materi itu adalah Barisan dan Deret, maka jawabanmu tepat banget.
Materi barisan dan deret selalu muncul dalam berbagai pembahasan khususnya matematika SMA.
Namun kalau ditanya apakah kamu tahu bahwa konsep turunan juga bisa menyelesaikan persoalan barisan dan deret aritmatika?!?
Sepertinya tidak semua bakal tahu.
Nah kali ini kita akan kupas tuntas, apa hubungan antara konsep barisan dan deret aritmatika dengan turunan.
Apa itu Barisan dan Deret Aritmatika?
Sebelum kita bahas lebih lanjut, ada baiknya kita review sebentar apa itu barisan dan deret aritmatika?Barisan dan deret aritmatika adalah sebuah pola barisan dan deret bilangan yang mempunyai ciri selisih setiap dua suku berurutan selalu tetap.
Besar selisih ini yang kita sebut dengan istilah beda.
Dalam menyelesaikan persoalan ini kamu umumnya akan dituntut untuk mencari nilai dari suku pertama ($a$) dan nilai beda ($b$) tadi.
Pola bilangan pada barisan dan deret aritmatika mempunyai rumus suku ke-$n$: \[ U_{n} = a + (n-1)b \] Sedangkan rumus untuk mencari jumlah $n$ suku pertamanya adalah: \[ S_{n} = \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1)b \right) \]
Hubungan Barisan dan Deret Aritmatika dan Turunan
Tahukah kamu ternyata besar nilai beda ($b$) pada barisan dan deret aritmatika bisa kita cari dengan sangat CEPAT dengan konsep turunan.
CARA CEPAT mencari nilai beda ternyata adalah turunan pertama dari $U_{n}$ dan turunan kedua dari fungsi $S_{n}$.
Kita bisa tulis bahwa, \[ b=U'_{n} \] atau \[ b=S''_{n} \] Artinya apa ?
Jika kita punya rumus suku ke-$n$ barisan dan deret aritmatika
\[
U_{n} = pn + q \to b=p
\]
atau
\[
S_{n} = pn^{2}+qn \to b=2p
\]
Rumus Cara Cepat Menyelesaikan Barisan dan Deret Aritmatika dengan Turunan
Contoh Soal 1
Diketahui sebuah barisan dan deret aritmatika mempunyai rumus suku ke-$n$: \[ U_{n} = 5n + 11 \] Nilai beda pada pola barisan dan deret tersebut adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 5 \\ &(B). \ 9 \\ &(C). \ 11 \\ &(D). \ 18 \\ &(E). \ 19 \end{align} $
Diketahui sebuah barisan dan deret aritmatika mempunyai rumus suku ke-$n$: \[ U_{n} = 5n + 11 \] Nilai beda pada pola barisan dan deret tersebut adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 5 \\ &(B). \ 9 \\ &(C). \ 11 \\ &(D). \ 18 \\ &(E). \ 19 \end{align} $
Penyelesaian :
Kamu pasti sudah bisa menebaknya dengan tepat jawaban soal di atas.
Karena $U_{n} = 5n + 11 $ maka dengan memakai RUMUS CEPAT di atas kita dapatkan $b=5$.
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(C.) \ 5$.
Contoh Soal 2
Diketahui sebuah barisan dan deret aritmatika mempunyai jumlah suku $20$ suku pertamanya: \[ S_{n} = 3n^{2} - 8n \] Besar suku ke-$5$ pola barisan dan deret tersebut adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 2 \\ &(B). \ 4 \\ &(C). \ 5 \\ &(D). \ 10 \\ &(E). \ 11 \end{align} $
Diketahui sebuah barisan dan deret aritmatika mempunyai jumlah suku $20$ suku pertamanya: \[ S_{n} = 3n^{2} - 8n \] Besar suku ke-$5$ pola barisan dan deret tersebut adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 2 \\ &(B). \ 4 \\ &(C). \ 5 \\ &(D). \ 10 \\ &(E). \ 11 \end{align} $
Penyelesaian :
Kamu bisa ikuti beberapa langkah berikut untuk menyelesaikan soal di atas.
Langkah Pertama: Dapatkan nilai beda dengan menggunakan RUMUS CEPAT. \[ S_{n} = 3n^{2} - 8n \to b=2 \times 3=6 \] Langkah kedua: Dapatkan nilai suku pertamanya($a$). \[ a=S_{1} = 3(1^{2}) - 8(1) =-5 \] Langkah Ketiga: Dapatkan nilai suku kelima sesuai dengan yang ditanyakan pada soal.
$ \begin{align} U_{n} &= a + (n-1)b \\ U_{5} &= -5 + (5-1)6 \\ &= 19 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(E.) \ 19$.
Tips Jitu Menyelesaikan Soal Barisan dan Deret
1. Gunakan RUMUS CEPAT: Memang butuh membiasakan, namun seiring dengan menggunakan rumus cepat kamu akan terlatih dengan mudah mendapatkan solusi persoalan barisan dan deret aritmatika.2. Sering - Sering Latihan: Belajar matematika memang tidak seperti baca novel, kamu butuh minimal ada kertas dan pensil buat coretan menghitung. Kamu butuh pengalaman demi pengalaman yang akan mengasah kemampuanmu dalah berhitung.
3. Perbanyak Bank Soal: Dengan memperbanyak jenis - jenis soal latihan akan semakin mempekaya ketrampilanmu dalam mendapatkan solusi dengan cepat dan tepat.
Contoh Soal dan Pembahasan
Coba deh pahami beberapa contoh soal dan pembahasan berikut ini.
Soal No.1
Suku ke-$n$ suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan rumus $U_{n} = 8n - 2$. Jumlah $10$ suku pertama dari deret tersebut adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ 156 \\ &(B). \ 272 \\ &(C). \ 420 \\ &(D). \ 600 \\ &(E). \ 812 \end{align} $
Suku ke-$n$ suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan rumus $U_{n} = 8n - 2$. Jumlah $10$ suku pertama dari deret tersebut adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ 156 \\ &(B). \ 272 \\ &(C). \ 420 \\ &(D). \ 600 \\ &(E). \ 812 \end{align} $
$U_{n} = 8n - 2$ maka $b=8$ (RUMUS CEPAT!)
$a=U_{1} = 8(1) - 2=6$
Sehingga,
$ \begin{align} S_{n} &= \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1)b \right) \\ S_{10} &= \dfrac{10}{2} \left( 2(6) + (10-1)8 \right) \\ &= 5 \left( 12 + 72 \right) \\ &= 420 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(C). \ 420$.
$a=U_{1} = 8(1) - 2=6$
Sehingga,
$ \begin{align} S_{n} &= \dfrac{n}{2} \left( 2a + (n-1)b \right) \\ S_{10} &= \dfrac{10}{2} \left( 2(6) + (10-1)8 \right) \\ &= 5 \left( 12 + 72 \right) \\ &= 420 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(C). \ 420$.
Soal No.2
Jumlah $n$ buah suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh \[ S_{n} = \dfrac{n}{2}(5n-19)\] Beda deret tersebut adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ -5 \\ &(B). \ -3 \\ &(C). \ -2 \\ &(D). \ 3 \\ &(E). \ 5 \end{align} $
Jumlah $n$ buah suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh \[ S_{n} = \dfrac{n}{2}(5n-19)\] Beda deret tersebut adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ -5 \\ &(B). \ -3 \\ &(C). \ -2 \\ &(D). \ 3 \\ &(E). \ 5 \end{align} $
Kita pakai langsung RUMUS CEPAT nya.
\[ S_{n} = \dfrac{n}{2}(5n-19) = \dfrac{5}{2}n^{2} - \dfrac{19}{2}n \]
Sehingga,
\[ b= 2 \times \dfrac{5}{2} =5 \]
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(E). \ 5 $.
Soal No.3
Jika suatu barisan bilangan memiliki rumus suku ke-$n$ : $U_{n}=5n-3$, maka nilai $U_{7}-U_{5}$ adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ 18 \\ &(B). \ 15 \\ &(C). \ 12 \\ &(D). \ 11 \\ &(E). \ 10 \end{align} $
Jika suatu barisan bilangan memiliki rumus suku ke-$n$ : $U_{n}=5n-3$, maka nilai $U_{7}-U_{5}$ adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ 18 \\ &(B). \ 15 \\ &(C). \ 12 \\ &(D). \ 11 \\ &(E). \ 10 \end{align} $
Gass... kita pakai RUMUS CEPAT!
$U_{n}=5n-3 $ maka $b=5$.
$ \begin{align} U_{7}-U_{5} &= a+6b -(a+4b) \\ &= 2b \\ &= 2(5) \\ &= 10 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(E). \ 10 $.
$U_{n}=5n-3 $ maka $b=5$.
$ \begin{align} U_{7}-U_{5} &= a+6b -(a+4b) \\ &= 2b \\ &= 2(5) \\ &= 10 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(E). \ 10 $.
Soal No.4
Jika rumus jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmatika $S_{n}=3n^{2}-n$, suku ke-$25$ adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ 117 \\ &(B). \ 122 \\ &(C). \ 140 \\ &(D). \ 146 \\ &(E). \ 151 \end{align} $
Jika rumus jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmatika $S_{n}=3n^{2}-n$, suku ke-$25$ adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ 117 \\ &(B). \ 122 \\ &(C). \ 140 \\ &(D). \ 146 \\ &(E). \ 151 \end{align} $
$S_{n}=3n^{2}-n$ maka $b= 2 \times 3 =6$
$a=S_{1}=3(1)^{2}-1=2$
$ \begin{align} U_{25} &= a+24b \\ &= 2+24(6) \\ &= 146 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(D). \ 146$.
$a=S_{1}=3(1)^{2}-1=2$
$ \begin{align} U_{25} &= a+24b \\ &= 2+24(6) \\ &= 146 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(D). \ 146$.
Soal No.5
Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan oleh formula $S_{n}=2n^{2}+5n$, rumus suku ke-$n$ deret itu adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ U_{n} = 4n - 3 \\ &(B). \ U_{n} = 4n \\ &(C). \ U_{n} = 4n + 3 \\ &(D). \ U_{n} = 4n + 5 \\ &(E). \ U_{n} = 4n - 5 \end{align} $
Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan oleh formula $S_{n}=2n^{2}+5n$, rumus suku ke-$n$ deret itu adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ U_{n} = 4n - 3 \\ &(B). \ U_{n} = 4n \\ &(C). \ U_{n} = 4n + 3 \\ &(D). \ U_{n} = 4n + 5 \\ &(E). \ U_{n} = 4n - 5 \end{align} $
$S_{n}=2n^{2}+5n$ maka $b= 2 \times 2 = 4$
$a=S_{1}=2(1)^{2}+5(1)=7$
$ \begin{align} U_{n} &= a+(n-1)b \\ &= 7+(n-1)4 \\ &= 7+4n-4 \\ &= 4n+3 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(C). \ U_{n} = 4n + 3$.
$a=S_{1}=2(1)^{2}+5(1)=7$
$ \begin{align} U_{n} &= a+(n-1)b \\ &= 7+(n-1)4 \\ &= 7+4n-4 \\ &= 4n+3 \end{align} $
Jadi, jawaban yang tepat adalah $(C). \ U_{n} = 4n + 3$.
Penutup
Soal barisan dan deret aritmatika sebenarnya nggak serumit yang dibayangkan, kok!Kuncinya adalah memahami konsep dasar, memilih rumus yang tepat, dan menghitung dengan teliti.
Dengan trik-trik di atas, kamu bisa menghadapi soal-soal ini dengan percaya diri.
Yuk, latihan terus biar makin jago!
Selamat belajar dan semoga sukses, ya! 🚀
"Jangan pernah berhenti belajar karena hidup tidak pernah berhenti mengajarkan hal-hal baru." – Anonim
