Rahasia Menaklukkan Pertidaksamaan Logaritma Tanpa Ribet
Apalagi kalau udah digabungin sama pertidaksamaan.
Tapi tenang, guys, pertidaksamaan logaritma nggak seSERAM itu kok.
Asal tahu rahasianya, kamu bisa menaklukkan topik ini dengan mudah.
Yuk, kita bongkar rahasianya satu per satu!
1. Pahami Dasar Logaritma Dulu
Sebelum masuk ke pertidaksamaan logaritma, kamu harus ngerti dulu apa itu logaritma.Simpelnya, logaritma adalah kebalikan dari eksponen.
Kalau dalam eksponen kita punya: \[ a^b = c \] Maka, dalam logaritma kita bisa tulis: \[ {}^a\! \log c = b \] Contoh: \( 2^3 = 8 \), berarti \( {}^2\! \log 8 = 3 \).
Mudah kan?
Oh iya, jangan lupa, basis logaritma (angka kecil di atas) harus positif dan nggak boleh sama dengan $1$.
Ini penting banget buat nanti.
2. Kenali Aturan Penting Pertidaksamaan Logaritma
Nah, kalau udah paham dasar logaritma, sekarang kita masuk ke pertidaksamaan.Pertidaksamaan logaritma itu ada kaitannya sama dua aturan ini:
- Jika basisnya lebih dari $1$ ($a \gt 1$):
- Jika \( {}^a\! \log f(x) \gt {}^a\! \log g(x) \) maka \( f(x) \gt g(x) \).
- Jika \( {}^a\! \log f(x) \lt {}^a\! \log g(x) \) maka \( f(x) \lt g(x) \).
- Jika basisnya di antara $0$ dan $1$ ($0 \lt a \lt 1$):
- Jika \( {}^a\! \log f(x) \lt {}^a\! \log g(x) \) maka \( f(x) \gt g(x) \).
- Jika \( {}^a\! \log f(x) \gt {}^a\! \log g(x) \) maka \( f(x) \lt g(x) \).
Tapi kalau basisnya pecahan (di antara $0$ dan $1$), tandanya kebalik.
3. Cek Syarat Logaritma Itu Wajib!
Logaritma punya syarat yang nggak boleh dilanggar:- Input (angka di dalam logaritma) harus positif.
- Basisnya juga harus positif dan nggak boleh sama dengan $1$.
Kalau nggak, pertidaksamaan logaritmanya nggak valid.
Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma
Yuk, kita coba praktekkan dalam pengerjaan soal biar makin paham dan jelas.
Soal No. 1
Pertidaksamaan logaritma ${}^5\! \log (x^2-2) \lt 1$ dipenuhi untuk nilai - nilai $x$ ...
$ \begin{align} & (A). \ x \lt -2 \ \text{atau} \ x \gt 3 \\ & (B). \ x \lt -3 \ \text{atau} \ x \gt 3 \\ & (C). \ -2 \lt x \lt 3 \\ & (D). \ -3 \lt x \lt 2 \\ & (E). \ x \lt -3 \ \text{atau} \ x \gt 2 \end{align} $
Pertidaksamaan logaritma ${}^5\! \log (x^2-2) \lt 1$ dipenuhi untuk nilai - nilai $x$ ...
$ \begin{align} & (A). \ x \lt -2 \ \text{atau} \ x \gt 3 \\ & (B). \ x \lt -3 \ \text{atau} \ x \gt 3 \\ & (C). \ -2 \lt x \lt 3 \\ & (D). \ -3 \lt x \lt 2 \\ & (E). \ x \lt -3 \ \text{atau} \ x \gt 2 \end{align} $
Langkah pertama samakan basis kedua ruas,
\[ {}^5\! \log (x^2-4) \lt 1 \]
\[ {}^5\! \log (x^2-4) \lt {}^5\! \log 5 \]
Cek syaratnya :
$x^2-4 \gt 0$ maka $x^2 \gt 4$, dengan demikian $x \gt \pm 2$.
Kita bisa tulis menjadi $x \lt -2$ atau $x \gt 2$.
Setelah dapat syaratnya, kita selesaikan pertidaksamaan logaritmanya.
Karena basis kedua ruas sudah sama - sama $5$ (lebih dari $1$), maka tanda pertidaksamaan tetap dan \( x^2-4 \gt 5 \).
Sehingga
$ \begin{align} x^2-4 & \gt 5 \\ x^2 & \gt 9 \\ x & \gt \pm 3 \\ x \lt -3 \ \text{atau} \ x & \gt 3 \end{align} $
Dengan menggunakan garis bilangan kamu akan dapatkan hasil akhirnya,
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B) \ x \lt -3 \ \text{atau} \ x \gt 3$.
$x^2-4 \gt 0$ maka $x^2 \gt 4$, dengan demikian $x \gt \pm 2$.
Kita bisa tulis menjadi $x \lt -2$ atau $x \gt 2$.
Setelah dapat syaratnya, kita selesaikan pertidaksamaan logaritmanya.
Karena basis kedua ruas sudah sama - sama $5$ (lebih dari $1$), maka tanda pertidaksamaan tetap dan \( x^2-4 \gt 5 \).
Sehingga
$ \begin{align} x^2-4 & \gt 5 \\ x^2 & \gt 9 \\ x & \gt \pm 3 \\ x \lt -3 \ \text{atau} \ x & \gt 3 \end{align} $
Dengan menggunakan garis bilangan kamu akan dapatkan hasil akhirnya,
Soal No. 2
Penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{3}}\! \log (2x-9) \le 1$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ x \gt \dfrac{9}{2} \\ & (B). \ x \gt \dfrac{14}{3} \\ & (C). \ \dfrac{9}{2} \lt x \lt \dfrac{14}{3} \\ & (D). \ x \ge \dfrac{9}{2} \\ & (E). \ x \ge \dfrac{14}{3} \end{align} $
Penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{3}}\! \log (2x-9) \le 1$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ x \gt \dfrac{9}{2} \\ & (B). \ x \gt \dfrac{14}{3} \\ & (C). \ \dfrac{9}{2} \lt x \lt \dfrac{14}{3} \\ & (D). \ x \ge \dfrac{9}{2} \\ & (E). \ x \ge \dfrac{14}{3} \end{align} $
Karena basis pada pertidaksamaan ${}^{\frac{1}{3}}\! \log (2x-9) \le 1$ adalah $\dfrac{1}{3}$ yang mana terletak antara $0$ dan $1$ maka dalam pengerjaan jangan lupa tanda pertidaksamaannya berubah.
Cek syaratnya :
$2x-9 \gt 0$ maka $x \gt \dfrac{9}{2}$.
Gass, kita kerjakan pertidaksamaannya,
$ \begin{align} {}^{\frac{1}{3}}\! \log (2x-9) & \le 1 \\ {}^{\frac{1}{3}}\! \log (2x-9) & \le {}^{\frac{1}{3}}\! \log \dfrac{1}{3} \\ \\ 2x-9 & \ge \dfrac{1}{3} \ | \times 3 \\ 6x-27 & \ge 1 \\ 6x & \ge 28 \\ x & \ge \dfrac{28}{6} \to x \ge \dfrac{14}{3} \end{align} $
Dengan mempertimbangkan syarat $x \gt \dfrac{9}{2}$ dan hasil pertidaksamaannya $x \ge \dfrac{14}{3}$, terlihat dalam garis bilangan bahwa daerah hasil akhirnya merupakan daerah irisan dari keduanya.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E) \ x \ge \dfrac{14}{3}$.
Cek syaratnya :
$2x-9 \gt 0$ maka $x \gt \dfrac{9}{2}$.
Gass, kita kerjakan pertidaksamaannya,
$ \begin{align} {}^{\frac{1}{3}}\! \log (2x-9) & \le 1 \\ {}^{\frac{1}{3}}\! \log (2x-9) & \le {}^{\frac{1}{3}}\! \log \dfrac{1}{3} \\ \\ 2x-9 & \ge \dfrac{1}{3} \ | \times 3 \\ 6x-27 & \ge 1 \\ 6x & \ge 28 \\ x & \ge \dfrac{28}{6} \to x \ge \dfrac{14}{3} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E) \ x \ge \dfrac{14}{3}$.
Soal No. 3
Penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^{3}\! \log^{2} x - {}^{3}\! \log x -6 \le 0$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ 3 \lt x \le 9 \\ & (B). \ 1 \le x \lt 27 \\ & (C). \ 3 \le x \le 9 \\ & (D). \ 9 \le x \le 27 \\ & (E). \ 1 \le x \le 243 \end{align} $
Penyelesaian dari pertidaksamaan ${}^{3}\! \log^{2} x - {}^{3}\! \log x -6 \le 0$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ 3 \lt x \le 9 \\ & (B). \ 1 \le x \lt 27 \\ & (C). \ 3 \le x \le 9 \\ & (D). \ 9 \le x \le 27 \\ & (E). \ 1 \le x \le 243 \end{align} $
Syarat :
$x \gt 0$
${}^{3}\! \log^{2} x - {}^{3}\! \log x -6 \le 0$ bisa kita dekati dengan pertidaksamaan kuadrat.
Langkahnya gampang banget, kamu bisa misalkan ${}^{3}\! \log x = a$.
Sehingga,
$ \begin{align} {}^{3}\! \log^{2} x - {}^{3}\! \log x -6 & \le 0 \\ a^{2} - a - 6 & \le 0 \\ (a-3)(a+2) & \le 0 \\ -2 \le a & \le 3 \\ \\ -2 \le {}^{3}\! \log x & \le 3 \\ {}^{3}\! \log \dfrac{1}{9} \le {}^{3}\! \log x & \le {}^{3}\! \log 27 \\ \dfrac{1}{9} \le x & \le 27 \\ 1 \le x & \le 243 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 1 \le x \le 243$.
$x \gt 0$
${}^{3}\! \log^{2} x - {}^{3}\! \log x -6 \le 0$ bisa kita dekati dengan pertidaksamaan kuadrat.
Langkahnya gampang banget, kamu bisa misalkan ${}^{3}\! \log x = a$.
Sehingga,
$ \begin{align} {}^{3}\! \log^{2} x - {}^{3}\! \log x -6 & \le 0 \\ a^{2} - a - 6 & \le 0 \\ (a-3)(a+2) & \le 0 \\ -2 \le a & \le 3 \\ \\ -2 \le {}^{3}\! \log x & \le 3 \\ {}^{3}\! \log \dfrac{1}{9} \le {}^{3}\! \log x & \le {}^{3}\! \log 27 \\ \dfrac{1}{9} \le x & \le 27 \\ 1 \le x & \le 243 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 1 \le x \le 243$.
Soal No. 4
Penyelesaian dari pertidaksamaan \[ {}^{5}\! \log \left( 2x^{2}-6x \right) \lt {}^{5}\! \log \left( x^{2}+3x \right) \] adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ 3 \lt x \lt 9 \\ & (B). \ 3 \le x \lt 9 \\ & (C). \ 0 \lt x \lt 9 \\ & (D). \ -3 \lt x \lt 9 \\ & (E). \ -3 \lt x \lt 0 \end{align} $
Penyelesaian dari pertidaksamaan \[ {}^{5}\! \log \left( 2x^{2}-6x \right) \lt {}^{5}\! \log \left( x^{2}+3x \right) \] adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ 3 \lt x \lt 9 \\ & (B). \ 3 \le x \lt 9 \\ & (C). \ 0 \lt x \lt 9 \\ & (D). \ -3 \lt x \lt 9 \\ & (E). \ -3 \lt x \lt 0 \end{align} $
Syarat (1):
$ \begin{align} 2x^{2}-6x & \gt 0 \\ x(2x-6) & \gt 0 \\ x \lt 0 \ \text{atau} \ x & \gt 3 \end{align} $
Syarat (2):
$ \begin{align} x^{2}+3x & \gt 0 \\ x(x+3) & \gt 0 \\ x \lt -3 \ \text{atau} \ x & \gt 0 \end{align} $
Kita kerjakan pertidaksamaan logaritmanya :
$ \begin{align} {}^{5}\! \log \left( 2x^{2}-6x \right) & \lt {}^{5}\! \log \left( x^{2}+3x \right) \\ 2x^{2}-6x & \lt x^{2}+3x \\ x^{2}-9x & \lt 0 \\ x(x-9) & \lt 0 \\ 0 \lt x & \lt 9 \ \ ........ (3) \end{align} $
Hasil akhirnya adalah irisan dari syarat (1), syarat (2) dan hasil pertidaksamaan (3).
Yuk, kita cek dalam pakai garis bilangan :
Terlihat bahwa daerah yang beririsan diantara ketiga pertidaksamaannya adalah $3 \lt x \lt 9$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). \ 3 \lt x \lt 9$.
$ \begin{align} 2x^{2}-6x & \gt 0 \\ x(2x-6) & \gt 0 \\ x \lt 0 \ \text{atau} \ x & \gt 3 \end{align} $
Syarat (2):
$ \begin{align} x^{2}+3x & \gt 0 \\ x(x+3) & \gt 0 \\ x \lt -3 \ \text{atau} \ x & \gt 0 \end{align} $
Kita kerjakan pertidaksamaan logaritmanya :
$ \begin{align} {}^{5}\! \log \left( 2x^{2}-6x \right) & \lt {}^{5}\! \log \left( x^{2}+3x \right) \\ 2x^{2}-6x & \lt x^{2}+3x \\ x^{2}-9x & \lt 0 \\ x(x-9) & \lt 0 \\ 0 \lt x & \lt 9 \ \ ........ (3) \end{align} $
Hasil akhirnya adalah irisan dari syarat (1), syarat (2) dan hasil pertidaksamaan (3).
Yuk, kita cek dalam pakai garis bilangan :
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). \ 3 \lt x \lt 9$.
Soal No. 5
Nilai $x$ yang memenuhi \[ {}^{2}\! \log x - {}^{x}\! \log 2 \gt 0 \] adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ x \gt \dfrac{1}{2} \\ & (B). \ x \gt 1 \\ & (C). \ 1 \lt x \lt 2 \\ & (D). \ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{2} \ \text{atau} \ x \gt 2 \\ & (E). \ \dfrac{1}{2} \lt x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 2 \end{align} $
Nilai $x$ yang memenuhi \[ {}^{2}\! \log x - {}^{x}\! \log 2 \gt 0 \] adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ x \gt \dfrac{1}{2} \\ & (B). \ x \gt 1 \\ & (C). \ 1 \lt x \lt 2 \\ & (D). \ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{2} \ \text{atau} \ x \gt 2 \\ & (E). \ \dfrac{1}{2} \lt x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 2 \end{align} $
Karena $x$ posisinya sebagai numerus sekaligus basis, maka syarat pertidaksamaan logaritmanya adalah :
$x \gt 0$ dan $x \ne 1$.
$ \begin{align} {}^{2}\! \log x - {}^{x}\! \log 2 & \gt 0 \\ {}^{2}\! \log x - \dfrac{1}{{}^{2}\! \log x} & \gt 0 \end{align} $
Misal : ${}^{2}\! \log x = a$, maka
$ \begin{align} {}^{2}\! \log x - \dfrac{1}{{}^{2}\! \log x} & \gt 0 \\ a - \dfrac{1}{a} & \gt 0 \ | \times a \\ a^{2}-1 & \gt 0 \\ a^{2} & \gt 1 \\ a & \gt \pm 1 \\ a \lt -1 \ & \text{atau} \ a \gt 1 \end{align} $
Kita substitusikan aja kembali $a$ agar dapat batas $x$ nya.
$ \begin{align} a & \lt -1 \\ {}^{2}\! \log x & \lt -1 \\ x & \lt 2^{-1} \\ x & \lt \dfrac{1}{2} \end{align} $
$ \begin{align} a & \gt 1 \\ {}^{2}\! \log x & \gt 1 \\ x & \gt 2^1 \\ x & \gt 2 \end{align} $
Cek garis bilangan :
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 0 \lt x \lt \dfrac{1}{2} \ \text{atau} \ x \gt 2$.
$x \gt 0$ dan $x \ne 1$.
$ \begin{align} {}^{2}\! \log x - {}^{x}\! \log 2 & \gt 0 \\ {}^{2}\! \log x - \dfrac{1}{{}^{2}\! \log x} & \gt 0 \end{align} $
Misal : ${}^{2}\! \log x = a$, maka
$ \begin{align} {}^{2}\! \log x - \dfrac{1}{{}^{2}\! \log x} & \gt 0 \\ a - \dfrac{1}{a} & \gt 0 \ | \times a \\ a^{2}-1 & \gt 0 \\ a^{2} & \gt 1 \\ a & \gt \pm 1 \\ a \lt -1 \ & \text{atau} \ a \gt 1 \end{align} $
Kita substitusikan aja kembali $a$ agar dapat batas $x$ nya.
$ \begin{align} a & \lt -1 \\ {}^{2}\! \log x & \lt -1 \\ x & \lt 2^{-1} \\ x & \lt \dfrac{1}{2} \end{align} $
$ \begin{align} a & \gt 1 \\ {}^{2}\! \log x & \gt 1 \\ x & \gt 2^1 \\ x & \gt 2 \end{align} $
Cek garis bilangan :
Tips Anti Ribet Jago Pertidaksamaan Logaritma
Biar makin jago, coba ikuti tips ini:- Latihan soal sebanyak mungkin. Semakin sering kamu latihan, semakin paham pola-pola yang sering muncul.
- Catat aturan-aturan penting. Bikin ringkasan kecil tentang logaritma dan tempel di meja belajar.
- Diskusi bareng teman. Kadang, belajar bareng bikin kamu lebih cepat ngerti.
- Jangan panik. Kalau nemu soal susah, coba pecah jadi langkah-langkah kecil seperti contoh di atas.
Kesimpulan
Pertidaksamaan logaritma memang kelihatannya rumit, tapi sebenarnya nggak kok.Kuncinya ada di memahami dasar logaritma, mengingat aturan-aturan penting, dan selalu memeriksa syarat logaritma.
Kalau kamu udah paham ini semua, dijamin pertidaksamaan logaritma bakal terasa lebih gampang.
So, nggak ada alasan lagi buat takut sama logaritma, kan?
Yuk, mulai latihan dan buktikan kalau kamu bisa jago matematika!😊
"Satu-satunya cara untuk belajar matematika adalah dengan melakukannya." – Paul Halmos
