Catatan Rangkuman Lengkap Transformasi Geometri Kelas 12 SMA
Siapa nih yang lagi belajar transformasi geometri tapi masih bingung sama konsepnya?
Tenang aja, kali ini kita bakal bahas rangkuman lengkap tentang transformasi geometri dengan cara yang santai dan gampang dipahami.
Biar kamu makin mantap ketika mau ujian, biar kamu punya bekal yang kece dan nggak bingung lagi ketika mau ulangan.
Yuk, kita mulai!
Apa Itu Transformasi Geometri?
Transformasi geometri adalah perubahan posisi(letak) dan ukuran suatu benda atau objek geometri pada bidang kartesius seperti garis, titik, kurva maupun objek - objek geometri lainnya.Ada empat jenis utama transformasi yang sering kita pelajari:
- Translasi (Pergeseran)
- Refleksi (Pencerminan)
- Rotasi (Perputaran)
- Dilatasi (Pembesaran)
Jangan khawatir, kita akan bahas satu per satu!
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi adalah memindahkan sebuah objek geometri ke lokasi baru dengan cara digeser baik secara pergesaran horizontal dan atau vertikal tanpa mengubah bentuk atau ukurannya.Bayangkan kamu menggeser buku di atas meja dari satu sisi ke sisi lain.
Rumus Translasi:
Jika titik $A(x, y)$ ditranslasi sejauh $T(a, b)$ dan menghasilkan bayangan $A'(x',y')$, maka:
Translasi oleh $T(a,b)$
\[
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\]
atau bisa kita tulis juga : \[ x' = x + a \quad \text{dan} \quad y' = y + b \]
2. Refleksi (Pencerminan)
Refleksi adalah proses transformasi membuat bayangan dari suatu objek geometri seperti bercermin pada garis tertentu sebagai cerminnya, misalnya sumbu-$X$, sumbu-$Y$, atau garis $y = x$.Jenis - Jenis dan Rumus Refleksi:
Terdapat empat jenis refleksi yang utama(dasar) yang wajib kamu kuasai, dimana masing - masing jenis punya matriks transformasi sendiri - sendiri.Jadi jangan sampai salah pilih ya, gunakan sesuai dengan jenisnya :
- Refleksi terhadap sumbu-$X$:
\[ M_{x} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] - Refleksi terhadap sumbu-$Y$:
\[ M_{y} =\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] - Refleksi terhadap garis $y=x$:
\[ M_{y=x} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] - Refleksi terhadap garis $y=-x$:
\[ M_{y=-x} =\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \]
3. Rotasi (Pusaran)
Rotasi adalah proses transformasi geometri dengan cara memutar sebuah objeknya terhadap titik tertentu sebagai pusatnya, biasanya titik asal $(0, 0)$ atau sebuah titik tertentu $(a,b)$ dengan sudut yang spesifik.Misal aja dengan memakai beberapa sudut ini : $90^{\circ}$, $180^{\circ}$, $270^{\circ}$, atau $360^{\circ}$.
Penting ! di sini yang harus kamu cermati adalah ketika dia diputar searah jarum jam maka sudutnya negatif sebaliknya jika arah perputarannya berlawanan jarum jam maka sudut yang terbentuk bernilai positif.
Rumus Rotasi
Pahami dua rumus di bawah ini ya jika kamu mengerjakan soal - soal rotasi.Ingat sesuaikan nilai sudut $\alpha$ nya dan hati - hati dengan positif atau negatifnya.
- Rotasi dengan pusat $P(0,0)$ dan sudut putar sebesar $\alpha$:
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \] - Rotasi dengan pusat $P(a,b)$ dan sudut putar sebesar $\alpha$:
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \]
4. Dilatasi (Pembesaran)
Dilatasi adalah proses transformasi dimana objek geometrinya tidak hanya berubah posisi tetapi juga ukurannya hanya saja tanpa mengubah bentuknya.Proses dilatasi ini menggunakan titik pusat tertentu dan faktor skala pembesaran(k).
Rumus Dilatasi:
Gunakan dua rumus berikut ketika kamu bertemu dengan soal dilatasi.- Dilatasi dengan pusat $P(0,0)$ dan faktor skala pembesaran $k$ :
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \] - Dilatasi dengan pusat $P(a,b)$ dan faktor skala pembesaran $k$ :
\[ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-a \\ y-b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \]
Contoh Soal: Biar Makin Paham
Coba cek kumpulan contoh soal dan pembahasan transformasi berikut biar kamu makin paham dengan apa yang sedang kita bahas.
Soal No.1
Koordinat bayangan titik $A(5,-2)$ oleh translasi $ \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). A'(2,-1) \\ & (B). A'(2,0) \\ & (C). A'(7,-3) \\ & (D). A'(10,-5) \\ & (E). A'(10,-3) \end{align} $
Koordinat bayangan titik $A(5,-2)$ oleh translasi $ \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). A'(2,-1) \\ & (B). A'(2,0) \\ & (C). A'(7,-3) \\ & (D). A'(10,-5) \\ & (E). A'(10,-3) \end{align} $
$
\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\ \\
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
5 \\
-3
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
5 \\
-2
\end{pmatrix} \\ \\
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
10 \\
-5
\end{pmatrix}
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). A'(10,-5)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). A'(10,-5)$.
Soal No.2
Jika garis $3x-2y=6$ ditranslasikan oleh $T(2,3)$ maka bayangan garis tersebut adalah ...
$ \begin{align} & (A). 3x-2y=6 \\ & (B). 3x-2y=3 \\ & (C). 3x+2y=4 \\ & (D). 3x-2y=-4 \\ & (E). 3x-2y=-11 \end{align} $
Jika garis $3x-2y=6$ ditranslasikan oleh $T(2,3)$ maka bayangan garis tersebut adalah ...
$ \begin{align} & (A). 3x-2y=6 \\ & (B). 3x-2y=3 \\ & (C). 3x+2y=4 \\ & (D). 3x-2y=-4 \\ & (E). 3x-2y=-11 \end{align} $
$
\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\ \\
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
2 \\
3
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\end{align}
$
Sehingga,
$ \begin{align} x' &= 2+x \to x= x'-2 \\ y' &= 3+y \to y= y'-3 \end{align} $
Subsitusikan ke persamaan asal untuk mendapatkan hasil bayangannya :
$ \begin{align} 3x-2y &= 6 \\ 3(x'-2) -2(y'-3) &= 6 \\ 3x'-6-2y'+6 &= 6 \\ 3x'-2y' &= 6 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). 3x-2y=6 $.
Sehingga,
$ \begin{align} x' &= 2+x \to x= x'-2 \\ y' &= 3+y \to y= y'-3 \end{align} $
Subsitusikan ke persamaan asal untuk mendapatkan hasil bayangannya :
$ \begin{align} 3x-2y &= 6 \\ 3(x'-2) -2(y'-3) &= 6 \\ 3x'-6-2y'+6 &= 6 \\ 3x'-2y' &= 6 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). 3x-2y=6 $.
Soal No.3
Koordinat bayangan titik $A(2,10)$ oleh refleksi terhadap sumbu-$Y$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). A'(-2,10) \\ & (B). A'(2,-10) \\ & (C). A'(-2,-10) \\ & (D). A'(10,2) \\ & (E). A'(-10,2) \end{align} $
Koordinat bayangan titik $A(2,10)$ oleh refleksi terhadap sumbu-$Y$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). A'(-2,10) \\ & (B). A'(2,-10) \\ & (C). A'(-2,-10) \\ & (D). A'(10,2) \\ & (E). A'(-10,2) \end{align} $
$
\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\
10
\end{pmatrix} \\ \\
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
-2 \\
10
\end{pmatrix}
\end{align}
$
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $A'(-2,10)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). A'(-2,10)$.
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $A'(-2,10)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). A'(-2,10)$.
Soal No.4
Jika garis $y=6-8x$ direfleksi terhadap garis $y=x$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). y=6+8x \\ & (B). y=8+6x \\ & (C). y=-8+6x \\ & (D). x=6+8y \\ & (E). x=6-8y \end{align} $
Jika garis $y=6-8x$ direfleksi terhadap garis $y=x$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). y=6+8x \\ & (B). y=8+6x \\ & (C). y=-8+6x \\ & (D). x=6+8y \\ & (E). x=6-8y \end{align} $
$
\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\ \\
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
y \\
x
\end{pmatrix}
\end{align}
$
Sehingga,
$ \begin{align} x' &= y \to x= y' \\ y' &= x \to y= x' \end{align} $
Subsitusikan ke persamaan asal untuk mendapatkan hasil bayangannya :
$ \begin{align} y &= 6-8x \\ x'&= 6-8y' \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). x=6-8y$.
Sehingga,
$ \begin{align} x' &= y \to x= y' \\ y' &= x \to y= x' \end{align} $
Subsitusikan ke persamaan asal untuk mendapatkan hasil bayangannya :
$ \begin{align} y &= 6-8x \\ x'&= 6-8y' \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). x=6-8y$.
Soal No.5
Bayangan titik $B(-2,21)$ oleh rotasi $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat $O(0,0)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). B'(21,-2) \\ & (B). B'(21,2) \\ & (C). B'(-21,-2) \\ & (D). B'(-21,2) \\ & (E). B'(-2,-21) \end{align} $
Bayangan titik $B(-2,21)$ oleh rotasi $90^{\circ}$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat $O(0,0)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). B'(21,-2) \\ & (B). B'(21,2) \\ & (C). B'(-21,-2) \\ & (D). B'(-21,2) \\ & (E). B'(-2,-21) \end{align} $
Berlawanan arah jarum jam artinya sudutnya $90^{\circ}$ positif.
Sehingga,
$ \begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} & -\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 21 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 21 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -21 \\ -2 \end{pmatrix} \\ \\ \end{align} $
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $B'(-21,-2)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C). B'(-21,-2)$.
Sehingga,
$ \begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos 90^{\circ} & -\sin 90^{\circ} \\ \sin 90^{\circ} & \cos 90^{\circ} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 21 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 21 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -21 \\ -2 \end{pmatrix} \\ \\ \end{align} $
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $B'(-21,-2)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C). B'(-21,-2)$.
Soal No.6
Bayangan titik $C(1,4)$ oleh rotasi $90^{\circ}$ searah jarum jam terhadap titik pusat $A(6,3)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). C'(8,7) \\ & (B). C'(7,8) \\ & (C). C'(-8,7) \\ & (D). C'(7,-8) \\ & (E). C'(2,8) \end{align} $
Bayangan titik $C(1,4)$ oleh rotasi $90^{\circ}$ searah jarum jam terhadap titik pusat $A(6,3)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). C'(8,7) \\ & (B). C'(7,8) \\ & (C). C'(-8,7) \\ & (D). C'(7,-8) \\ & (E). C'(2,8) \end{align} $
Karena arah putarnya searah jarum jam artinya sudutnya adalah negatif, dalam hal ini $-90^{\circ}$.
Hal wajib kamu ingat adalah
$\sin (-x) = - \sin (x)$
$\cos (-x) = \cos (x)$
Sehingga,
$ \begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \left( -90^{\circ} \right) & -\sin \left( -90^{\circ} \right) \\ \sin \left( -90^{\circ} \right) & \cos \left(-90^{\circ} \right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 - 6\\ 4 - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \left( 90^{\circ} \right) & \sin \left( 90^{\circ} \right) \\ -\sin \left( 90^{\circ} \right) & \cos \left(90^{\circ} \right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{align} $
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $C'(7,8)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). C'(7,8)$.
Hal wajib kamu ingat adalah
$\sin (-x) = - \sin (x)$
$\cos (-x) = \cos (x)$
Sehingga,
$ \begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \left( -90^{\circ} \right) & -\sin \left( -90^{\circ} \right) \\ \sin \left( -90^{\circ} \right) & \cos \left(-90^{\circ} \right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 - 6\\ 4 - 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \cos \left( 90^{\circ} \right) & \sin \left( 90^{\circ} \right) \\ -\sin \left( 90^{\circ} \right) & \cos \left(90^{\circ} \right) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{align} $
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $C'(7,8)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). C'(7,8)$.
Soal No.7
Sebuah fungsi $y=2x^{2}+1$ dirotasi berlawanan jarum jam sejauh $180^{\circ}$ terhadap titik pusat $O(0,0)$. Bayangan hasil rotasinya adalah ...
$ \begin{align} & (A). y = 2 x^{2}-1 \\ & (B). y = x^{2}+1 \\ & (C). y = 2x^{2}-2 \\ & (D). y = -2 x^{2}-1 \\ & (E). y = -2 x^{2}-2 \end{align} $
Sebuah fungsi $y=2x^{2}+1$ dirotasi berlawanan jarum jam sejauh $180^{\circ}$ terhadap titik pusat $O(0,0)$. Bayangan hasil rotasinya adalah ...
$ \begin{align} & (A). y = 2 x^{2}-1 \\ & (B). y = x^{2}+1 \\ & (C). y = 2x^{2}-2 \\ & (D). y = -2 x^{2}-1 \\ & (E). y = -2 x^{2}-2 \end{align} $
$
\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
\cos 180^{\circ} & -\sin 180^{\circ} \\
\sin 180^{\circ} & \cos 180^{\circ}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\ \\
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\ \\
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
-x \\
-y
\end{pmatrix} \\ \\
\end{align}
$
Sehingga,
$ \begin{align} x' &= -x \to x= -x' \\ y' &= -y \to y= -y' \end{align} $
Subsitusikan ke persamaan asal untuk mendapatkan hasil bayangannya :
$ \begin{align} y &= 2x^{2}+1 \\ -y'&= 2 \left(-x'\right)^{2}+1 \\ y &= -2 x^{2}-1 \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). y = -2 x^{2}-1$.
Sehingga,
$ \begin{align} x' &= -x \to x= -x' \\ y' &= -y \to y= -y' \end{align} $
Subsitusikan ke persamaan asal untuk mendapatkan hasil bayangannya :
$ \begin{align} y &= 2x^{2}+1 \\ -y'&= 2 \left(-x'\right)^{2}+1 \\ y &= -2 x^{2}-1 \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). y = -2 x^{2}-1$.
Soal No.8
Bayangan titik $B(7,-3)$ oleh dilatasi faktor skala $5$ terhadap titik pusat $O(0,0)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). B'(-20,-25) \\ & (B). B'(40,-12) \\ & (C). B'(20,-5) \\ & (D). B'(-35,15) \\ & (E). B'(35,-15) \end{align} $
Bayangan titik $B(7,-3)$ oleh dilatasi faktor skala $5$ terhadap titik pusat $O(0,0)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). B'(-20,-25) \\ & (B). B'(40,-12) \\ & (C). B'(20,-5) \\ & (D). B'(-35,15) \\ & (E). B'(35,-15) \end{align} $
faktor skala $\to k=5$.
$ \begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 35 \\ -15 \end{pmatrix} \end{align} $
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $B'(35,-15)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). B'(35,-15)$.
$ \begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 35 \\ -15 \end{pmatrix} \end{align} $
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $B'(35,-15)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). B'(35,-15)$.
Soal No.9
Bayangan titik $A(3,-8)$ oleh dilatasi dengan faktor skala-$-3$ terhadap titik pusat $(1,2)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). A'(32,5) \\ & (B). A'(-32,-5) \\ & (C). A'(32,-5) \\ & (D). A'(-5,32) \\ & (E). A'(5,-32) \end{align} $
Bayangan titik $A(3,-8)$ oleh dilatasi dengan faktor skala-$-3$ terhadap titik pusat $(1,2)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). A'(32,5) \\ & (B). A'(-32,-5) \\ & (C). A'(32,-5) \\ & (D). A'(-5,32) \\ & (E). A'(5,-32) \end{align} $
faktor skala $\to k=-3$.
$ \begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - a\\ y - b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ -8 - 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -6 \\ 30 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -5 \\ 32 \end{pmatrix} \end{align} $
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $A'(-5,32)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). A'(-5,32)$.
$ \begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - a\\ y - b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ -8 - 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -6 \\ 30 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -5 \\ 32 \end{pmatrix} \end{align} $
Sehingga hasil koordinat bayangannya adalah $A'(-5,32)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). A'(-5,32)$.
Soal No.10
Sebuah fungsi $y=x^{2}-3x+5$ didilatasi dengan faktor skala $3$ terhadap titik pusat $O(0,0)$. Bayangan hasil rotasinya adalah ...
$ \begin{align} & (A). y = \dfrac{2}{3}x^{2}-3x+25 \\ & (B). y = \dfrac{4}{3}x^{2}-5x+15 \\ & (C). y = \dfrac{4}{3}x^{2}-2x+25 \\ & (D). y = \dfrac{1}{3}x^{2}-3x+15 \\ & (E). y = \dfrac{2}{3}x^{2}-x+15 \end{align} $
Sebuah fungsi $y=x^{2}-3x+5$ didilatasi dengan faktor skala $3$ terhadap titik pusat $O(0,0)$. Bayangan hasil rotasinya adalah ...
$ \begin{align} & (A). y = \dfrac{2}{3}x^{2}-3x+25 \\ & (B). y = \dfrac{4}{3}x^{2}-5x+15 \\ & (C). y = \dfrac{4}{3}x^{2}-2x+25 \\ & (D). y = \dfrac{1}{3}x^{2}-3x+15 \\ & (E). y = \dfrac{2}{3}x^{2}-x+15 \end{align} $
$
\begin{align}
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
k & 0 \\
0 & k
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
3 & 0 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} \\ \\
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
3x \\
3y
\end{pmatrix}
\end{align}
$
Sehingga,
$ \begin{align} x' &= 3x \to x= \dfrac{1}{3}x' \\ y' &= 3y \to y= \dfrac{1}{3}y' \end{align} $
Subsitusikan ke persamaan asal untuk mendapatkan hasil bayangannya :
$ \begin{align} y &= x^{2}-3x+5 \\ \dfrac{1}{3}y' &= \left( \dfrac{1}{3}x' \right)^{2}-3\left( \dfrac{1}{3}x' \right)+5 \ | \times 9 \\ 3y &= x^{2}-9x+45 \ | : 3 \\ y &= \dfrac{1}{3}x^{2}-3x+15 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). y = \dfrac{1}{3}x^{2}-3x+15$.
Sehingga,
$ \begin{align} x' &= 3x \to x= \dfrac{1}{3}x' \\ y' &= 3y \to y= \dfrac{1}{3}y' \end{align} $
Subsitusikan ke persamaan asal untuk mendapatkan hasil bayangannya :
$ \begin{align} y &= x^{2}-3x+5 \\ \dfrac{1}{3}y' &= \left( \dfrac{1}{3}x' \right)^{2}-3\left( \dfrac{1}{3}x' \right)+5 \ | \times 9 \\ 3y &= x^{2}-9x+45 \ | : 3 \\ y &= \dfrac{1}{3}x^{2}-3x+15 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). y = \dfrac{1}{3}x^{2}-3x+15$.
Tips Mudah Memahami Transformasi Geometri
- Gunakan Gambar: Jika perlu ada baiknya kamu bisa bikin sketsa sederhana untuk memahami perubahan posisi bangun.
- Ingat Pola: Pahami pola dari setiap rumus (misalnya refleksi terhadap sumbu-$X$ matriksnya tidak jauh beda dengan terhadap sumbu-$Y$ hanya beda letak negatif satunya).
- Latihan Soal: Semakin sering kamu berlatih, semakin mudah kamu mengingat konsepnya. Latih !!! dan Latih !!! terus kemampuanmu.
- Gunakan Warna: Saat mencatat, gunakan warna berbeda untuk setiap jenis transformasi biar lebih menarik.
Kegunaan Transformasi Geometri Dalam Kehidupan Sehari - Hari
Transformasi geometri nggak cuma ada di buku, loh. Konsep ini dipakai di dunia nyata, misalnya:- Animasi: Gerakan karakter dalam film atau game menggunakan translasi, rotasi, dan dilatasi. Misalnya, saat sebuah karakter melompat, gerakannya bisa dimodelkan dengan transformasi ini.
- Arsitektur: Mendesain pola ubin atau dinding dengan refleksi dan translasi. Contohnya, pola mosaik di lantai gedung sering kali merupakan hasil refleksi berulang.
- Robotika: Pergerakan lengan robot sering melibatkan rotasi dan translasi untuk memastikan benda yang dipegang sampai ke lokasi yang tepat.
- Transportasi: Pada sistem navigasi GPS, transformasi geometri digunakan untuk memetakan lokasi kendaraan dari satu titik ke titik lain, terutama pada sistem peta digital.
- Desain Grafis: Dalam aplikasi desain seperti Photoshop atau CorelDRAW, transformasi geometri membantu dalam memutar, memperbesar, atau mencerminkan objek desain.
- Astronomi: Dalam pengamatan bintang, transformasi digunakan untuk memodelkan rotasi bumi dan gerakan bintang di langit malam.
- Teknik Sipil: Membantu simulasi pergerakan tanah atau desain struktur yang melibatkan rotasi dan translasi dalam skala besar.
Penutup: Transformasi Itu Mudah
Itu dia rangkuman lengkap tentang transformasi geometri.Gimana, nggak terlalu sulit kan?
Dengan memahami dasar-dasarnya, kamu pasti bisa menguasai materi ini dan siap menghadapi soal-soal di ujian.
Ingat, kuncinya adalah banyak berlatih dan nggak ragu untuk bertanya kalau ada yang belum paham.
Semangat belajar, teman-teman!
Kamu pasti bisa! 😊
"Semua impian kita bisa menjadi kenyataan jika kita memiliki keberanian untuk mengejarnya." – Walt Disney
