Pembuktian Rumus Turunan U Kali V dan U Per V
Ini adalah pembuktian lengkap darimana rumus turunan perkalian dan pembagian $u$ dan $v$ yang sering kamu pakai.
Sebenarnya bebas saja penyebutannya, hanya saja dalam buku - buku karena sering dinamakan dengan nama fungsi $u$ dan $v$ maka rumus turunan yang satu ini disebut dengan rumus turunan $u$ $v$ (baca: u ve u ve).
Pernah nggak sih kamu terpikir darimana rumus itu berasal?
Yuk, kita bedah di sini asal muasal rumus turunan itu dapatnya darimana.
Misalkan $f(x)= u(x) \cdot v(x)$.
Nah untuk membuktikan turunan pertama dari $f(x)$ kita akan pakai definisi dari turunan menggunakan limit, dimana : \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \] Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x) \{ u(x+h)-u(x) \}+u(x) \{ v(x+h)-v(x) \} }{h} \\ &= v(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \{v(x+h)-v(x) \}}{h} \\ &= u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \end{align} $
Jadi, jika $f(x)= u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.
(TERBUKTI!)
Misalkan saja $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$.
Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\dfrac{u(x+h)}{v(x+h)} - \dfrac{u(x)}{v(x)}}{h} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x) - u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)} \\ \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(u(x+h) - u(x))v(x) - u(x)(v(x+h) - v(x))}{h \cdot v(x+h)v(x)} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{v(x+h)v(x)} \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} v(x) - u(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right) \\ \\ &= \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{align} $
Jadi, jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$.
(TERBUKTI!)
Intinya, kedua rumus ini berasal dari definisi dasar turunan.
Kalau paham konsepnya, ngapalin rumus jadi gampang banget.
Semangat terus belajar matematika, ya! 🚀
Sebenarnya bebas saja penyebutannya, hanya saja dalam buku - buku karena sering dinamakan dengan nama fungsi $u$ dan $v$ maka rumus turunan yang satu ini disebut dengan rumus turunan $u$ $v$ (baca: u ve u ve).
Pernah nggak sih kamu terpikir darimana rumus itu berasal?
Yuk, kita bedah di sini asal muasal rumus turunan itu dapatnya darimana.
A.Pembuktian Rumus Turunan Perkalian $U$ dan $V$
Kita akan buktikan dari mana rumus turunan $u$ dan $v$ yang berbentuk perkalian berasal.Misalkan $f(x)= u(x) \cdot v(x)$.
Nah untuk membuktikan turunan pertama dari $f(x)$ kita akan pakai definisi dari turunan menggunakan limit, dimana : \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \] Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x+h)v(x)+u(x+h)v(x)-u(x)v(x)}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x) \{ u(x+h)-u(x) \}+u(x) \{ v(x+h)-v(x) \} }{h} \\ &= v(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)-u(x)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) \{v(x+h)-v(x) \}}{h} \\ &= u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \end{align} $
Jadi, jika $f(x)= u(x) \cdot v(x)$ maka $f'(x)= u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$.
(TERBUKTI!)
B.Pembuktian Rumus Turunan Pembagian $U$ dan $V$
Untuk membuktikan rumus $u$ dan $v$ yang berbentuk pembagian caranya nggak jauh beda dengan yang perkalian.Misalkan saja $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$.
Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{\dfrac{u(x+h)}{v(x+h)} - \dfrac{u(x)}{v(x)}}{h} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x) - u(x)v(x+h)}{h \cdot v(x+h)v(x)} \\ \\ & = \lim_{h \to 0} \dfrac{(u(x+h) - u(x))v(x) - u(x)(v(x+h) - v(x))}{h \cdot v(x+h)v(x)} \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{v(x+h)v(x)} \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} v(x) - u(x) \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right) \\ \\ &= \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)} \end{align} $
Jadi, jika $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ maka $f'(x)= \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v^2(x)}$.
(TERBUKTI!)
C. Contoh Soal dan Pembahasan
Biar makin mantab dan jauh lebih paham tentang penggunaan rumus $u$ dan $v$, yuk kita praktekkan dalam soal.
Soal No.1
Turunan $y=(x+1)^{2}(2x-3)$ adalah...
$ \begin{align} & (A). (2x+2)(3x-2) \\ & (B). (2x+2)(3x+2) \\ & (C). (2x-2)(3x-2) \\ & (D). (2x-2)(3x+2) \\ & (E). (2x-2)(3x-3) \end{align} $
Turunan $y=(x+1)^{2}(2x-3)$ adalah...
$ \begin{align} & (A). (2x+2)(3x-2) \\ & (B). (2x+2)(3x+2) \\ & (C). (2x-2)(3x-2) \\ & (D). (2x-2)(3x+2) \\ & (E). (2x-2)(3x-3) \end{align} $
Misal :
$u(x)=(x+1)^{2} \to u'(x)=2(x+1)$
$v(x)=2x-3 \to v'(x)=2$.
Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\ &= 2(x+1)(2x-3)+(x+1)^{2}(2) \\ &= 2(x+1)(2x-3)+2(x+1)(x+1) \\ &= 2(x+1)(2x-3+x+1) \\ &= (2x+2)(3x-2) \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). (2x+2)(3x-2)$.
$u(x)=(x+1)^{2} \to u'(x)=2(x+1)$
$v(x)=2x-3 \to v'(x)=2$.
Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\ &= 2(x+1)(2x-3)+(x+1)^{2}(2) \\ &= 2(x+1)(2x-3)+2(x+1)(x+1) \\ &= 2(x+1)(2x-3+x+1) \\ &= (2x+2)(3x-2) \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(A). (2x+2)(3x-2)$.
Soal No.2
Jika $f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{x^{2}+2x+1}$, maka $f'(2)$ adalah...
$ \begin{align} & (A). -\dfrac{2}{9} \\ & (B). \dfrac{1}{9} \\ & (C). \dfrac{1}{8} \\ & (D). \dfrac{7}{27} \\ & (E). \dfrac{7}{4} \end{align} $
Jika $f(x)=\dfrac{x^{2}-3x}{x^{2}+2x+1}$, maka $f'(2)$ adalah...
$ \begin{align} & (A). -\dfrac{2}{9} \\ & (B). \dfrac{1}{9} \\ & (C). \dfrac{1}{8} \\ & (D). \dfrac{7}{27} \\ & (E). \dfrac{7}{4} \end{align} $
Misal :
$u(x)=(x^{2}-3x) \to u'(x)=(2x-3)$
$v(x)=(x^{2}+2x+1) \to v'(x)=(2x+2)$.
Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{(2x-3)(x^{2}+2x+1)-(x^{2}-3x )(2x+2)}{(x^{2}+2x+1)^{2}} \\ \\ f'(2) &= \dfrac{(2(2)-3)((2)^{2}+2(2)+1)-((2)^{2}-3(2) )(2(2)+2)}{((2)^{2}+2(2)+1)^{2}} \\ &= \dfrac{9+12}{9^{2}} \\ &= \dfrac{7}{27} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \dfrac{7}{27}$.
$u(x)=(x^{2}-3x) \to u'(x)=(2x-3)$
$v(x)=(x^{2}+2x+1) \to v'(x)=(2x+2)$.
Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{(2x-3)(x^{2}+2x+1)-(x^{2}-3x )(2x+2)}{(x^{2}+2x+1)^{2}} \\ \\ f'(2) &= \dfrac{(2(2)-3)((2)^{2}+2(2)+1)-((2)^{2}-3(2) )(2(2)+2)}{((2)^{2}+2(2)+1)^{2}} \\ &= \dfrac{9+12}{9^{2}} \\ &= \dfrac{7}{27} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \dfrac{7}{27}$.
Soal No.3
Diketahui $f'(x)$ merupakan turunan pertama dari fungsi $f(x)$. Jika \( f(x) = x^3 \cos x \) maka turunan pertamanya adalah ...
Diketahui $f'(x)$ merupakan turunan pertama dari fungsi $f(x)$. Jika \( f(x) = x^3 \cos x \) maka turunan pertamanya adalah ...
Misalkan \( u(x) = x^3 \) dan \( v(x) = \cos x \).
\[
u'(x) = 3x^2 \quad \text{dan} \quad v'(x) = -\sin x
\]
Substitusi:
$ \begin{align} f'(x) &= u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\ &= 3x^2 \cos x + x^3 (-\sin x) \\ &= 3x^2 \cos x - x^3 \sin x \end{align} $
Jadi, $f'(x)=3x^2 \cos x - x^3 \sin x $
$ \begin{align} f'(x) &= u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \\ &= 3x^2 \cos x + x^3 (-\sin x) \\ &= 3x^2 \cos x - x^3 \sin x \end{align} $
Jadi, $f'(x)=3x^2 \cos x - x^3 \sin x $
Soal No.4
Turunan pertama dari $f(x)=\dfrac{3x-4}{x+2}$ adalah $f'(x)=$ ...
$ \begin{align} & (A). \dfrac{6x+2}{(x+2)^{2}} \\ & (B). \dfrac{-6}{(x+2)^{2}} \\ & (C). \dfrac{2}{(x+2)^{2}} \\ & (D). \dfrac{10}{(x+2)^{2}} \\ & (E). 3 \end{align} $
Turunan pertama dari $f(x)=\dfrac{3x-4}{x+2}$ adalah $f'(x)=$ ...
$ \begin{align} & (A). \dfrac{6x+2}{(x+2)^{2}} \\ & (B). \dfrac{-6}{(x+2)^{2}} \\ & (C). \dfrac{2}{(x+2)^{2}} \\ & (D). \dfrac{10}{(x+2)^{2}} \\ & (E). 3 \end{align} $
Misal :
$u(x)=(3x-4) \to u'(x)=3$
$v(x)=(x+2) \to v'(x)=1$.
Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{3(x+2)-(3x-4)}{(x+2)^{2}} \\ &= \dfrac{3x+6-3x+4}{(x+2)^{2}} \\ &= \dfrac{10}{(x+2)^{2}} \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \dfrac{10}{(x+2)^{2}}$.
$u(x)=(3x-4) \to u'(x)=3$
$v(x)=(x+2) \to v'(x)=1$.
Sehingga,
$ \begin{align} f'(x) &= \dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)} \\ &= \dfrac{3(x+2)-(3x-4)}{(x+2)^{2}} \\ &= \dfrac{3x+6-3x+4}{(x+2)^{2}} \\ &= \dfrac{10}{(x+2)^{2}} \\ \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(D). \dfrac{10}{(x+2)^{2}}$.
Soal No.5
Diberikan $f(x)=\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right)$. Jika $f'(0)=3$ dan $f'(-1)=10$, maka $f'\left( -\dfrac{1}{2} \right)=$ ...
$ \begin{align} & (A). -\dfrac{15}{4} \\ & (B). -\dfrac{13}{4} \\ & (C). -\dfrac{11}{4} \\ & (D). -\dfrac{9}{4} \\ & (E). -\dfrac{7}{4} \end{align} $
Diberikan $f(x)=\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right)$. Jika $f'(0)=3$ dan $f'(-1)=10$, maka $f'\left( -\dfrac{1}{2} \right)=$ ...
$ \begin{align} & (A). -\dfrac{15}{4} \\ & (B). -\dfrac{13}{4} \\ & (C). -\dfrac{11}{4} \\ & (D). -\dfrac{9}{4} \\ & (E). -\dfrac{7}{4} \end{align} $
Misal :
$u(x)=\left( ax^{2}+bx+c \right) \to u'(x)=\left( 2ax+b \right)$
$v(x)=\left( x^{2} +x \right) \to v'(x)=\left( 2x + 1 \right)$.
Sehingga,
$ \begin{align} f\left( x \right) & = \left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right) \\ f'\left( x \right) & = \left( 2ax +b \right) \left( x^{2} +x \right)+\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( 2x + 1 \right) \\ \hline f'\left( 0 \right) & = \left( 2a(0) +b \right) \left( (0)^{2} + (0) \right)+\left( a(0)^{2}+b(0)+c \right) \left( 2(0) + 1 \right) \\ 3 & = \left( 0 +b \right) \left( 0 \right)+\left( 0+0+c \right) \left( 1 \right) \\ 3 & = c \\ \hline f'\left( -1 \right) & = \left( 2a(-1) +b \right) \left( (-1)^{2} + (-1) \right)+\left( a(-1)^{2}+b(-1)+c \right) \left( 2(-1) + 1 \right) \\ 10 & = \left( -2a+b \right) \left( 0 \right)+\left( a -b +c \right) \left( -1 \right) \\ 10 & = \left( a -b +3 \right) \left( -1 \right) \\ -10 & = a -b +3 \\ -13 & = a -b \\ \hline f'\left( -\frac{1}{2} \right) & = \left( 2a\left( -\frac{1}{2} \right) +b \right) \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) \right)+ \\ &\ \ \ \left( a\left( -\frac{1}{2} \right)^{2}+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c \right) \left( 2\left( -\frac{1}{2} \right) + 1 \right) \\ & = \left( -a+b \right) \left( \frac{1}{4} -\frac{1}{2} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( -1 + 1 \right) \\ & = -\left( a-b \right) \left( -\frac{1}{4} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( 0 \right) \\ & = -\left( -13 \right) \left( -\frac{1}{4} \right) \\ & = -\dfrac{13}{4} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). -\dfrac{13}{4}$.
$u(x)=\left( ax^{2}+bx+c \right) \to u'(x)=\left( 2ax+b \right)$
$v(x)=\left( x^{2} +x \right) \to v'(x)=\left( 2x + 1 \right)$.
Sehingga,
$ \begin{align} f\left( x \right) & = \left( ax^{2}+bx+c \right) \left( x^{2} +x \right) \\ f'\left( x \right) & = \left( 2ax +b \right) \left( x^{2} +x \right)+\left( ax^{2}+bx+c \right) \left( 2x + 1 \right) \\ \hline f'\left( 0 \right) & = \left( 2a(0) +b \right) \left( (0)^{2} + (0) \right)+\left( a(0)^{2}+b(0)+c \right) \left( 2(0) + 1 \right) \\ 3 & = \left( 0 +b \right) \left( 0 \right)+\left( 0+0+c \right) \left( 1 \right) \\ 3 & = c \\ \hline f'\left( -1 \right) & = \left( 2a(-1) +b \right) \left( (-1)^{2} + (-1) \right)+\left( a(-1)^{2}+b(-1)+c \right) \left( 2(-1) + 1 \right) \\ 10 & = \left( -2a+b \right) \left( 0 \right)+\left( a -b +c \right) \left( -1 \right) \\ 10 & = \left( a -b +3 \right) \left( -1 \right) \\ -10 & = a -b +3 \\ -13 & = a -b \\ \hline f'\left( -\frac{1}{2} \right) & = \left( 2a\left( -\frac{1}{2} \right) +b \right) \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) \right)+ \\ &\ \ \ \left( a\left( -\frac{1}{2} \right)^{2}+b\left( -\frac{1}{2} \right)+c \right) \left( 2\left( -\frac{1}{2} \right) + 1 \right) \\ & = \left( -a+b \right) \left( \frac{1}{4} -\frac{1}{2} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( -1 + 1 \right) \\ & = -\left( a-b \right) \left( -\frac{1}{4} \right)+ \left( \frac{1}{4}a - \frac{1}{2}b + 3 \right) \left( 0 \right) \\ & = -\left( -13 \right) \left( -\frac{1}{4} \right) \\ & = -\dfrac{13}{4} \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). -\dfrac{13}{4}$.
Penutup
Mudahkan pembuktian rumus turunannya?Intinya, kedua rumus ini berasal dari definisi dasar turunan.
Kalau paham konsepnya, ngapalin rumus jadi gampang banget.
Semangat terus belajar matematika, ya! 🚀
"Genius is one percent inspiration and ninety-nine percent perspiration." – Thomas Edison