Apaan CIS? Bukan Nama Boyband Korea, Tapi Bikin Kamu Jago Trigonometri!
Ini adalah bahasan lengkap biar kamu paham dan ngerti apa itu CIS dalam trigonometri.
Kalau denger kata CIS, mungkin kamu bakal mikir itu nama boyband Korea pendatang baru—kayak gabungan dari BTS, EXO, atau Seventeen.
Kalem aja, maapkan kita nggak lagi ngomongin dunia K-Pop, melainkan tentang sebuah konsep keren dalam matematika, khususnya trigonometri dan bilangan kompleks.
Bentuk ini sering muncul kalau kamu lagi belajar bilangan kompleks dalam bentuk polar atau eksponensial.
Tapi sebelum pusing duluan, yuk kita bahas pelan-pelan dan santai.
Biar kamu nggak cuma ngerti, tapi juga bisa ngasih pencerahan ke temen sekelas.
Bentuk ini muncul dari salah satu rumus paling ikonik dalam matematika (Euler Formula), yaitu: \[ e^{i \theta}= \cos \theta + i \ \sin \theta \] Nah, entah siapa yang tercatat nulis duluan karena nulis "$\cos \theta + i \ \sin \theta$" itu panjang dan malesin kalau berulang-ulang, para matematikawan bikin singkatannya jadi: \[ \text{cis} \ \theta = \cos \theta + i \ \sin \theta \] Ada - ada aja ya mereka ini 😄
Jadi, kalau kamu ketemu bentuk seperti: \[r \ \text{cis} \ \theta \] Itu sama aja seperti kamu sedang nulis: \[ r \left(\cos \theta + i \ \sin \theta \right) \]
Jawabannya: buat nyederhanain operasi bilangan kompleks, terutama perkalian dan pembagian.
Contohnya, misal kamu punya dua bilangan kompleks dalam bentuk polar: $z_1=2 \left(\cos 30^{\circ} + i \ \sin 30^{\circ} \right)$ dan $z_2=3 \left(\cos 90^{\circ} + i \ \sin 90^{\circ} \right)$
Secara konsep jika mengalikan keduanya kita harusnya mendapatkan,
$ \begin{align} & z_1 \cdot z_2 \\ &= [2 \left(\cos 30^{\circ} + i \ \sin 30^{\circ} \right)][3 \left(\cos 90^{\circ} + i \ \sin 90^{\circ} \right)] \\ &= \left(2\cos 30^{\circ} + 2i \ \sin 30^{\circ} \right)\left(3\cos 90^{\circ} + 3i \ \sin 90^{\circ} \right) \\ &= 6 \cos 30^{\circ} \cos 90^{\circ}+6i \cos 30^{\circ} \sin 90^{\circ}+ 6i \sin 30^{\circ} \cos 90^{\circ}+6i^2 \sin 30^{\circ} \sin 90^{\circ} \\ &= 6 (\cos 30^{\circ} \cos 90^{\circ}-\sin 30^{\circ} \sin 90^{\circ})+6i ( \sin 30^{\circ} \cos 90^{\circ}+\cos 30^{\circ} \sin 90^{\circ}) \\ &= 6 \cos (30^{\circ}+90^{\circ}) + 6i \sin (30^{\circ}+90^{\circ}) \\ &= 6 [\cos (30^{\circ}+90^{\circ}) + i \sin (30^{\circ}+90^{\circ})] \\ &= 6 [\cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ}] \end{align} $
Nah, daripada panjang lebar seperti di atas tentu akan jauh lebih ringkas kalau dibuat macam di bawah ini,
$ \begin{align} z_1 \cdot z_2 &= 2 \ \text{cis} \ 30^{\circ} \cdot 3 \ \text{cis} \ 90^{\circ} \\ &= 6 \ \text{cis} \ (30^{\circ}+90^{\circ}) \\ &= 6 \ \text{cis} \ 120^{\circ} \end{align} $
Gila!!! Bisa seringkas itu lho! Terobosan banget bukan?!? 😎😎
Bayangin kamu lagi main game RPG. CIS ini kayak item rahasia yang bikin kamu bisa level up lebih cepat saat bertarung di dunia bilangan kompleks.
Dengan CIS, kamu bisa:
Siap-siap deh, kamu jadi makin jago trigonometri dan bisa bantuin temen yang masih bingung.
Siapa tahu, kamu juga bisa bikin konten TikTok edukasi soal CIS. Siapa bilang matematika nggak bisa viral?🔥
Kalem aja, maapkan kita nggak lagi ngomongin dunia K-Pop, melainkan tentang sebuah konsep keren dalam matematika, khususnya trigonometri dan bilangan kompleks.
Bentuk ini sering muncul kalau kamu lagi belajar bilangan kompleks dalam bentuk polar atau eksponensial.
Tapi sebelum pusing duluan, yuk kita bahas pelan-pelan dan santai.
Biar kamu nggak cuma ngerti, tapi juga bisa ngasih pencerahan ke temen sekelas.
Kenalan Dulu Sama CIS
CIS adalah cara ringkas buat nulis $\cos \theta + i \ \sin \theta$.Bentuk ini muncul dari salah satu rumus paling ikonik dalam matematika (Euler Formula), yaitu: \[ e^{i \theta}= \cos \theta + i \ \sin \theta \] Nah, entah siapa yang tercatat nulis duluan karena nulis "$\cos \theta + i \ \sin \theta$" itu panjang dan malesin kalau berulang-ulang, para matematikawan bikin singkatannya jadi: \[ \text{cis} \ \theta = \cos \theta + i \ \sin \theta \] Ada - ada aja ya mereka ini 😄
Jadi, kalau kamu ketemu bentuk seperti: \[r \ \text{cis} \ \theta \] Itu sama aja seperti kamu sedang nulis: \[ r \left(\cos \theta + i \ \sin \theta \right) \]
Kegunaan CIS dalam Dunia Trigonometri
Kamu mungkin nanya, "Terus ngapain sih belajar beginian?"Jawabannya: buat nyederhanain operasi bilangan kompleks, terutama perkalian dan pembagian.
Contohnya, misal kamu punya dua bilangan kompleks dalam bentuk polar: $z_1=2 \left(\cos 30^{\circ} + i \ \sin 30^{\circ} \right)$ dan $z_2=3 \left(\cos 90^{\circ} + i \ \sin 90^{\circ} \right)$
Secara konsep jika mengalikan keduanya kita harusnya mendapatkan,
$ \begin{align} & z_1 \cdot z_2 \\ &= [2 \left(\cos 30^{\circ} + i \ \sin 30^{\circ} \right)][3 \left(\cos 90^{\circ} + i \ \sin 90^{\circ} \right)] \\ &= \left(2\cos 30^{\circ} + 2i \ \sin 30^{\circ} \right)\left(3\cos 90^{\circ} + 3i \ \sin 90^{\circ} \right) \\ &= 6 \cos 30^{\circ} \cos 90^{\circ}+6i \cos 30^{\circ} \sin 90^{\circ}+ 6i \sin 30^{\circ} \cos 90^{\circ}+6i^2 \sin 30^{\circ} \sin 90^{\circ} \\ &= 6 (\cos 30^{\circ} \cos 90^{\circ}-\sin 30^{\circ} \sin 90^{\circ})+6i ( \sin 30^{\circ} \cos 90^{\circ}+\cos 30^{\circ} \sin 90^{\circ}) \\ &= 6 \cos (30^{\circ}+90^{\circ}) + 6i \sin (30^{\circ}+90^{\circ}) \\ &= 6 [\cos (30^{\circ}+90^{\circ}) + i \sin (30^{\circ}+90^{\circ})] \\ &= 6 [\cos 120^{\circ} + i \sin 120^{\circ}] \end{align} $
Nah, daripada panjang lebar seperti di atas tentu akan jauh lebih ringkas kalau dibuat macam di bawah ini,
$ \begin{align} z_1 \cdot z_2 &= 2 \ \text{cis} \ 30^{\circ} \cdot 3 \ \text{cis} \ 90^{\circ} \\ &= 6 \ \text{cis} \ (30^{\circ}+90^{\circ}) \\ &= 6 \ \text{cis} \ 120^{\circ} \end{align} $
Gila!!! Bisa seringkas itu lho! Terobosan banget bukan?!? 😎😎
Bayangin kamu lagi main game RPG. CIS ini kayak item rahasia yang bikin kamu bisa level up lebih cepat saat bertarung di dunia bilangan kompleks.
Biar Makin Paham Pelajari Contoh Soal dan Pembahasannya
Biar kamu makin oke mahaminnya, pelajari juga nih beberapa contoh soal dan pembahasan tentang penggunaan CIS pada bilangan kompleks di bawah ini.
Contoh Soal No.1
Dua buah bilangan kompleks $z_1=1+\sqrt{3}i$ dan $z_2=-\sqrt{3}+i$ masing - masing mempunyai bentuk polar $r \ \text{cis} \ \theta$. Hasil sederhana dari $z_1 \cdot z_2$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 3 \ \text{cis} \ 60^{\circ} \\ & (B). \sqrt{3} \ \text{cis} \ 60^{\circ} \\ & (C). 2 \ \text{cis} \ 30^{\circ} \\ & (D). 3 \ \text{cis} \ 120^{\circ} \\ & (E). 4 \ \text{cis} \ 210^{\circ} \end{align} $
Dua buah bilangan kompleks $z_1=1+\sqrt{3}i$ dan $z_2=-\sqrt{3}+i$ masing - masing mempunyai bentuk polar $r \ \text{cis} \ \theta$. Hasil sederhana dari $z_1 \cdot z_2$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 3 \ \text{cis} \ 60^{\circ} \\ & (B). \sqrt{3} \ \text{cis} \ 60^{\circ} \\ & (C). 2 \ \text{cis} \ 30^{\circ} \\ & (D). 3 \ \text{cis} \ 120^{\circ} \\ & (E). 4 \ \text{cis} \ 210^{\circ} \end{align} $
$z_1=1+\sqrt{3}i= 2 \ \text{cis} \ 60^{\circ} $
$z_2=-\sqrt{3}+i= 2 \ \text{cis} \ 150^{\circ} $
$ \begin{align} z_1 \cdot z_2 &= 2 \ \text{cis} \ 60^{\circ} \cdot 2 \ \text{cis} \ 150^{\circ} \\ &= 4 \ \text{cis} \ \left( 60^{\circ}+150^{\circ} \right) \\ &= 4 \ \text{cis} \ 210^{\circ} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). 4 \ \text{cis} \ 210^{\circ} $.
$z_2=-\sqrt{3}+i= 2 \ \text{cis} \ 150^{\circ} $
$ \begin{align} z_1 \cdot z_2 &= 2 \ \text{cis} \ 60^{\circ} \cdot 2 \ \text{cis} \ 150^{\circ} \\ &= 4 \ \text{cis} \ \left( 60^{\circ}+150^{\circ} \right) \\ &= 4 \ \text{cis} \ 210^{\circ} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). 4 \ \text{cis} \ 210^{\circ} $.
Contoh Soal No.2
Diketahui $z_1=2 \ \text{cis} \ 70^{\circ}$ dan $z_2=4 \ \text{cis} \ 210^{\circ}$, hasil dari $\dfrac{z_2}{z_1}$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 2 \ \text{cis} \ 30^{\circ} \\ & (B). 2 \ \text{cis} \ 140^{\circ} \\ & (C). 2 \ \text{cis} \ 280^{\circ} \\ & (D). 8 \ \text{cis} \ 30^{\circ} \\ & (E). 8 \ \text{cis} \ 140^{\circ} \end{align} $
Diketahui $z_1=2 \ \text{cis} \ 70^{\circ}$ dan $z_2=4 \ \text{cis} \ 210^{\circ}$, hasil dari $\dfrac{z_2}{z_1}$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 2 \ \text{cis} \ 30^{\circ} \\ & (B). 2 \ \text{cis} \ 140^{\circ} \\ & (C). 2 \ \text{cis} \ 280^{\circ} \\ & (D). 8 \ \text{cis} \ 30^{\circ} \\ & (E). 8 \ \text{cis} \ 140^{\circ} \end{align} $
$
\begin{align}
\dfrac{z_2}{z_1} &= \dfrac{4 \ \text{cis} \ 210^{\circ}}{2 \ \text{cis} \ 70^{\circ}} \\
&= 2 \ \text{cis} \ \left( 210^{\circ} - 70^{\circ} \right) \\
&= 2 \ \text{cis} \ 140^{\circ}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B). 2 \ \text{cis} \ 140^{\circ}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B). 2 \ \text{cis} \ 140^{\circ}$.
Contoh Soal No.3
Jika $z_1=5 \ \text{cis} \ 30^{\circ}$, $z_2=a \ \text{cis} \ 15^{\circ}$ dan $z_3=3 \ \text{cis} \ 45^{\circ}$ memenuhi $z_1 \cdot z_2 \cdot z_3=15 \ \text{cis} \ 90^{\circ}$, maka nilai $a=$ ...
$ \begin{align} & (A). 1 \\ & (B). 2 \\ & (C). 3 \\ & (D). 4 \\ & (E). 5 \end{align} $
Jika $z_1=5 \ \text{cis} \ 30^{\circ}$, $z_2=a \ \text{cis} \ 15^{\circ}$ dan $z_3=3 \ \text{cis} \ 45^{\circ}$ memenuhi $z_1 \cdot z_2 \cdot z_3=15 \ \text{cis} \ 90^{\circ}$, maka nilai $a=$ ...
$ \begin{align} & (A). 1 \\ & (B). 2 \\ & (C). 3 \\ & (D). 4 \\ & (E). 5 \end{align} $
$
\begin{align}
z_1 \cdot z_2 \cdot z_3 &= 15 \ \text{cis} \ 90^{\circ} \\
5 \ \text{cis} \ 30^{\circ} \cdot a \ \text{cis} \ 15^{\circ} \cdot 3 \ \text{cis} \ 45^{\circ} &= 15 \ \text{cis} \ 90^{\circ} \\
15a \ \text{cis} \ \left( 30^{\circ}+15^{\circ}+45^{\circ} \right) &= 15 \ \text{cis} \ 90^{\circ} \\
15a \ \text{cis} \ 90^{\circ} &= 15 \ \text{cis} \ 90^{\circ} \\
a &= 1
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). 1$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). 1$.
Contoh Soal No.4
Diketahui $z_1=\text{cis} \ 45^{\circ}$ dan $z_2=4 \ \text{cis} \ 15^{\circ}$. Jika $z=z_1 \cdot z_2$ maka bentuk eksponen dari $z$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 4e^{i30^{\circ}} \\ & (B). 4e^{i60^{\circ}} \\ & (C). 4e^{i90^{\circ}} \\ & (D). 4e^{i120^{\circ}} \\ & (E). 4e^{i150^{\circ}} \end{align} $
Diketahui $z_1=\text{cis} \ 45^{\circ}$ dan $z_2=4 \ \text{cis} \ 15^{\circ}$. Jika $z=z_1 \cdot z_2$ maka bentuk eksponen dari $z$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 4e^{i30^{\circ}} \\ & (B). 4e^{i60^{\circ}} \\ & (C). 4e^{i90^{\circ}} \\ & (D). 4e^{i120^{\circ}} \\ & (E). 4e^{i150^{\circ}} \end{align} $
$
\begin{align}
z &=z_1 \cdot z_2 \\
&= \text{cis} \ 45^{\circ} \cdot 4 \ \text{cis} \ 15^{\circ} \\
&= 4 \ \text{cis} \ \left( 45^{\circ} + 15^{\circ} \right) \\
&= 4 \ \text{cis} \ 60^{\circ} \\
&= 4 e^{i60^{\circ}}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). 1$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). 1$.
Contoh Soal No.5
Dua buah bilangan kompleks $z_1=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$ dan $z_2=1+\sqrt{3}i$ masing - masing mempunyai bentuk polar $r \ \text{cis} \ \theta$. Hasil sederhana dari $\bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 2 \ \text{cis} \ 240^{\circ} \\ & (B). 2 \ \text{cis} \ 300^{\circ} \\ & (C). 4 \ \text{cis} \ 315^{\circ} \\ & (D). 4 \ \text{cis} \ 345^{\circ} \\ & (E). 8 \ \text{cis} \ 360^{\circ} \end{align} $
Dua buah bilangan kompleks $z_1=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$ dan $z_2=1+\sqrt{3}i$ masing - masing mempunyai bentuk polar $r \ \text{cis} \ \theta$. Hasil sederhana dari $\bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 2 \ \text{cis} \ 240^{\circ} \\ & (B). 2 \ \text{cis} \ 300^{\circ} \\ & (C). 4 \ \text{cis} \ 315^{\circ} \\ & (D). 4 \ \text{cis} \ 345^{\circ} \\ & (E). 8 \ \text{cis} \ 360^{\circ} \end{align} $
$\bar{z}$ merupakan konjugat (sekawan) dari bilangan kompleks $z$ yang diperoleh dari hasil pencerminan terhadap sumbu $Re \left( z \right)$.
$z_1=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$
maka $\bar{z}_1=\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2 \ \text{cis} \ 45^{\circ}$
$z_2=1+\sqrt{3}i$
maka $\bar{z}_2=1-\sqrt{3}i=2 \ \text{cis} \ 300^{\circ}$
$ \begin{align} \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2 &= 2 \ \text{cis} \ 45^{\circ} \cdot 2 \ \text{cis} \ 300^{\circ} \\ &= 4 \ \text{cis} \ 345^{\circ} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). 4 \ \text{cis} \ 345^{\circ} $.
$z_1=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$
maka $\bar{z}_1=\sqrt{2}+\sqrt{2}i=2 \ \text{cis} \ 45^{\circ}$
$z_2=1+\sqrt{3}i$
maka $\bar{z}_2=1-\sqrt{3}i=2 \ \text{cis} \ 300^{\circ}$
$ \begin{align} \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2 &= 2 \ \text{cis} \ 45^{\circ} \cdot 2 \ \text{cis} \ 300^{\circ} \\ &= 4 \ \text{cis} \ 345^{\circ} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). 4 \ \text{cis} \ 345^{\circ} $.
Kesimpulan: CIS itu Keren!
Jadi, meskipun CIS bukan boyband Korea, dia tetap keren—apalagi di mata pecinta matematika.Dengan CIS, kamu bisa:
- Mewakili bilangan kompleks dalam bentuk polar dengan ringkas.
- Nyelesaiin soal rotasi, perkalian, dan pembagian bilangan kompleks dengan simpel.
- Ngeliat hubungan yang indah antara trigonometri dan eksponensial.
Siap-siap deh, kamu jadi makin jago trigonometri dan bisa bantuin temen yang masih bingung.
Siapa tahu, kamu juga bisa bikin konten TikTok edukasi soal CIS. Siapa bilang matematika nggak bisa viral?🔥
"Aku membaca buku lebih banyak daripada nonton TV. Dan itu membuat perbedaan besar." – Elon Musk
