Catatan Lengkap Teorema Sisa Materi Suku Banyak Polinomial Kelas 11 SMA
Apalagi kalau disuruh cari sisa dari pembagian polinomial yang panjangnya setengah halaman.
Rasanya kayak disuruh nyari jarum di tumpukan rumput kering.
Tenang, jika kamu fokus mencari sisa pembagian sebuah polinomial kamu ngga perlu bersusah payah panjang lebar pakai cara manual porogapit untuk ngdapetinnya.
Perkenalkan Teorema Sisa. Nah, di artikel ini kita bakal ngebahas tuntas tentang teorema sisa — dari konsep dasarnya, alasan kenapa dia bisa bekerja, sampai trik-trik biar kamu jago pake teorema ini di soal-soal ujian.
Siapin pensil dan rasa penasaranmu, karena teorema sisa siap jadi senjata rahasia kamu dalam menaklukkan polinomial !
🔍 Apa Itu Teorema Sisa?
Teorema Sisa (dalam bahasa resmi: Remainder Theorem) adalah cara mendapatkan sisa - sisa pembagian sebuah polinomial tanpa mengetahui suku banyak atau hasil baginya.Teorema SisaAtau Secara umum kamu juga bisa pakai konsep aturan sisa yang mempunyai bentuk umum : \[ \text{Yang Dibagi} = \text{Pembagi} \times \text{Hasil Bagi} + \text{Sisa} \] Atau dalam bentuk persamaan yang lebih umum, jika kamu punya sebuah fungsi $F(x)$ yang merupakah fungsi yang dibagi, $G(x)$ yang merupakan pembagi dalam proses pembagian polinomialnya maka akan ada $H(x)$ dan $S(x)$ yang berturut - turut merupakan hasil dan sisa pembagiannya.
Jika suku banyak $F(x)$ dibagi $(x – h)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(h)$.
Bantuk Umum :
\[ F(x)=G(x) \cdot H(x)+S(x) \]
Beberapa hal yang perlu dicermati adalah: .
- Derajat fungsi sisa $S(x)$ (pangkat $x$ tertinggi terkandung di dalamnya) maksimal satu kurangnya dari derajat fungsi pembagi $G(x)$.
- Derajat fungsi hasil bagi $H(x)$ adalah hasil pengurangan dari derajat fungsi yang dibagi $F(x)$ dibagi dengan derajat fungsi pembagi $G(x)$.
Contoh Soal dan Pembahasan Teorema Sisa Polinomial
Nah, setelah kamu paham dasar Teorema Sisa, sekarang saatnya kita uji kemampuan lewat contoh soal !Tenang aja, di bagian ini kamu nggak cuma dikasih soal terus ditinggal, tapi juga ada pembahasan lengkapnya.
Jadi kamu bisa tahu cara mikirnya, bukan cuma hasil akhirnya doang.
Yuk, siapin kertas, pensil, dan semangat ! 🔥🔥
Karena belajar bareng soal-soal tuh cara paling asyik buat bikin konsepnya nempel di otak.
Gass, kita mulai !
Contoh Soal No.1
Sisa dari pembagian bentuk polinomial $x^4 – 3x^3 + 5x^2 + 6$ dibagi dengan $( x – 2)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 32 \\ & (B). 20 \\ & (C). 18 \\ & (D). 16 \\ & (E). 12 \end{align} $
Sisa dari pembagian bentuk polinomial $x^4 – 3x^3 + 5x^2 + 6$ dibagi dengan $( x – 2)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 32 \\ & (B). 20 \\ & (C). 18 \\ & (D). 16 \\ & (E). 12 \end{align} $
Kamu bisa langsung pakai teorema sisa untuk mencari sisa pembagiannya.
Jika suku banyak $F(x)$ dibagi $(x – h)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(h)$.
Nilai $x$ pembuat nol pada pembagi adalah $x=2$.
Sehingga kamu tinggal substitusikan ke polinomialnya untuk mendapatkan nilai sisanya,
$ \begin{align} & x^4 – 3x^3 + 5x^2 + 6 \\ &= 2^4 – 3(2)^3 + 5(2)^2 + 6 \\ &= 18 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian polinomialnya adalah $18$.
Pilihan jawaban yang TEPAT adalah $ (C). 18$.
Jika suku banyak $F(x)$ dibagi $(x – h)$, maka sisa pembagiannya adalah $F(h)$.
Nilai $x$ pembuat nol pada pembagi adalah $x=2$.
Sehingga kamu tinggal substitusikan ke polinomialnya untuk mendapatkan nilai sisanya,
$ \begin{align} & x^4 – 3x^3 + 5x^2 + 6 \\ &= 2^4 – 3(2)^3 + 5(2)^2 + 6 \\ &= 18 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian polinomialnya adalah $18$.
Pilihan jawaban yang TEPAT adalah $ (C). 18$.
Contoh Soal No.2
Sisa dari pembagian bentuk polinomial $(4x^3 – 8x^2 + 3x – 16)$ $:$ $( 2x + 1)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). -20 \\ & (B). -17 \\ & (C). -12 \\ & (D). 10 \\ & (E). 12 \end{align} $
Sisa dari pembagian bentuk polinomial $(4x^3 – 8x^2 + 3x – 16)$ $:$ $( 2x + 1)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). -20 \\ & (B). -17 \\ & (C). -12 \\ & (D). 10 \\ & (E). 12 \end{align} $
Sama dengan cara pada nomor 1 sebelumnya.
Langkah pertama cari nilai $x$ pembaginya yang merupakan nilai $x$ pembuat nol pada pembagi.
$2x+1=0 \to x=-\dfrac{1}{2}$
Sehingga,
$ \begin{align} & 4x^3 – 8x^2 + 3x – 16 \\ &= 4 \left(-\dfrac{1}{2} \right)^3 – 8 \left(-\dfrac{1}{2} \right)^2 + 3 \left(-\dfrac{1}{2} \right) – 16 \\ &= -17 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian polinomialnya adalah $-17$.
Pilihan jawaban yang TEPAT adalah $ (B). -17 $.
Langkah pertama cari nilai $x$ pembaginya yang merupakan nilai $x$ pembuat nol pada pembagi.
$2x+1=0 \to x=-\dfrac{1}{2}$
Sehingga,
$ \begin{align} & 4x^3 – 8x^2 + 3x – 16 \\ &= 4 \left(-\dfrac{1}{2} \right)^3 – 8 \left(-\dfrac{1}{2} \right)^2 + 3 \left(-\dfrac{1}{2} \right) – 16 \\ &= -17 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian polinomialnya adalah $-17$.
Pilihan jawaban yang TEPAT adalah $ (B). -17 $.
Contoh Soal No.3
Jika $4x^4 – 12x^3 + 13x^2 + px + 2$ habis dibagi oleh $(2x – 1)$ maka nilai $p$ sama adalah ...
$ \begin{align} & (A). -8 \\ & (B). -6 \\ & (C). 4 \\ & (D). 5 \\ & (E). 10 \end{align} $
Jika $4x^4 – 12x^3 + 13x^2 + px + 2$ habis dibagi oleh $(2x – 1)$ maka nilai $p$ sama adalah ...
$ \begin{align} & (A). -8 \\ & (B). -6 \\ & (C). 4 \\ & (D). 5 \\ & (E). 10 \end{align} $
Nilai $x$ pembaginya adalah
$2x-1=0 \to x=\dfrac{1}{2}$
Karena habis dibagi, artinya sisa pembagiannya adalah nol.
Sehingga substitusikan semua yang diketahui pada teorema sisa, kita dapatkan :
$ \begin{align} & 4x^4 – 12x^3 + 13x^2 + px + 2 \\ 0 &= 4 \left(\dfrac{1}{2} \right)^4 – 12 \left(\dfrac{1}{2} \right)^3 + 13 \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 + p\left(\dfrac{1}{2} \right) + 2 \\ 0 &= 4+\dfrac{1}{2}p \\ -4 &= \dfrac{1}{2}p \\ p &= -8 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian polinomialnya adalah $-8$.
Pilihan jawaban yang TEPAT adalah $ (A). -8 $.
$2x-1=0 \to x=\dfrac{1}{2}$
Karena habis dibagi, artinya sisa pembagiannya adalah nol.
Sehingga substitusikan semua yang diketahui pada teorema sisa, kita dapatkan :
$ \begin{align} & 4x^4 – 12x^3 + 13x^2 + px + 2 \\ 0 &= 4 \left(\dfrac{1}{2} \right)^4 – 12 \left(\dfrac{1}{2} \right)^3 + 13 \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 + p\left(\dfrac{1}{2} \right) + 2 \\ 0 &= 4+\dfrac{1}{2}p \\ -4 &= \dfrac{1}{2}p \\ p &= -8 \end{align} $
Jadi, sisa pembagian polinomialnya adalah $-8$.
Pilihan jawaban yang TEPAT adalah $ (A). -8 $.
Contoh Soal No.4
Jika polinom $F(x) = x^4 + m^2x^3 – x^2 + mx – 11$ dan $G(x) = x^3 + 2x^2 – 6x – m$ masing-masing dibagi $(x – 1)$ akan menghasilkan sisa yang sama maka nilai $m=$ ...
$ \begin{align} & (A). -4 \\ & (B). -3 \\ & (C). -2 \\ & (D). 3 \\ & (E). 5 \end{align} $
Jika polinom $F(x) = x^4 + m^2x^3 – x^2 + mx – 11$ dan $G(x) = x^3 + 2x^2 – 6x – m$ masing-masing dibagi $(x – 1)$ akan menghasilkan sisa yang sama maka nilai $m=$ ...
$ \begin{align} & (A). -4 \\ & (B). -3 \\ & (C). -2 \\ & (D). 3 \\ & (E). 5 \end{align} $
Nilai $x$ pembaginya adalah $x=1$
Karena memberikan sisa yang sama dalam proses pembagiannya maka,
$ \begin{align} F(1) &= G(1) \\ (1)^4 + m^2 \cdot (1)^3 – (1)^2 + m(1) – 11 &= (1)^3 + 2(1)^2 – 6(1) – m \\ 1 + m^2 – 1 + m – 11 &= 1 + 2 – 6 – m \\ m^2+2m-8 &= 0 \\ (m+4)(m-2)&= 0 \\ m=-4 \ \text{atau} \ m&=2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). -4$.
Karena memberikan sisa yang sama dalam proses pembagiannya maka,
$ \begin{align} F(1) &= G(1) \\ (1)^4 + m^2 \cdot (1)^3 – (1)^2 + m(1) – 11 &= (1)^3 + 2(1)^2 – 6(1) – m \\ 1 + m^2 – 1 + m – 11 &= 1 + 2 – 6 – m \\ m^2+2m-8 &= 0 \\ (m+4)(m-2)&= 0 \\ m=-4 \ \text{atau} \ m&=2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). -4$.
Contoh Soal No.5
Polinom $F(x) = x^5 + x^2 -x + 1$ dibagi oleh $(x – k)$ menghasilkan sisa $k^5 + 7$. Nilai $k$ antara lain adalah ...
$ \begin{align} & (A). 3 \ \text{atau} \ 4 \\ & (B). 4 \ \text{atau} \ -3 \\ & (C). -4 \ \text{atau} \ 2 \\ & (D). 3 \ \text{atau} \ -2 \\ & (E). 2 \ \text{atau} \ 5 \end{align} $
Polinom $F(x) = x^5 + x^2 -x + 1$ dibagi oleh $(x – k)$ menghasilkan sisa $k^5 + 7$. Nilai $k$ antara lain adalah ...
$ \begin{align} & (A). 3 \ \text{atau} \ 4 \\ & (B). 4 \ \text{atau} \ -3 \\ & (C). -4 \ \text{atau} \ 2 \\ & (D). 3 \ \text{atau} \ -2 \\ & (E). 2 \ \text{atau} \ 5 \end{align} $
$
\begin{align}
F(k) &= k^5 + 7 \\
k^5 + k^2 - k + 1 &= k^5 + 7 \\
k^2 - k -6 &= 0 \\
(k-3)(k+2)&= 0 \\
k=3 \ \text{atau} \ k &= -2
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). 3 \ \text{atau} \ -2$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). 3 \ \text{atau} \ -2$.
Contoh Soal No.6
Polinom $(a^4 – 3b^2)$ dibagi dengan $a^2 – b$ mendapatkan sisa ...
$ \begin{align} & (A). -2b^2 \\ & (B). 2b+b^2 \\ & (C). b^2-1 \\ & (D). 3b \\ & (E). b^2+2b \end{align} $
Polinom $(a^4 – 3b^2)$ dibagi dengan $a^2 – b$ mendapatkan sisa ...
$ \begin{align} & (A). -2b^2 \\ & (B). 2b+b^2 \\ & (C). b^2-1 \\ & (D). 3b \\ & (E). b^2+2b \end{align} $
Pembagi $\to a^2 – b=0 \to a^2=b$.
Sehingga,
$ \begin{align} a^4 – 3b^2 &= (a^2)^2 – 3b^2 \\ &= b^2 – 3b^2 \\ &= -2b^2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). -2b^2$.
Sehingga,
$ \begin{align} a^4 – 3b^2 &= (a^2)^2 – 3b^2 \\ &= b^2 – 3b^2 \\ &= -2b^2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). -2b^2$.
Contoh Soal No.7
Polinom $(a^{10} – 4)$ dibagi dengan $a^2 + 2$ mendapatkan sisa ...
$ \begin{align} & (A). 32 \\ & (B). 25 \\ & (C). 24 \\ & (D). -28 \\ & (E). -36 \end{align} $
Polinom $(a^{10} – 4)$ dibagi dengan $a^2 + 2$ mendapatkan sisa ...
$ \begin{align} & (A). 32 \\ & (B). 25 \\ & (C). 24 \\ & (D). -28 \\ & (E). -36 \end{align} $
Pembagi $\to a^2 + 2=0 \to a^2=-2$.
Sehingga,
$ \begin{align} a^{10} – 4 &= (a^2)^5 -4 \\ &= (-2)^5 -4 \\ &= -32-4 \\ &= -36 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). -36$.
Sehingga,
$ \begin{align} a^{10} – 4 &= (a^2)^5 -4 \\ &= (-2)^5 -4 \\ &= -32-4 \\ &= -36 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). -36$.
Penutup : Mudah Asal Sering Latihan
Gimana, udah mulai ngerti kan gimana cara kerja Teorema Sisa lewat contoh-contohnya?Kalau masih ada yang bikin bingung, santai aja ... belajar itu proses, bukan perlombaan.
Yang penting kamu udah berani coba dan terus latihan.
Semakin sering kamu latihan soal, makin jago juga kamu nanti ngadepin soal-soal polinomial di ujian.
Yuk, terus semangat belajar dan jangan lupa... teorema sisa itu bukan buat ditakuti, tapi buat ditaklukkan! 💪
"Kesuksesan bukanlah kebetulan. Itu adalah kerja keras, ketekunan, belajar, menelaah, pengorbanan, dan yang paling penting, cinta terhadap apa yang kamu lakukan." – Pelé
