Siap Ujian : Kamu Wajib Tahu 10 Soal Cerita Aplikasi Turunan Ini
Lagi sibuk persiapan ujian, ya?
Kalau iya, pasti kalian nggak asing sama bab turunan, kan?
Nah, bab ini emang sering muncul di soal ujian, terutama soal cerita yang kadang bikin pusing.
Tapi tenang aja, kali ini aku bakal kasih kamu 10 soal cerita aplikasi turunan lengkap dengan tips, trik, dan pembahasannya.
Siap? Yuk, kita mulai! 🚀
Tips & Trik Menghadapi Soal Cerita Turunan
1. Pahami Soalnya Dulu
Jangan buru-buru hitung! Baca soal dengan teliti, pahami apa yang ditanya, dan identifikasi informasi yang diberikan.
2. Buat Gambar Sketsa
Kalau soalnya melibatkan bentuk fisik, coba buat sketsa atau gambar sederhana yang bisa bantu kamu memahami maksud soal lebih utuh lagi.
3. Gunakan Rumus Turunan yang Tepat
Pastikan kamu tahu rumus dasar turunan, seperti:
- Turunan \( f(x) = ax^n \) adalah \( f'(x) = n \cdot ax^{n-1} \)
- Turunan fungsi trigonometri, seperti \( \sin x, \cos x, \tan x \)
4. Latihan, Latihan, dan Latihan!
Makin sering kamu latihan soal, makin mudah kamu memahami pola-pola yang sering muncul di soal ujian.
10 Soal Cerita Aplikasi Turunan Kamu Harus Tahu
Biar kamu ngga gagal paham, ada baiknya sebelum lihat pembahasannya kamu cobain dulu deh semampu kamu.
Sekuat tekadmu untuk bisa!
Trust me !!!
Belajar matematika emang ngga seperti baca novel yang cukup dibaca dan dibayangin lalu selesai, kamu butuh coret - coret nyobain sendiri baru paham.
Soal No.1 : Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung kurva $y=x^{3}+6x^{2}-5x+1$, di titik yang berabsis $1$ adalah...
$
\begin{align}
&(A). \ 10x-y+7=0 \\
&(B). \ 10x-y-7=0 \\
&(C). \ x+10y-7=0 \\
&(D). \ x-10y+7=0 \\
&(E). \ x-10y-7=0 \\
\end{align}
$
Langkah Pertama : Cari titik singgung kurva.
Absis $1$ artinya $x=1$, substitusikan ke persamaan kurvanya.
$
\begin{align}
y &= x^{3}+6x^{2}-5x+1 \\
&= 1^{3}+6 \cdot 1^{2}-5 \cdot 1+1 \\
&= 3
\end{align}
$
Kita dapatkan titik singgung kurva $(1,3)$.
Langkah Kedua : Cari besar gradien kurva pada titik singgung $(1,3)$.
Gradien merupakan turunan pertama dari persamaan kurvanya atau bisa kita tulis $m=y'$.
$
\begin{align}
y &= x^{3}+6x^{2}-5x+1 \\
m &= 3x^{2}+12 x-5 \\ \\
x=1 \to m &= 3 \cdot 1^{2}+12 \cdot 1 -5 \\
m &= 10
\end{align}
$
Langkah Ketiga : Susun persamaan garis singgung kurva dengan gradien $m=10$ dan titik singgung kurva $(1,3)$.
Ingat rumus persamaan garis singgung kurva
\[ y-y_1=m(x-x_1) \]
Sehingga,
$
\begin{align}
y-3 &=10(x-1) \\
y-3 &= 10x-10 \\
0 &= 10x-y-7
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 10x-y-7=0$
Soal No.2 : Ketinggian dan Kecepatan
Andi melempar bola ke atap sebuah rumah. Ketinggian bola saat waktu $t$ (detik) dinyatakan dengan persamaan $h(t)=5- \cos^{2} (\pi t)$. Kecepatan bola ditentukan dengan rumus $v=\dfrac{dh}{dt}$. Besar kecepatan bola saat $t=0,25$ detik adalah...
$
\begin{align}
&(A). \ 0 \\
&(B). \ \pi \\
&(C). \ 2\pi \\
&(D). \ 3\pi \\
&(E). \ 4\pi
\end{align}
$
$
\begin{align}
h(t) &= 5- \cos^{2} (\pi t) \\
\dfrac{dh}{dt} &= -2 \cos \pi t \ (- \sin \pi t) \cdot \pi \\
&= \pi \sin (2 \pi t)
\end{align}
$
Untuk $t=\dfrac{1}{4}$ detik maka :
$
\begin{align}
\dfrac{dh}{dt} &= \pi \sin (2 \pi t) \\
&= \pi \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \right) \\
&= \pi
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ \pi$
Soal No.3 : Jarak dan Kecepatan
Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan tertentu sehingga jarak tempuh $s(t)=2t^{2} - 32t$, dengan $s$ dalam meter dan $t$ dalam detik. Kecepatan sesaat yang dialami mobil saat $t$ mendekati $10$ detik adalah ... m/detik
$
\begin{align}
&(A). \ 4 \\
&(B). \ 6 \\
&(C). \ 8 \\
&(D). \ 10 \\
&(E). \ 12
\end{align}
$
$
\begin{align}
S(t) &= 2t^2-32t \\ \\
V(t)&= S'(t) \\
&= 4t-32 \\ \\
t \to & 10 \ \text{detik} \\
V(10) &= 4(10)-32 \\
&= 8 \ \text{m/detik}
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 10$
Soal No.4 : Luas Maksimum
Sebidang tanah berbentuk persegi panjang akan dipagari kawat untuk beternak bebek. Panjang kawat yang tersedia adalah $400$ meter. Luas tanah maksimum sehingga kawat dapat memagari tanah tersebut adalah ... m2
$
\begin{align}
&(A). \ 2.000 \\
&(B). \ 10.000 \\
&(C). \ 18.000 \\
&(D). \ 20.000 \\
&(E). \ 200.000
\end{align}
$
$
\begin{align}
K &=2(p+l) \\
400 &= 2(p+l)
200 &= p+l \\
l &= 200-p \\ \\
L &= p \times l \\
&= p(200-p) \\
&= 200p-p^{2} \\
\end{align}
$
Untuk cari Luas Maksimum maka $L'=0$, sehingga :
$
\begin{align}
L &= 200p-p^{2} \\
L' \to 200-2p &= 0 \\
p &= 100 \\ \\
l &= 200-p \\
&= 200 - 100 \\
l &= 100 \\ \\
L_{\text{max}} &= p \times l \\
&= 100 \times 100 \\
&= 10.000
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 10.000$
Soal No.5 : Ketinggian Maksimum
Sebuah roket ditembakkan ke atas, mencapai tinggi $h$ meter setelah $t$ detik, dirumuskan dengan $h(t)=400t-5t^{2}$. Ketinggian maksimum yang dicapai roket saat meluncur adalah ... meter
$
\begin{align}
&(A). \ 8.000 \\
&(B). \ 1.200 \\
&(C). \ 1.800 \\
&(D). \ 24.000 \\
&(E). \ 36.000
\end{align}
$
$
\begin{align}
h(t) &= 400t-5t^{2} \\ \\
h_{\text{max}}& \to h'(x) = 0 \\ \\
400-10t &= 0 \\
-10 t &= -400 \\
t &= 40 \\ \\
\end{align}
$
Substitusikan $t=40$ ke fungsi $h(t)$ kembali untuk mendapatkan nilai dari $h_{\text{max}}$ nya, sehingga kita akan dapatkan :
$
\begin{align}
h_{\text{max}}(40) &= 400(40)-5(40)^{2} \\
&= 16.000 - 5(1.600) \\
&= 8.000 \ \text{m}
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). \ 8.000$
Soal No.6 : Biaya Minimum
Untuk memproduksi $x$ unit barang perhari diperlukan biaya $\left( 2x^{3}-2.100x^{2}+600.000x \right)$ rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum jika perhari diproduksi barang ... unit
$
\begin{align}
&(A). \ 50 \\
&(B). \ 100 \\
&(C). \ 150 \\
&(D). \ 200 \\
&(E). \ 500
\end{align}
$
Misalkan saja fungsi biayanya kita anggap $B(x)$ sehingga :
$
\begin{align}
& B(x) = 2x^{3}-2.100x^{2}+600.000x \\ \\
& B_{\text{min}} \to B'(x) = 0 \\ \\
\end{align}
$
$
\begin{align}
6x^{2}-4.200x+600.000 &= 0 \ |: 6 \\
x^{2}-700x+100.000 &= 0 \\
(x-500)(x-200) &= 0 \\
x = 500 \ \text{atau} \ x &= 200
\end{align}
$
Untuk mengetahui yang mana maksmimum dan minimum kita akan cek melalui $B''(x)$ yaitu turunan keduanya.
$
\begin{align}
B''(x) &= 12x-4.200 \\ \\
B''(500) &= 12(500)-4.200 \\
&= 1.800 \ (min) \\ \\
B''(200) &= 12(200)-4.200 \\
&= -1.800 \ (max) \\ \\
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 500$
Soal No.7 : Biaya Minimum
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $\left( 3x-900+\dfrac{120}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu ... hari
$
\begin{align}
&(A). \ 40 \\
&(B). \ 60 \\
&(C). \ 90 \\
&(D). \ 120 \\
&(E). \ 150
\end{align}
$
Langkah pertama kita hitung dulu biaya totalnya, misalkan aja $B(x)$, sehingga :
$
\begin{align}
& B(x) = x \left( 3x-900+\dfrac{120}{x} \right) \\
& B(x) = 3x^{2} -900x +120 \\ \\
& B_{\text{min}} \to B'(x) = 0 \\ \\
\end{align}
$
$
\begin{align}
6x-900 &= 0 \\
6x &= 900 \\
x &= 150
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 150 $
Soal No.8 : Luas Lahan Maksimum
Suatu lahan (tanah) yang terletak di daerah pantai akan dibuat menjadi tempat wisata. Seorang pengusaha memagari lahan (tanah) tersebut dengan pagar kawat berduri berbentuk U seperti terlihat pada gambar di bawah.
Panjang kawat berduri yang dibutuhkan untuk memagari lahan adalah sepanjang $500$ meter. Luas tempat wisata maksimum yang diperoleh adalah ... m2
$
\begin{align}
&(A). \ 30.200 \\
&(B). \ 31.300 \\
&(C). \ 31.250 \\
&(D). \ 32.150 \\
&(E). \ 35.120
\end{align}
$
Jika kita perhatikan gambar lahannya, maka kita akan peroleh :
$
\begin{align}
2x+y &= 500 \\
y &= 500-2x
\end{align}
$
Kita substitusi nilai $y$ tersebut ke dalam fungsi luas ($L$) nya untuk mencari nilai luas maksimum lahannya.
$
\begin{align}
L &= x \cdot y \\
&= x(500-2x) \\
&= 500x-2x^{2} \\ \\
L_{\text{max}} &\to L'(x) = 0 \\ \\
500-4x &= 0 \\
x &= 125 \\ \\
L_{\text{max}} &= 500(125)-2(125)^{2} \\
&= 62.500 - 31.250 \\
&= 31.250
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C). \ 31.250$ m2
Soal No.9 : Volume Kotak Maksimum
Sehelai karton akan dibuat kotak tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi. Jika ditentukan jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi permukaan kotak harus $432$ cm2 maka volume kotak maksimum adalah ... cm3
$
\begin{align}
&(A). \ 432 \\
&(B). \ 649 \\
&(C). \ 720 \\
&(D). \ 864 \\
&(E). \ 972
\end{align}
$
Jika kita lihat konsteks bangun ruang yang dipakai pada soal ini kita bisa gunakan pendekatan bangun prisma tegak segiempat beraturan (alas persegi).
Nah, luas permukaan prisma tegak nya yang tanpa tutup adalah
\[ L_p=L_a+K_a \times t \]
dimana masing - masing $L_a \to$ luas alas prisma , $K_a \to$ keliling alas prisma dan $t$ tinggi prisma.
Misal alas nya mempunyai panjang $x$ dan tingginya adalah $t$ maka :
$
\begin{align}
L_p &= L_a+K_a \times t \\
432 &= x^{2} + 4xt \\
t &= \dfrac{432-x^{2}}{4x}
\end{align}
$
Lanjut kita cari volume maksimumnya :
$
\begin{align}
V(x) &= L_a \times t \\
&= x \left( \dfrac{432-x^{2}}{4x} \right) \\
&= 108x - \dfrac{1}{4} x^{3} \\ \\
V_{\text{max}} &\to V'(x) = 0 \\ \\
108 - \dfrac{3}{4}x^{2} &= 0 \\
x^{2} &= 144 \\
x &= 12 \\ \\
V_{\text{max}} &= 108(12)-\dfrac{1}{4}(12)^{3} \\
&= 1.296 - 432 \\
&= 864 \ \text{cm}^{3}
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 864 \ \text{cm}^{3}$.
Soal No.10 : Laju Perubahan Volume
Sebuah perusahaan air minum mempunyai wadah berbentuk kerucut terbalik seperti pada gambar di bawah ini.
Wadah tersebut berisi air dengan ketinggian $h$ dalam meter. Jika pada siang yang terik air dalam wadah tersebut mengalami penguapan sehingga ketinggian air berubah dengan laju penguapan $\dfrac{3}{10 \pi}$ meter/jam maka laju perubahan volume pada saat ketinggian air $5$ m adalah ... m3/jam
$
\begin{align}
&(A). \ \dfrac{5}{2} \\
&(B). \ \dfrac{5}{4} \\
&(C). \ \dfrac{5}{3} \\
&(D). \ \dfrac{4}{5} \\
&(E). \ \dfrac{5}{8}
\end{align}
$
Misalkan $h$ dan $r$ masing-masing menyatakan tinggi dan jari-jari kerucut.
Berdasarkan kesebangunan kerucut:
Saat $h=10$ cm, diperoleh $r=5$ cm.
Dengan demikian, saat $h=5$ cm maka $r=\dfrac{5}{2}$ cm.
Diketahui kecepatan penguapan ketinggian air terhadap waktu $t$ adalah $\dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} = \dfrac{3}{10\pi}~\text{cm/jam}$.
Dengan menggunakan aturan rantai kita akan dapatkan laju perubahan volume dengan menurunkan dari rumus volume kerucut yaitu $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$ terhadap waktu $t$.
Sehingga,
$
\begin{align}
\dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} \\ \\
\dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot \dfrac{3}{10\pi} \\ \\
\dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{r^2}{10} \\ \\
r = \dfrac{5}{2} & \to \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{2} \right)^{2}}{10} \\ \\
& = \dfrac58~\text{cm}^3\text{/jam}
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ \dfrac{5}{8}$ cm3/jam.
Penutup
Nah, itu dia 10 soal cerita aplikasi turunan matematika di kehidupan nyata.
Jadi, jangan cuma mikir turunan itu buat nyelesain soal di kelas aja, ya.
Ternyata, konsep ini terpakai banget buat ngejelasin hal-hal keren, mulai dari kecepatan dan jarak, proyeksi bisnis(biaya dan laba), sampai laju perubahan.
Yuk, terus eksplor terus kemampuan kalian berMATIKA dan jangan takut buat nyoba hal baru.
Belajar itu proses, yang penting nikmatin aja perjalanannya.
See you di pembahasan seru lainnya, guys!
Keep shining! ✨🎉
"Ingatlah: Satu buku, satu pena, satu anak, dan satu guru bisa mengubah dunia." – Malala Yousafzai
1. Pahami Soalnya Dulu
Jangan buru-buru hitung! Baca soal dengan teliti, pahami apa yang ditanya, dan identifikasi informasi yang diberikan.2. Buat Gambar Sketsa
Kalau soalnya melibatkan bentuk fisik, coba buat sketsa atau gambar sederhana yang bisa bantu kamu memahami maksud soal lebih utuh lagi.3. Gunakan Rumus Turunan yang Tepat
Pastikan kamu tahu rumus dasar turunan, seperti:- Turunan \( f(x) = ax^n \) adalah \( f'(x) = n \cdot ax^{n-1} \)
- Turunan fungsi trigonometri, seperti \( \sin x, \cos x, \tan x \)
4. Latihan, Latihan, dan Latihan!
Makin sering kamu latihan soal, makin mudah kamu memahami pola-pola yang sering muncul di soal ujian.10 Soal Cerita Aplikasi Turunan Kamu Harus Tahu
Biar kamu ngga gagal paham, ada baiknya sebelum lihat pembahasannya kamu cobain dulu deh semampu kamu.Sekuat tekadmu untuk bisa!
Trust me !!!
Belajar matematika emang ngga seperti baca novel yang cukup dibaca dan dibayangin lalu selesai, kamu butuh coret - coret nyobain sendiri baru paham.
Soal No.1 : Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung kurva $y=x^{3}+6x^{2}-5x+1$, di titik yang berabsis $1$ adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 10x-y+7=0 \\ &(B). \ 10x-y-7=0 \\ &(C). \ x+10y-7=0 \\ &(D). \ x-10y+7=0 \\ &(E). \ x-10y-7=0 \\ \end{align} $
Persamaan garis singgung kurva $y=x^{3}+6x^{2}-5x+1$, di titik yang berabsis $1$ adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 10x-y+7=0 \\ &(B). \ 10x-y-7=0 \\ &(C). \ x+10y-7=0 \\ &(D). \ x-10y+7=0 \\ &(E). \ x-10y-7=0 \\ \end{align} $
Langkah Pertama : Cari titik singgung kurva.
Absis $1$ artinya $x=1$, substitusikan ke persamaan kurvanya.
$ \begin{align} y &= x^{3}+6x^{2}-5x+1 \\ &= 1^{3}+6 \cdot 1^{2}-5 \cdot 1+1 \\ &= 3 \end{align} $
Kita dapatkan titik singgung kurva $(1,3)$.
Langkah Kedua : Cari besar gradien kurva pada titik singgung $(1,3)$.
Gradien merupakan turunan pertama dari persamaan kurvanya atau bisa kita tulis $m=y'$.
$ \begin{align} y &= x^{3}+6x^{2}-5x+1 \\ m &= 3x^{2}+12 x-5 \\ \\ x=1 \to m &= 3 \cdot 1^{2}+12 \cdot 1 -5 \\ m &= 10 \end{align} $
Langkah Ketiga : Susun persamaan garis singgung kurva dengan gradien $m=10$ dan titik singgung kurva $(1,3)$.
Ingat rumus persamaan garis singgung kurva \[ y-y_1=m(x-x_1) \] Sehingga,
$ \begin{align} y-3 &=10(x-1) \\ y-3 &= 10x-10 \\ 0 &= 10x-y-7 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 10x-y-7=0$
Absis $1$ artinya $x=1$, substitusikan ke persamaan kurvanya.
$ \begin{align} y &= x^{3}+6x^{2}-5x+1 \\ &= 1^{3}+6 \cdot 1^{2}-5 \cdot 1+1 \\ &= 3 \end{align} $
Kita dapatkan titik singgung kurva $(1,3)$.
Langkah Kedua : Cari besar gradien kurva pada titik singgung $(1,3)$.
Gradien merupakan turunan pertama dari persamaan kurvanya atau bisa kita tulis $m=y'$.
$ \begin{align} y &= x^{3}+6x^{2}-5x+1 \\ m &= 3x^{2}+12 x-5 \\ \\ x=1 \to m &= 3 \cdot 1^{2}+12 \cdot 1 -5 \\ m &= 10 \end{align} $
Langkah Ketiga : Susun persamaan garis singgung kurva dengan gradien $m=10$ dan titik singgung kurva $(1,3)$.
Ingat rumus persamaan garis singgung kurva \[ y-y_1=m(x-x_1) \] Sehingga,
$ \begin{align} y-3 &=10(x-1) \\ y-3 &= 10x-10 \\ 0 &= 10x-y-7 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 10x-y-7=0$
Soal No.2 : Ketinggian dan Kecepatan
Andi melempar bola ke atap sebuah rumah. Ketinggian bola saat waktu $t$ (detik) dinyatakan dengan persamaan $h(t)=5- \cos^{2} (\pi t)$. Kecepatan bola ditentukan dengan rumus $v=\dfrac{dh}{dt}$. Besar kecepatan bola saat $t=0,25$ detik adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 0 \\ &(B). \ \pi \\ &(C). \ 2\pi \\ &(D). \ 3\pi \\ &(E). \ 4\pi \end{align} $
Andi melempar bola ke atap sebuah rumah. Ketinggian bola saat waktu $t$ (detik) dinyatakan dengan persamaan $h(t)=5- \cos^{2} (\pi t)$. Kecepatan bola ditentukan dengan rumus $v=\dfrac{dh}{dt}$. Besar kecepatan bola saat $t=0,25$ detik adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 0 \\ &(B). \ \pi \\ &(C). \ 2\pi \\ &(D). \ 3\pi \\ &(E). \ 4\pi \end{align} $
$
\begin{align}
h(t) &= 5- \cos^{2} (\pi t) \\
\dfrac{dh}{dt} &= -2 \cos \pi t \ (- \sin \pi t) \cdot \pi \\
&= \pi \sin (2 \pi t)
\end{align}
$
Untuk $t=\dfrac{1}{4}$ detik maka :
$ \begin{align} \dfrac{dh}{dt} &= \pi \sin (2 \pi t) \\ &= \pi \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ &= \pi \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ \pi$
Untuk $t=\dfrac{1}{4}$ detik maka :
$ \begin{align} \dfrac{dh}{dt} &= \pi \sin (2 \pi t) \\ &= \pi \sin \left( \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ &= \pi \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ \pi$
Soal No.3 : Jarak dan Kecepatan
Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan tertentu sehingga jarak tempuh $s(t)=2t^{2} - 32t$, dengan $s$ dalam meter dan $t$ dalam detik. Kecepatan sesaat yang dialami mobil saat $t$ mendekati $10$ detik adalah ... m/detik
$ \begin{align} &(A). \ 4 \\ &(B). \ 6 \\ &(C). \ 8 \\ &(D). \ 10 \\ &(E). \ 12 \end{align} $
Sebuah mobil bergerak dengan kelajuan tertentu sehingga jarak tempuh $s(t)=2t^{2} - 32t$, dengan $s$ dalam meter dan $t$ dalam detik. Kecepatan sesaat yang dialami mobil saat $t$ mendekati $10$ detik adalah ... m/detik
$ \begin{align} &(A). \ 4 \\ &(B). \ 6 \\ &(C). \ 8 \\ &(D). \ 10 \\ &(E). \ 12 \end{align} $
$
\begin{align}
S(t) &= 2t^2-32t \\ \\
V(t)&= S'(t) \\
&= 4t-32 \\ \\
t \to & 10 \ \text{detik} \\
V(10) &= 4(10)-32 \\
&= 8 \ \text{m/detik}
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 10$
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 10$
Soal No.4 : Luas Maksimum
Sebidang tanah berbentuk persegi panjang akan dipagari kawat untuk beternak bebek. Panjang kawat yang tersedia adalah $400$ meter. Luas tanah maksimum sehingga kawat dapat memagari tanah tersebut adalah ... m2
$ \begin{align} &(A). \ 2.000 \\ &(B). \ 10.000 \\ &(C). \ 18.000 \\ &(D). \ 20.000 \\ &(E). \ 200.000 \end{align} $
Sebidang tanah berbentuk persegi panjang akan dipagari kawat untuk beternak bebek. Panjang kawat yang tersedia adalah $400$ meter. Luas tanah maksimum sehingga kawat dapat memagari tanah tersebut adalah ... m2
$ \begin{align} &(A). \ 2.000 \\ &(B). \ 10.000 \\ &(C). \ 18.000 \\ &(D). \ 20.000 \\ &(E). \ 200.000 \end{align} $
$
\begin{align}
K &=2(p+l) \\
400 &= 2(p+l)
200 &= p+l \\
l &= 200-p \\ \\
L &= p \times l \\
&= p(200-p) \\
&= 200p-p^{2} \\
\end{align}
$
Untuk cari Luas Maksimum maka $L'=0$, sehingga :
$ \begin{align} L &= 200p-p^{2} \\ L' \to 200-2p &= 0 \\ p &= 100 \\ \\ l &= 200-p \\ &= 200 - 100 \\ l &= 100 \\ \\ L_{\text{max}} &= p \times l \\ &= 100 \times 100 \\ &= 10.000 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 10.000$
Untuk cari Luas Maksimum maka $L'=0$, sehingga :
$ \begin{align} L &= 200p-p^{2} \\ L' \to 200-2p &= 0 \\ p &= 100 \\ \\ l &= 200-p \\ &= 200 - 100 \\ l &= 100 \\ \\ L_{\text{max}} &= p \times l \\ &= 100 \times 100 \\ &= 10.000 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 10.000$
Soal No.5 : Ketinggian Maksimum
Sebuah roket ditembakkan ke atas, mencapai tinggi $h$ meter setelah $t$ detik, dirumuskan dengan $h(t)=400t-5t^{2}$. Ketinggian maksimum yang dicapai roket saat meluncur adalah ... meter
$ \begin{align} &(A). \ 8.000 \\ &(B). \ 1.200 \\ &(C). \ 1.800 \\ &(D). \ 24.000 \\ &(E). \ 36.000 \end{align} $
Sebuah roket ditembakkan ke atas, mencapai tinggi $h$ meter setelah $t$ detik, dirumuskan dengan $h(t)=400t-5t^{2}$. Ketinggian maksimum yang dicapai roket saat meluncur adalah ... meter
$ \begin{align} &(A). \ 8.000 \\ &(B). \ 1.200 \\ &(C). \ 1.800 \\ &(D). \ 24.000 \\ &(E). \ 36.000 \end{align} $
$
\begin{align}
h(t) &= 400t-5t^{2} \\ \\
h_{\text{max}}& \to h'(x) = 0 \\ \\
400-10t &= 0 \\
-10 t &= -400 \\
t &= 40 \\ \\
\end{align}
$
Substitusikan $t=40$ ke fungsi $h(t)$ kembali untuk mendapatkan nilai dari $h_{\text{max}}$ nya, sehingga kita akan dapatkan :
$ \begin{align} h_{\text{max}}(40) &= 400(40)-5(40)^{2} \\ &= 16.000 - 5(1.600) \\ &= 8.000 \ \text{m} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). \ 8.000$
Substitusikan $t=40$ ke fungsi $h(t)$ kembali untuk mendapatkan nilai dari $h_{\text{max}}$ nya, sehingga kita akan dapatkan :
$ \begin{align} h_{\text{max}}(40) &= 400(40)-5(40)^{2} \\ &= 16.000 - 5(1.600) \\ &= 8.000 \ \text{m} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). \ 8.000$
Soal No.6 : Biaya Minimum
Untuk memproduksi $x$ unit barang perhari diperlukan biaya $\left( 2x^{3}-2.100x^{2}+600.000x \right)$ rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum jika perhari diproduksi barang ... unit
$ \begin{align} &(A). \ 50 \\ &(B). \ 100 \\ &(C). \ 150 \\ &(D). \ 200 \\ &(E). \ 500 \end{align} $
Untuk memproduksi $x$ unit barang perhari diperlukan biaya $\left( 2x^{3}-2.100x^{2}+600.000x \right)$ rupiah. Biaya produksi akan menjadi minimum jika perhari diproduksi barang ... unit
$ \begin{align} &(A). \ 50 \\ &(B). \ 100 \\ &(C). \ 150 \\ &(D). \ 200 \\ &(E). \ 500 \end{align} $
Misalkan saja fungsi biayanya kita anggap $B(x)$ sehingga :
$ \begin{align} & B(x) = 2x^{3}-2.100x^{2}+600.000x \\ \\ & B_{\text{min}} \to B'(x) = 0 \\ \\ \end{align} $
$ \begin{align} 6x^{2}-4.200x+600.000 &= 0 \ |: 6 \\ x^{2}-700x+100.000 &= 0 \\ (x-500)(x-200) &= 0 \\ x = 500 \ \text{atau} \ x &= 200 \end{align} $
Untuk mengetahui yang mana maksmimum dan minimum kita akan cek melalui $B''(x)$ yaitu turunan keduanya.
$ \begin{align} B''(x) &= 12x-4.200 \\ \\ B''(500) &= 12(500)-4.200 \\ &= 1.800 \ (min) \\ \\ B''(200) &= 12(200)-4.200 \\ &= -1.800 \ (max) \\ \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 500$
$ \begin{align} & B(x) = 2x^{3}-2.100x^{2}+600.000x \\ \\ & B_{\text{min}} \to B'(x) = 0 \\ \\ \end{align} $
$ \begin{align} 6x^{2}-4.200x+600.000 &= 0 \ |: 6 \\ x^{2}-700x+100.000 &= 0 \\ (x-500)(x-200) &= 0 \\ x = 500 \ \text{atau} \ x &= 200 \end{align} $
Untuk mengetahui yang mana maksmimum dan minimum kita akan cek melalui $B''(x)$ yaitu turunan keduanya.
$ \begin{align} B''(x) &= 12x-4.200 \\ \\ B''(500) &= 12(500)-4.200 \\ &= 1.800 \ (min) \\ \\ B''(200) &= 12(200)-4.200 \\ &= -1.800 \ (max) \\ \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 500$
Soal No.7 : Biaya Minimum
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $\left( 3x-900+\dfrac{120}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu ... hari
$ \begin{align} &(A). \ 40 \\ &(B). \ 60 \\ &(C). \ 90 \\ &(D). \ 120 \\ &(E). \ 150 \end{align} $
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam $x$ hari dengan biaya proyek per hari $\left( 3x-900+\dfrac{120}{x} \right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum maka proyek tersebut diselesaikan dalam waktu ... hari
$ \begin{align} &(A). \ 40 \\ &(B). \ 60 \\ &(C). \ 90 \\ &(D). \ 120 \\ &(E). \ 150 \end{align} $
Langkah pertama kita hitung dulu biaya totalnya, misalkan aja $B(x)$, sehingga :
$ \begin{align} & B(x) = x \left( 3x-900+\dfrac{120}{x} \right) \\ & B(x) = 3x^{2} -900x +120 \\ \\ & B_{\text{min}} \to B'(x) = 0 \\ \\ \end{align} $
$ \begin{align} 6x-900 &= 0 \\ 6x &= 900 \\ x &= 150 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 150 $
$ \begin{align} & B(x) = x \left( 3x-900+\dfrac{120}{x} \right) \\ & B(x) = 3x^{2} -900x +120 \\ \\ & B_{\text{min}} \to B'(x) = 0 \\ \\ \end{align} $
$ \begin{align} 6x-900 &= 0 \\ 6x &= 900 \\ x &= 150 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 150 $
Soal No.8 : Luas Lahan Maksimum
Suatu lahan (tanah) yang terletak di daerah pantai akan dibuat menjadi tempat wisata. Seorang pengusaha memagari lahan (tanah) tersebut dengan pagar kawat berduri berbentuk U seperti terlihat pada gambar di bawah.
Panjang kawat berduri yang dibutuhkan untuk memagari lahan adalah sepanjang $500$ meter. Luas tempat wisata maksimum yang diperoleh adalah ... m2
$ \begin{align} &(A). \ 30.200 \\ &(B). \ 31.300 \\ &(C). \ 31.250 \\ &(D). \ 32.150 \\ &(E). \ 35.120 \end{align} $
Suatu lahan (tanah) yang terletak di daerah pantai akan dibuat menjadi tempat wisata. Seorang pengusaha memagari lahan (tanah) tersebut dengan pagar kawat berduri berbentuk U seperti terlihat pada gambar di bawah.
$ \begin{align} &(A). \ 30.200 \\ &(B). \ 31.300 \\ &(C). \ 31.250 \\ &(D). \ 32.150 \\ &(E). \ 35.120 \end{align} $
Jika kita perhatikan gambar lahannya, maka kita akan peroleh :
$ \begin{align} 2x+y &= 500 \\ y &= 500-2x \end{align} $
Kita substitusi nilai $y$ tersebut ke dalam fungsi luas ($L$) nya untuk mencari nilai luas maksimum lahannya.
$ \begin{align} L &= x \cdot y \\ &= x(500-2x) \\ &= 500x-2x^{2} \\ \\ L_{\text{max}} &\to L'(x) = 0 \\ \\ 500-4x &= 0 \\ x &= 125 \\ \\ L_{\text{max}} &= 500(125)-2(125)^{2} \\ &= 62.500 - 31.250 \\ &= 31.250 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C). \ 31.250$ m2
$ \begin{align} 2x+y &= 500 \\ y &= 500-2x \end{align} $
Kita substitusi nilai $y$ tersebut ke dalam fungsi luas ($L$) nya untuk mencari nilai luas maksimum lahannya.
$ \begin{align} L &= x \cdot y \\ &= x(500-2x) \\ &= 500x-2x^{2} \\ \\ L_{\text{max}} &\to L'(x) = 0 \\ \\ 500-4x &= 0 \\ x &= 125 \\ \\ L_{\text{max}} &= 500(125)-2(125)^{2} \\ &= 62.500 - 31.250 \\ &= 31.250 \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C). \ 31.250$ m2
Soal No.9 : Volume Kotak Maksimum
Sehelai karton akan dibuat kotak tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi. Jika ditentukan jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi permukaan kotak harus $432$ cm2 maka volume kotak maksimum adalah ... cm3
$ \begin{align} &(A). \ 432 \\ &(B). \ 649 \\ &(C). \ 720 \\ &(D). \ 864 \\ &(E). \ 972 \end{align} $
Sehelai karton akan dibuat kotak tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi. Jika ditentukan jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi permukaan kotak harus $432$ cm2 maka volume kotak maksimum adalah ... cm3
$ \begin{align} &(A). \ 432 \\ &(B). \ 649 \\ &(C). \ 720 \\ &(D). \ 864 \\ &(E). \ 972 \end{align} $
Jika kita lihat konsteks bangun ruang yang dipakai pada soal ini kita bisa gunakan pendekatan bangun prisma tegak segiempat beraturan (alas persegi).
Nah, luas permukaan prisma tegak nya yang tanpa tutup adalah \[ L_p=L_a+K_a \times t \] dimana masing - masing $L_a \to$ luas alas prisma , $K_a \to$ keliling alas prisma dan $t$ tinggi prisma.
Misal alas nya mempunyai panjang $x$ dan tingginya adalah $t$ maka :
$ \begin{align} L_p &= L_a+K_a \times t \\ 432 &= x^{2} + 4xt \\ t &= \dfrac{432-x^{2}}{4x} \end{align} $
Lanjut kita cari volume maksimumnya :
$ \begin{align} V(x) &= L_a \times t \\ &= x \left( \dfrac{432-x^{2}}{4x} \right) \\ &= 108x - \dfrac{1}{4} x^{3} \\ \\ V_{\text{max}} &\to V'(x) = 0 \\ \\ 108 - \dfrac{3}{4}x^{2} &= 0 \\ x^{2} &= 144 \\ x &= 12 \\ \\ V_{\text{max}} &= 108(12)-\dfrac{1}{4}(12)^{3} \\ &= 1.296 - 432 \\ &= 864 \ \text{cm}^{3} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 864 \ \text{cm}^{3}$.
Nah, luas permukaan prisma tegak nya yang tanpa tutup adalah \[ L_p=L_a+K_a \times t \] dimana masing - masing $L_a \to$ luas alas prisma , $K_a \to$ keliling alas prisma dan $t$ tinggi prisma.
Misal alas nya mempunyai panjang $x$ dan tingginya adalah $t$ maka :
$ \begin{align} L_p &= L_a+K_a \times t \\ 432 &= x^{2} + 4xt \\ t &= \dfrac{432-x^{2}}{4x} \end{align} $
Lanjut kita cari volume maksimumnya :
$ \begin{align} V(x) &= L_a \times t \\ &= x \left( \dfrac{432-x^{2}}{4x} \right) \\ &= 108x - \dfrac{1}{4} x^{3} \\ \\ V_{\text{max}} &\to V'(x) = 0 \\ \\ 108 - \dfrac{3}{4}x^{2} &= 0 \\ x^{2} &= 144 \\ x &= 12 \\ \\ V_{\text{max}} &= 108(12)-\dfrac{1}{4}(12)^{3} \\ &= 1.296 - 432 \\ &= 864 \ \text{cm}^{3} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \ 864 \ \text{cm}^{3}$.
Soal No.10 : Laju Perubahan Volume
Sebuah perusahaan air minum mempunyai wadah berbentuk kerucut terbalik seperti pada gambar di bawah ini.
Wadah tersebut berisi air dengan ketinggian $h$ dalam meter. Jika pada siang yang terik air dalam wadah tersebut mengalami penguapan sehingga ketinggian air berubah dengan laju penguapan $\dfrac{3}{10 \pi}$ meter/jam maka laju perubahan volume pada saat ketinggian air $5$ m adalah ... m3/jam
$ \begin{align} &(A). \ \dfrac{5}{2} \\ &(B). \ \dfrac{5}{4} \\ &(C). \ \dfrac{5}{3} \\ &(D). \ \dfrac{4}{5} \\ &(E). \ \dfrac{5}{8} \end{align} $
Sebuah perusahaan air minum mempunyai wadah berbentuk kerucut terbalik seperti pada gambar di bawah ini.
$ \begin{align} &(A). \ \dfrac{5}{2} \\ &(B). \ \dfrac{5}{4} \\ &(C). \ \dfrac{5}{3} \\ &(D). \ \dfrac{4}{5} \\ &(E). \ \dfrac{5}{8} \end{align} $
Misalkan $h$ dan $r$ masing-masing menyatakan tinggi dan jari-jari kerucut.
Berdasarkan kesebangunan kerucut:
Saat $h=10$ cm, diperoleh $r=5$ cm.
Dengan demikian, saat $h=5$ cm maka $r=\dfrac{5}{2}$ cm.
Diketahui kecepatan penguapan ketinggian air terhadap waktu $t$ adalah $\dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} = \dfrac{3}{10\pi}~\text{cm/jam}$.
Dengan menggunakan aturan rantai kita akan dapatkan laju perubahan volume dengan menurunkan dari rumus volume kerucut yaitu $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$ terhadap waktu $t$.
Sehingga,
$ \begin{align} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} \\ \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot \dfrac{3}{10\pi} \\ \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{r^2}{10} \\ \\ r = \dfrac{5}{2} & \to \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{2} \right)^{2}}{10} \\ \\ & = \dfrac58~\text{cm}^3\text{/jam} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ \dfrac{5}{8}$ cm3/jam.
Berdasarkan kesebangunan kerucut:
Saat $h=10$ cm, diperoleh $r=5$ cm.
Dengan demikian, saat $h=5$ cm maka $r=\dfrac{5}{2}$ cm.
Diketahui kecepatan penguapan ketinggian air terhadap waktu $t$ adalah $\dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} = \dfrac{3}{10\pi}~\text{cm/jam}$.
Dengan menggunakan aturan rantai kita akan dapatkan laju perubahan volume dengan menurunkan dari rumus volume kerucut yaitu $V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$ terhadap waktu $t$.
Sehingga,
$ \begin{align} \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{\text{d}V} {\text{d}h} \cdot \dfrac{\text{d}h} {\text{d}t} \\ \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot \dfrac{3}{10\pi} \\ \\ \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} & = \dfrac{r^2}{10} \\ \\ r = \dfrac{5}{2} & \to \dfrac{\text{d}V} {\text{d}t} = \dfrac{\left(\dfrac{5}{2} \right)^{2}}{10} \\ \\ & = \dfrac58~\text{cm}^3\text{/jam} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(E). \ \dfrac{5}{8}$ cm3/jam.
Penutup
Nah, itu dia 10 soal cerita aplikasi turunan matematika di kehidupan nyata.Jadi, jangan cuma mikir turunan itu buat nyelesain soal di kelas aja, ya.
Ternyata, konsep ini terpakai banget buat ngejelasin hal-hal keren, mulai dari kecepatan dan jarak, proyeksi bisnis(biaya dan laba), sampai laju perubahan.
Yuk, terus eksplor terus kemampuan kalian berMATIKA dan jangan takut buat nyoba hal baru.
Belajar itu proses, yang penting nikmatin aja perjalanannya.
See you di pembahasan seru lainnya, guys!
Keep shining! ✨🎉
"Ingatlah: Satu buku, satu pena, satu anak, dan satu guru bisa mengubah dunia." – Malala Yousafzai
