Lompat ke konten Lompat ke sidebar Lompat ke footer

Proyeksi Vektor: Seni Memahami Bayangan di Dunia Matematika

Pernah nggak sih kamu dengar kata "proyeksi"?

Dalam kehidupan sehari-hari, proyeksi bisa diartikan sebagai bayangan atau gambaran sesuatu pada permukaan.

Nah, dalam matematika, khususnya di vektor, proyeksi punya arti yang nggak jauh beda.

Yuk, kita bahas proyeksi vektor orthogonal dengan cara yang sederhana!

Salah satu subtopik dalam vektor yang wajib buat kamu ketahui adalah permasalahan proyeksi vektor.

Misalkan kamu punya dua buah vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ yang kedua pangkalnya bertemu pada satu titik yang sama, maka kamu bisa buat vektor proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$, sebut saja vektor $\vec{c}$.
Proyeksi ortogonal vektor $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$ menghasilkan vektor $\vec{c}$ dimana ujung vektor $\vec{c}$ dibatasi oleh sebuah garis tegak lurus terhadap vektor $\vec{b}$ yang ditarik dari ujung vektor $\vec{a}$ ke vektor $\vec{b}$.

Nah pembahasan tentang proyeksi vektor ini dapat kita bagi menjadi tiga bagian penting biar kamu enak belajarnya, yaitu : Proyeksi Skalar Vektor pada Vektor (menentukan besar skalar vektornya), Proyeksi Vektor pada Vektor (menentukan vektor proyeksinya), dan Panjang Proyeksi Vektor pada Vektor (menentukan panjang vektor proyeksinya)


1. Proyeksi Skalar Vektor pada Vektor

Skalar vektor proyeksi adalah besar dan arah $\vec{c}$ yang merupakan vektor hasil proyeksi terhadap vektor $\vec{b}$.

Untuk menentukan nilai skalar dari sebuah proyeksi vektor pada vektor kamu bisa pakai rumus di bawah ini.

Proyeksi skalar orthogonal vektor $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$ :
Proyeksi Skalar $= \begin{align} \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \end{align}$

Hati - hati ! Proyeksi skalar vektor bukanlah panjang vektor hasil proyeksinya.

Karena proyeksi skalar ini menentukan besar dan arah vektor hasil proyeksinya, maka nilainya bisa saja positif ataupun negatif jika arahnya berlawanan.

Biar kamu lebih jelas, coba cek ilustrasi di bawah.

a) Skalarnya Positif

Hasil proyeksi skalar vektornya akan positif jika $\vec{c}$ searah dengan $\vec{b}$.

b) Skalarnya Negatif

Hasil proyeksi skalar vektornya akan negatif jika $\vec{c}$ berlawanan arah dengan $\vec{b}$.

c) Skalarnya Nol

Hasil proyeksi skalar vektornya akan nol jika $\vec{a}$ tegak lurus dengan $\vec{b}$.

2. Proyeksi Vektor pada Vektor

Vektor ($\vec{c}$) yang merupakan vektor hasil proyeksi $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ bisa kamu cari dengan menggunakan rumus :

Proyeksi vektor orthogonal $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$ :
Proyeksi Vektor $= \begin{align} \left( \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \end{align}$


3. Panjang Vektor Proyeksi

Nah, untuk mencari panjang vektor $\vec{c}$ yang merupakan vektor hasil proyeksi tadi kamu bisa menggunakan rumus :

Panjang proyeksi vektor ortogonal $\vec{a}$ pada vektor $\vec{b}$ :
Panjang proyeksi $= \begin{align} \left| \frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \end{align}$

Catatan ! Nilai panjang vektor hasil proyeksi selalu positif.

Selain dengan menggunakan rumus di atas, kamu juga masih bisa pakai rumus mencari panjang vektor biasa jika komponen - komponen $\vec{c}$ nya diketahui.

Jadi, misalkan $\vec{c}=(c_1, c_2, c_3)$ maka : \[ \left| \vec{c} \right| =\sqrt{ (c_1)^{2}, (c_2)^{2}, (c_3)^{2}} \]

Kumpulan Soal dan Pembahasan

Biar kamu makin paham, yuk simak beberapa contoh soal dan pembahasan di bawah ini, jangan di skip - skip ya. Santuy aja baca dan mahaminnya.

Soal No.1
Diketahui vektor $\vec{a}=(2,-3,1)$ dan vektor $\vec{b}=(-2,2,-1)$
Tentukan :
a). Proyeksi skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$.
b). Proyeksi skalar $\vec{b}$ pada $\vec{a}$.
c). Proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$.
d). Proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$.
e). Panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$.
f). Panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$.
a). Proyeksi skalar $\vec{a}$ pada $\vec{b}$

$ \begin{align} & = \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & = \dfrac{(2, -3, 1).(-2, 2, -1)}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} } \\ & = \dfrac{2(-2) + (-3)2 + 1(-1) }{\sqrt{9} } \\ & = \dfrac{-4 - 6 - 1 }{3} \\ & = \dfrac{-11}{3} \end{align} $

b). Proyeksi skalar $\vec{b}$ pada $\vec{a}$

$ \begin{align} & = \dfrac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \\ & = \dfrac{(-2, 2, -1).(2, -3, 1)}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} } \\ & = \dfrac{(-2)2 + 2(-3) + (-1)1 }{\sqrt{14} } \\ & = \dfrac{-4 - 6 - 1 }{\sqrt{14}} \\ & = \dfrac{-11}{\sqrt{14}} \end{align} $

c). Proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$

$ \begin{align} & = \left( \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b} \\ & = \left( \dfrac{-11}{9} \right) (-2, 2, -1) \\ & = \left( \dfrac{22}{9} , -\dfrac{22}{9} , \dfrac{11}{9} \right) \end{align} $

d). Proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$

$ \begin{align} & = \left( \dfrac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a} \\ & = \left( \dfrac{-11}{14} \right) (2, -3, 1) \\ & = \left( -\dfrac{22}{14} , \dfrac{33}{14} , -\dfrac{11}{14} \right) \end{align} $

e). Panjang proyeksi vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$

$ \begin{align} & = \left| \dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{b}|} \right| \\ & = \left| \dfrac{-11}{3} \right| \\ & = \dfrac{11}{3} \end{align} $

f). Panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$

$ \begin{align} & = \left| \dfrac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|} \right| \\ & = \left| \dfrac{-11}{\sqrt{14}} \right| \\ & = \dfrac{11}{\sqrt{14}} \end{align} $
Soal No.2
Diketahui vektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ a \\ 1 \end{pmatrix}$ dan panjang proyeksi skalar vektor $\vec{u}$ pada vektor $\vec{v}$ adalah $\sqrt{14}$. Nilai $a$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). -1 \\ & (B). 0 \\ & (C). 1 \\ & (D). 2 \\ & (E). 3 \end{align} $
$ \begin{align} \sqrt{14} &= \left| \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{v}|} \right| \\ \sqrt{14} &= \left| \dfrac{(2,3,2) \cdot (3,a,1)}{\sqrt{3^2 + a^2 +1}} \right| \\ \sqrt{14} \sqrt{10+a^2} &= 6+3a+2 \\ \sqrt{140 + 14a^2} &= 8+3a \\ 140 + 14a^2 &= (8+3a)^{2} \\ 140 + 14a^2 &= 64+48a+9a^2 \\ 5a^2 -48a +76 &= 0 \\ (5a-38)(a-2) &= 0 \\ a=\dfrac{38}{5} \ \text{atau} \ a &= 2 \end{align} $

Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(D). 2$.
Soal No.3
Jika $\vec{a} = 3\vec{i}+\vec{j}-2\vec{k}$ dan $\vec{b} = 6\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$ maka proyeksi skalar orthogonal vektor $\vec{a}$ pada $\vec{b}$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 1 \\ & (B). 2 \\ & (C). 3 \\ & (D). 4 \\ & (E). 5 \end{align} $
$ \begin{align} \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |} &= \dfrac{3(6)+1(2)+(-2)3}{\sqrt{6^2+2^2+3^2}} \\ &= \dfrac{18+2-6}{\sqrt{36+4+9}} \\ &= \dfrac{14}{\sqrt{49}} \\ &= 2 \end{align} $

Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B). 2$.
Soal No.4
Diketahui $\vec{a}=(-2,3,6)$, $\vec{b}=(1,1,-1)$ dan $\vec{c}=(0,-3,10)$. Proyeksi vektor orthogonal $\vec{c}$ pada $(\vec{a}+\vec{b})$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \left( \dfrac{18}{21}, -\dfrac{72}{21}, \dfrac{70}{21} \right) \\ & (B). \left( -\dfrac{19}{21}, \dfrac{76}{21}, \dfrac{95}{21} \right) \\ & (C). \left( \dfrac{17}{21}, \dfrac{70}{21}, -\dfrac{81}{21} \right) \\ & (D). \left( \dfrac{15}{21}, -\dfrac{78}{21}, \dfrac{104}{21} \right) \\ & (E). \left( -\dfrac{13}{21}, \dfrac{79}{21}, \dfrac{54}{21} \right) \end{align} $
$\vec{c}=(0,-3,10)$
$\vec{a}+\vec{b}=(-1,4,5)$

Proyeksi vektor orthogonal $\vec{c}$ pada $(\vec{a}+\vec{b})$ :

$ \begin{align} &= \dfrac{\vec{c} \cdot ( \vec{a}+\vec{b} )}{\left| \vec{a}+\vec{b} \right|^{2}} \cdot ( \vec{a}+\vec{b} ) \\ &= \dfrac{0(-1)+(-3)4+10(5)}{(-1)^2+4^2+5^2} \cdot (-1,4,5) \\ &= \dfrac{38}{42} (-1,4,5) \\ &= \dfrac{19}{21} (-1,4,5) \\ &= \left( -\dfrac{19}{21}, \dfrac{76}{21}, \dfrac{95}{21} \right) \end{align} $

Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B). \left( -\dfrac{19}{21}, \dfrac{76}{21}, \dfrac{95}{21} \right)$.
Soal No.5
Diketahui $\vec{u}=-\vec{i}+5\vec{j}+6\vec{k}$, $\vec{v}=5\vec{i}-10\vec{j}$ dan $\vec{w}=2\vec{i}+\vec{k}$. Proyeksi skalar $\vec{u}$ pada $\left (\vec{w}-\vec{v} \right)$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \dfrac{42}{\sqrt{110}} \\ & (B). -\dfrac{45}{\sqrt{110}} \\ & (C). \dfrac{47}{\sqrt{110}} \\ & (D). -\dfrac{55}{\sqrt{110}} \\ & (E). \dfrac{59}{\sqrt{110}} \end{align} $
$\vec{u}=(-1,5,6)$
$( \vec{w}-\vec{v} )=(-3,10,1)$

Proyeksi skalar $\vec{u}$ pada $\left (\vec{w}-\vec{v} \right)$ :

$ \begin{align} &= \dfrac{\vec{u} \cdot ( \vec{w}-\vec{v} )}{\left| \vec{w}-\vec{v} \right|} \\ &= \dfrac{(-1)(-3)+5(10)+6(1)}{\sqrt{(-3)^2+(10)^2+1^2}} \\ &= \dfrac{3+50+6}{\sqrt{9+100+1}} \\ &= \dfrac{59}{\sqrt{110}} \end{align} $

Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(E). \dfrac{59}{\sqrt{110}} $.

Kenapa Belajar Proyeksi Vektor itu Penting?

Usut punya usut ternyata proyeksi vektor banyak banget gunanya, loh!

Misalnya:
  • Fisika: Menganalisis komponen gaya pada bidang miring.

  • Grafik Komputer: Menentukan bayangan objek 3D pada layar 2D.

  • Matematika Lanjut: Membantu dalam dekomposisi vektor dan memahami ruang vektor.


Kesimpulan

Proyeksi vektor itu nggak susah kok kalau dipahami pelan-pelan.

Intinya, proyeksi membantu kita melihat hubungan "bayangan" antara dua vektor.

Jadi, kalau ketemu soal tentang proyeksi, ingat aja rumus dan analoginya.

Kamu pasti bisa menguasainya! Semangat belajar, ya! 😊

"A vector is not just a quantity; it’s a direction, a purpose, and a path forward." – Anonim
Kreatif Matematika
Kreatif Matematika Teman Ngopi Belajar Matematika