Matriks Jadi Mudah! 5 Trik Cantik Menyelesaikan Soal dengan Cepat

Halo, pejuang matematika kelas 12! 😊

Pernah nggak sih, ngerasa pusing setiap kali melihat soal matriks yang kelihatan ribet?

Tenang aja, kamu nggak sendirian!

Matriks sebenarnya nggak sesulit itu kok, asal kamu tahu trik-triknya.

Nah, di artikel ini, kita bakal bahas 5 trik cantik buat menyelesaikan soal matriks dengan cepat dan mudah terutama yang berhubungan dengan determinan.

Yuk, simak sampai habis!

---

Konsep Dasar Determinan

Determinan matriks adalah selisih hasil operasi perkalian silang antara diagonal utama dengan lainnya jika matriksnya ber-ordo ($2 \times 2$).

Tapi kamu juga masih bisa menghitung nilai determinan dari sebuah matriks ber-ordo ($n \times n$) lainnya dengan metode tertentu.

Determinan ini spesial ya, karena hanya dipunyai oleh matriks - matriks yang ber-ordo persegi saja. Matriks ber-ordo ($n \times n$).

Jadi, misal kamu punya sebuah matriks $A$ : \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \] maka nilai determinan dari matriks $A$ bisa kita tulis sebagai

\[ det(A) = |A| = ad-bc \]

---

5 Trik Cantik Determinan

Kabar baik ! Ada beberapa trik cantik yang bisa kamu gunakan untuk menyelesaikan soal - soal matriks terutama jika itu berhubungan dengan determinan.

Mau tahu???

Sebenarnya dalam konsep matematika trik - trik yang akan kita bahas ini merupakan sifat - sifat asli dari determinan matriks.

TRIK 1 :
$det \left( A^T \right) = det(A)$

Contoh Soal
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$.
Jika matriks $P=A^T$ maka nilai dari $det(P)= \ ...$
$ \begin{align} & (A) \ 4 \\ & (B) \ 6 \\ & (C) \ 10 \\ & (D) \ -6 \\ & (E) \ -4 \end{align} $

Diketahui pada soal $det(A)= 4(1)-2(-1) = 6$

Karena $P=A^T$ maka

$ \begin{align} det(P) &= det (A^T) \\ &= det (A) \\ &= 6 \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B) \ 6$

TRIK 2 :
$det \left( A^{-1} \right) = \dfrac{1}{det(A)}$

Contoh Soal
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$.
Jika $x=2 \det(B^{-1})$ maka $2x+1= \ ...$
$ \begin{align} & (A) \ 5 \\ & (B) \ 4 \\ & (C) \ 3 \\ & (D) \ 2 \\ & (E) \ 1 \end{align} $

Diketahui pada soal di atas $det(B)= 5(2)-3(1) = 7$

Sehingga

$ \begin{align} det(B^{-1}) &= \dfrac{1}{det(B)} \\ &= \dfrac{1}{7} \\ \\ x &= 2 \det(B^{-1}) \\ x &= 2 \left( \dfrac{1}{7} \right) = \dfrac{2}{7} \\ \\ 7x+1 &= 7 \left( \dfrac{2}{7} \right) + 1 \\ &= 3 \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C) \ 3$

TRIK 3 :
$det \left( AB \right) = det(A) \times det(B)$

Contoh Soal
Diketahui $P=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ dan $Q=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, maka nilai determinan dari $(PQ)^{-1}$ adalah...
$ \begin{align} & (A) \ -1 \\ & (B) \ -2 \\ & (C) \ 3 \\ & (D) \ 2 \\ & (E) \ 1 \end{align} $

Kita TRIK soal ini, jadi kita sama sekali ngga perlu mencari dulu berapa matriks hasil perkalian $PQ$ lagi.

Cari aja dulu determinan dari masing - masing $P$ dan $Q$.

$det(P)= 1(3)-2(2) = -1$

$det(Q)= 2(1)-1(1) = 1$

Sehingga

$ \begin{align} det(PQ) &= det(P) \times det(Q) \\ &= -1 \times 1 \\ &= -1 \\ \\ det \left( (PQ)^{-1} \right) &= \dfrac{1}{det(PQ)} \\ &= \dfrac{1}{-1} = -1 \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A) \ -1$

TRIK 4 :
$det \left( kA \right) = k^{n} \times det(A)$

$k \to$ Konstanta
$n \to$ Ordo

Contoh Soal
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$.
Jika $m \in R$ dan $m \cdot det(A)=det(2A)$. maka nilai $m$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 3 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 8 \end{align} $

$ \begin{align} m \cdot det(A) &= det(2A) \\ m \cdot det(A) &= 2^{2} \cdot det(A) \\ m \cdot det(A) &= 4 \cdot det(A) \\ m &= 4 \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C) \ 4$

TRIK 5 :
$det \left( A^{n} \right) = \left[ det(A) \right]^{n}$

Contoh Soal
Soal UTBK-SBMPTN 2019
Diketahui matriks $B=\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}$ dan berlaku persamaan matriks $A^{2}+B=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}$.
Determinan matriks $A^{4}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 1 \\ (B)\ & 2 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 16 \\ (E)\ & 81 \end{align} $

$\begin{align} A^{2}+B &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-B \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3 & -2\\ 4 & -1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -4\\ 5 & -2 \end{pmatrix}\\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 3-1 & -2+4\\ 4-5 & -1+2 \end{pmatrix} \\ A^{2} &=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \\ det(A^{2}) &=2(1)-2(-1)=4 \\ \end{align}$

Langkah berikutnya tinggal memakai salah satu sifat dari determinan yaitu $det(A^{n}) = [det(A)]^{n}$, maka

$ \begin{align} det(A)^{4} &= [det(A)^{2}]^{2} \\ &= 4^{2} \\ &=16 \end{align} $

Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D) \ 16$

---

Penutup

Gimana?

Matriks nggak sesulit yang kamu bayangkan, kan?

Dengan trik ini, kamu bisa menyelesaikan soal lebih cepat dan percaya diri menghadapi ujian. 💪✨

Selamat belajar, semangat terus, dan jadilah jagoan matematika!

"Jangan takut mencoba. Ingat, semua ahli dulunya juga seorang pemula." – Anonim