Jenis - Jenis Penyelesaian Super Mudah Soal Akar Dalam Akar Tak Hingga
Ini adalah kumpulan cara mudah bagaimana menyelesaikan soal - soal akar dalam akar tak hingga dengan mudah.
Ada yang bilang akar bersarang, ada yang bilang akar dalam akar, apapun namanya biasanya suka bikin pikiran auto skip buat mengerjakan soal seperti ini.
Katakan suatu hari kamu ketemu dengan bentuk soal macam ini, \[ \sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+ \cdots}}} = \cdots \] atau \[ 7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7 \ \cdots}}} = \cdots \] Yup, kamu ngga salah lihat.
Akar dalam akarnya memang sampai tak hingga, inilah yang sering disebut dengan bentuk akar bersarang, atau akar dalam akar tak hingga.
Nah, pembahasan kita kali ini akan berfokus bagaimana cara mudah menyelesaikan bentuk soal model seperti ini.
Paling penting adalah ngga usah takut jika ketemu soal seperti ini nanti, sikaat aja he..
Biar makin paham, coba deh kamu cek beberapa contoh soal di bawah ini.
Oke, lanjut ke bentuk akar dalam akar yang selanjutnya ya.
Untuk menyelesaikannya, idenya adalah dengan menguadratkan akar yang paling luar melalui sebuah permisalan.
Atau kamu bisa langsung pakai rumus cepat berikut :
Simak contoh soalnya di bawah ini.
Kamu juga bisa pakai rumus di bawah ini buat menyederhanakan dan mendapatkan solusi cepat dari akar dalam akar dalam bentuk perkalian :
Lanjut ke bentuk akar dalam akar yang selanjutnya ya.
Pada prinsipnya jika kerjakan manual maka kita bisa pakai pendekatan persamaan kuadrat untuk menyelesaikannya.
Tapi karena pembahasan kita kali ini fokus pada penyelesaian super mudah, alias RUMUS CEPAT maka kamu bisa pakai dua rumus di bawah jika ketemu dengan soal akar - dalam akar bentuk penjumlahan dan pengurangan.
Lanjut satu lagi ke bentuk akar dalam akar yang terakhir ya.
Ngga usah bingung, bentuk ini juga ada rumus cepatnya yang bisa kamu pakai untuk menyederhanakan dan mendapatkan solusi super mudahnya.
Dengan cara yang sudah dibahas, kamu pasti bisa menghadapi soal-soal seperti ini tanpa kebingungan.
Jangan lupa, kunci utamanya adalah latihan. 🔥
Semakin sering kamu berlatih, semakin mudah kamu memahami konsepnya. Jadi, terus semangat dan jangan pernah merasa putus asa, ya!
Ingat kata motivasi dari Nelson Mandela: "It always seems impossible until it’s done." Belajar itu mungkin terasa sulit di awal, tapi begitu kamu berhasil, rasanya pasti luar biasa!
Terus berusaha, dan pasti kamu bisa!🚀🔥
Katakan suatu hari kamu ketemu dengan bentuk soal macam ini, \[ \sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+ \cdots}}} = \cdots \] atau \[ 7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7 \ \cdots}}} = \cdots \] Yup, kamu ngga salah lihat.
Akar dalam akarnya memang sampai tak hingga, inilah yang sering disebut dengan bentuk akar bersarang, atau akar dalam akar tak hingga.
Nah, pembahasan kita kali ini akan berfokus bagaimana cara mudah menyelesaikan bentuk soal model seperti ini.
Paling penting adalah ngga usah takut jika ketemu soal seperti ini nanti, sikaat aja he..
Cara Mudah Menyelesaikan Bentuk Soal Dalam Akar
Ada beberapa hal penting nih yang kamu wajib tahu agar bisa menyelesaikan soal akar dalam akar dengan mudah.- Identifikasi dan kenali bentuknya.
Soal akar bersarang ini memang ada beberapa jenis dengan metode penyelesaian yang berbeda pula. Jadi cermati dan jeli dalam mengenali bentuk soalnya tentu akan sangat membantu kamu untuk bisa menyelesaikannya dengan mudah dan cepat. - Fokus pada menghilangkan bentuk akar.
Benar sekali, ide dasar bagaimana cara mudah menyelesaikannya adalah fokus merubah bentuknya sehingga akar-akarnya hilang sehinnga mudah dapat solusinya. - Gunakan operasi aljabar yang sesuai.
Dengan menggunakan operasi aljabar yang sesuai kamu akan dengan mudah mendapatkan penyelesaian akhirnya.
Bentuk - Bentuk Akar Dalam Akar Dan Penyelesainnya
Perhatikan dan kenali bentuk - bentuknya dari beberapa soal yang pernah keluar baik pada ujian nasional tingkat SMA, tes - tes masuk perguruan tinggi negeri, ataupun beberapa soal yang pernah keluar dalam ajar olimpiade.A. Bentuk $\sqrt{(a \pm b) \pm 2\sqrt{ab}}$
Bentuk akar dalam akar yang pertama adalah bentuk akar yang mempunyai bentuk umum dan penyederhanaan :- $\sqrt{(a + b) + 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
- $\sqrt{(a + b) - 2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$
Biar makin paham, coba deh kamu cek beberapa contoh soal di bawah ini.
Soal No.1
Hasil penarikan akar dari $\sqrt{17 + \sqrt{120}}$ adalah..
$ \begin{align} & (A). \sqrt{15}+\sqrt{2} \\ & (B). \sqrt{10}+\sqrt{7} \\ & (C). \sqrt{12}+\sqrt{5} \\ & (D). \sqrt{14}+\sqrt{3} \\ & (E). \sqrt{10}+\sqrt{2} \end{align} $
Hasil penarikan akar dari $\sqrt{17 + \sqrt{120}}$ adalah..
$ \begin{align} & (A). \sqrt{15}+\sqrt{2} \\ & (B). \sqrt{10}+\sqrt{7} \\ & (C). \sqrt{12}+\sqrt{5} \\ & (D). \sqrt{14}+\sqrt{3} \\ & (E). \sqrt{10}+\sqrt{2} \end{align} $
$
\begin{align}
\sqrt{17 + \sqrt{120}} &= \sqrt{17 + \sqrt{4 \cdot 30}} \\
&= \sqrt{17 + 2\sqrt{30}} \\
&= \sqrt{(15+2) + 2\sqrt{15 \cdot 2}} \\
&= \sqrt{15}+\sqrt{2}
\end{align}
$
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(A). \sqrt{15}+\sqrt{2} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(A). \sqrt{15}+\sqrt{2} $
Soal No.2
Diberikan $a$ dan $b$ bilangan asli dengan $a \gt b$. Jika $\sqrt{95 + 2\sqrt{2016}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$, maka nilai $a-b$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 25 \\ & (B). 29 \\ & (C). 31 \\ & (D). 32 \\ & (E). 35 \end{align} $
Diberikan $a$ dan $b$ bilangan asli dengan $a \gt b$. Jika $\sqrt{95 + 2\sqrt{2016}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$, maka nilai $a-b$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 25 \\ & (B). 29 \\ & (C). 31 \\ & (D). 32 \\ & (E). 35 \end{align} $
$
\begin{align}
\sqrt{95 + 2\sqrt{2016}} &= \sqrt{(32+63) + 2\sqrt{32 \cdot 63}} \\
&= \sqrt{32}+\sqrt{63}
\end{align}
$
Karena $a \gt b$ maka kita peroleh $a=63$ dan $b=32$, sehingga
$ \begin{align} a-b &= 63 - 32 \\ &= 31 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C). 31$
Karena $a \gt b$ maka kita peroleh $a=63$ dan $b=32$, sehingga
$ \begin{align} a-b &= 63 - 32 \\ &= 31 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(C). 31$
Oke, lanjut ke bentuk akar dalam akar yang selanjutnya ya.
B. Bentuk Perkalian Akar
Bentuk ini merupakan bentuk akar bersarang dimana terdapat akar dalam akar yang dikalikan sampai tak hingga.Untuk menyelesaikannya, idenya adalah dengan menguadratkan akar yang paling luar melalui sebuah permisalan.
Atau kamu bisa langsung pakai rumus cepat berikut :
\[ \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a \ \sqrt{\cdots}}}} = a \ \text{atau} \ 0 \]
Simak contoh soalnya di bawah ini.
Soal No.1
Diberikan $a$ bilangan asli yang merupakan solusi dari bentuk akar berulang $\sqrt{20 \sqrt{20 \sqrt{20 \ \sqrt{\cdots}}}}$, maka nilai $\sqrt{a}+\sqrt{\dfrac{a}{5}}$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 1+5\sqrt{5} \\ & (B). 3-\sqrt{5} \\ & (C). 4+\sqrt{5} \\ & (D). 2-3\sqrt{5} \\ & (E). 2+2\sqrt{5} \end{align} $
Diberikan $a$ bilangan asli yang merupakan solusi dari bentuk akar berulang $\sqrt{20 \sqrt{20 \sqrt{20 \ \sqrt{\cdots}}}}$, maka nilai $\sqrt{a}+\sqrt{\dfrac{a}{5}}$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 1+5\sqrt{5} \\ & (B). 3-\sqrt{5} \\ & (C). 4+\sqrt{5} \\ & (D). 2-3\sqrt{5} \\ & (E). 2+2\sqrt{5} \end{align} $
Dengan menggunakan rumus cepat di atas, maka
\[ \sqrt{20 \sqrt{20 \sqrt{20 \ \sqrt{\cdots}}}} = 20 \]
Kita peroleh nilai $a=20$, sehingga :
$ \begin{align} \sqrt{a}+\sqrt{\dfrac{a}{5}} &= \sqrt{20}+\sqrt{\dfrac{20}{5}} \\ &= \sqrt{20}+\sqrt{4} \\ &= 2\sqrt{5}+2 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(E). 2+2\sqrt{5} $
$ \begin{align} \sqrt{a}+\sqrt{\dfrac{a}{5}} &= \sqrt{20}+\sqrt{\dfrac{20}{5}} \\ &= \sqrt{20}+\sqrt{4} \\ &= 2\sqrt{5}+2 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(E). 2+2\sqrt{5} $
Kamu juga bisa pakai rumus di bawah ini buat menyederhanakan dan mendapatkan solusi cepat dari akar dalam akar dalam bentuk perkalian :
\[ \sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a\sqrt[n]{a \ \cdots} }}} = \sqrt[n-1]{a} \]
Lanjut ke bentuk akar dalam akar yang selanjutnya ya.
C. Bentuk Penjumlahan dan Pengurangan Akar
Tak kalah seru adalah saat kita ketemu dengan soal akar dalam akar yang berbentuk penjumlahan dan pengurangan.Pada prinsipnya jika kerjakan manual maka kita bisa pakai pendekatan persamaan kuadrat untuk menyelesaikannya.
Tapi karena pembahasan kita kali ini fokus pada penyelesaian super mudah, alias RUMUS CEPAT maka kamu bisa pakai dua rumus di bawah jika ketemu dengan soal akar - dalam akar bentuk penjumlahan dan pengurangan.
\[ \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \cdots }}} = \dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2} \]
\[ \sqrt{a - \sqrt{a - \sqrt{a - \cdots }}} = \dfrac{-1+\sqrt{4a+1}}{2} \]
Tanpa basa - basi lagi, kamu bisa cek contoh soal dan pembahasan untuk bentuk yang satu ini.
Soal No.1
Jika diketahui $\sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \cdots}}}=m$, maka nilai $2m^2-1$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 15 \\ & (B). 24 \\ & (C). 35 \\ & (D). 49 \\ & (E). 74 \end{align} $
Jika diketahui $\sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \cdots}}}=m$, maka nilai $2m^2-1$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 15 \\ & (B). 24 \\ & (C). 35 \\ & (D). 49 \\ & (E). 74 \end{align} $
Gass... langsung aja pakai rumus :
\[ \sqrt{a + \sqrt{a + \sqrt{a + \cdots }}} = \dfrac{1+\sqrt{4a+1}}{2} \]
Sehingga,
$ \begin{align} m &= \sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \cdots}}} \\ m &= \dfrac{1+\sqrt{4(20)+1}}{2} \\ m &= \dfrac{1+\sqrt{81}}{2} \\ m &= \dfrac{10}{2} = 5 \end{align} $
Dengan demikian nilai dari :
$ \begin{align} 2m^2-1 &= 2(5)^2-1 \\ &= 50-1 = 49 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). 49$.
$ \begin{align} m &= \sqrt{20 + \sqrt{20 + \sqrt{20 + \cdots}}} \\ m &= \dfrac{1+\sqrt{4(20)+1}}{2} \\ m &= \dfrac{1+\sqrt{81}}{2} \\ m &= \dfrac{10}{2} = 5 \end{align} $
Dengan demikian nilai dari :
$ \begin{align} 2m^2-1 &= 2(5)^2-1 \\ &= 50-1 = 49 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). 49$.
Soal No.2
Jika diketahui $\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 + \cdots}}}=\dfrac{4}{x}$, maka nilai $x+5$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 8 \\ & (B). 9 \\ & (C). 25 \\ & (D). 36 \\ & (E). 41 \end{align} $
Jika diketahui $\sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 + \cdots}}}=\dfrac{4}{x}$, maka nilai $x+5$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 8 \\ & (B). 9 \\ & (C). 25 \\ & (D). 36 \\ & (E). 41 \end{align} $
Kita butuh rumus yang kedua untuk mengerjakan soal ini dengan cepat,
\[ \sqrt{a - \sqrt{a - \sqrt{a - \cdots }}} = \dfrac{-1+\sqrt{4a+1}}{2} \]
Sehingga,
$ \begin{align} \dfrac{4}{x} &= \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \cdots}}} \\ \dfrac{4}{x} &= \dfrac{-1+\sqrt{4(72)+1}}{2} \\ \dfrac{4}{x} &= \dfrac{1+\sqrt{289}}{2} \\ \dfrac{4}{x} &= \dfrac{18}{2} \\ x &= \dfrac{4}{9} \\ \\ 9x+5 &= 4+5 \\ &= 9 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B). 9 $.
$ \begin{align} \dfrac{4}{x} &= \sqrt{72 - \sqrt{72 - \sqrt{72 - \cdots}}} \\ \dfrac{4}{x} &= \dfrac{-1+\sqrt{4(72)+1}}{2} \\ \dfrac{4}{x} &= \dfrac{1+\sqrt{289}}{2} \\ \dfrac{4}{x} &= \dfrac{18}{2} \\ x &= \dfrac{4}{9} \\ \\ 9x+5 &= 4+5 \\ &= 9 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B). 9 $.
Lanjut satu lagi ke bentuk akar dalam akar yang terakhir ya.
D. Bentuk Pembagian Akar
Yang mimin maksud dengan akar dalam akar dalam bentuk pembagian adalah sebuah bentuk akar bersarang, namun memakai operasi matematis pembagian dalamnya.Ngga usah bingung, bentuk ini juga ada rumus cepatnya yang bisa kamu pakai untuk menyederhanakan dan mendapatkan solusi super mudahnya.
\[ \sqrt{a : \sqrt{a : \sqrt{a : \cdots }}} = \sqrt[3]{a} \]
Simak contoh soal dan pembahasannya di bawah ya.
Soal No.1
Jika $b$ bilangan bulat negatif memenuhi $\sqrt{8 : \sqrt{8 : \sqrt{8 : \cdots}}}=b^2 -b$, maka nilai $b$ adalah..
$ \begin{align} & (A). -1 \\ & (B). -2 \\ & (C). -4 \\ & (D). -8 \\ & (E). -32 \end{align} $
Jika $b$ bilangan bulat negatif memenuhi $\sqrt{8 : \sqrt{8 : \sqrt{8 : \cdots}}}=b^2 -b$, maka nilai $b$ adalah..
$ \begin{align} & (A). -1 \\ & (B). -2 \\ & (C). -4 \\ & (D). -8 \\ & (E). -32 \end{align} $
Kita butuh \[ \sqrt{a : \sqrt{a : \sqrt{a : \cdots }}} = \sqrt[3]{a} \]
Sehingga,
$ \begin{align} \sqrt{8 : \sqrt{8 : \sqrt{8 : \cdots}}} &= b^2 -b \\ \sqrt[3]{8} &= b^2 -b \\ 2 &= b^2 -b \\ \\ b^2 -b -2 &= 0 \\ (b-2)(b+1) &= 0 \\ b=2 \ \text{atau} \ b &= -1 \end{align} $
Karena $b$ dalam soal diklaim bahwa bilangan bulat negatif, maka jelas terlihat $b$ yang dimaksud dalam soal adalah $b=-1$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). -1 $.
$ \begin{align} \sqrt{8 : \sqrt{8 : \sqrt{8 : \cdots}}} &= b^2 -b \\ \sqrt[3]{8} &= b^2 -b \\ 2 &= b^2 -b \\ \\ b^2 -b -2 &= 0 \\ (b-2)(b+1) &= 0 \\ b=2 \ \text{atau} \ b &= -1 \end{align} $
Karena $b$ dalam soal diklaim bahwa bilangan bulat negatif, maka jelas terlihat $b$ yang dimaksud dalam soal adalah $b=-1$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). -1 $.
Penutup
Sekarang, soal akar dalam akar tak hingga bukan lagi hal yang sulit, kan?Dengan cara yang sudah dibahas, kamu pasti bisa menghadapi soal-soal seperti ini tanpa kebingungan.
Jangan lupa, kunci utamanya adalah latihan. 🔥
Semakin sering kamu berlatih, semakin mudah kamu memahami konsepnya. Jadi, terus semangat dan jangan pernah merasa putus asa, ya!
Ingat kata motivasi dari Nelson Mandela: "It always seems impossible until it’s done." Belajar itu mungkin terasa sulit di awal, tapi begitu kamu berhasil, rasanya pasti luar biasa!
Terus berusaha, dan pasti kamu bisa!🚀🔥
"Jika kamu tidak dapat menjelaskan sesuatu dengan sederhana, itu berarti kamu belum memahaminya dengan cukup baik." – Albert Einstein
