Rangkuman Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran Cuma Butuh 3 Langkah!
Ini adalah 3 langkah mudah gimana cara menentukan dengan kedudukan garis terhadap lingkaran.
Pernah nggak sih ngebayangin gimana posisi sebuah garis bisa "berinteraksi" sama lingkaran?
Kadang bisa nyentuh doang, kadang malah nembus, atau bahkan cuma lewat aja tanpa peduli.
Nah, di dunia matematika, itu disebut kedudukan garis terhadap lingkaran.
Topik ini penting banget buat kamu yang lagi siap-siap hadapi ujian akhir, UTBK, atau bahkan cuma pengin ngerti konsep geometri lebih dalam.
Yuk kita bahas bareng!
Jadi kedudukan garis terhadap lingkaran secara umum seperti terlihat pada gambar di bawah ini :
Kedudukan pertama yaitu garis memotong lingkaran di dua titik berbeda (gambar paling kiri), kedudukan kedua adalah garis hanya memotong lingkaran di satu titik saja atau istilah lainnya dalam matematika yaitu garis menyinggung lingkarannya (gambar tengah).
Kedudukan ketiga adalah garis sama sekali tidak memotong lingkarannya (gambar paling kiri). Kondisi ini akan terjadi jika posisi garis berada di luar lingkaran.
Agar bisa tahu kondisi kedudukan garis terhadap lingkaran seperti di atas kamu bisa ikutin 3 langkah di bawah ini :
Oke, biar nggak meraba - raba, ikutin contoh soalnya berikut ini.
✅ Langkah 1:
Substitusikan persamaan garis ke persamaan lingkarannya.
Substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkarannya hingga di dapat sebuah persamaan hanya dalam satu variabel saja.
✅ Langkah 2:
Sederhanakan hingga dapat sebuah persamaan kuadrat.
Menyederhanakan hasil persamaan pada langkah pertama hingga mendapat sebuah persamaan kuadrat yang paling sederhana.
✅ Langkah 3:
Cek nilai diskriminannya.
Setelah mendapatkan persamaannya dalam bentuk persamaan kuadrat yang paling sederhana tinggal kamu cek nilai diskriminannya $D$. \[ D=b^2-4ac \] dimana :
Semua kembali ke cara kita memahami konsepnya dengan runtut. Kalau langkah-langkah dasarnya sudah jelas, soal apa pun yang muncul bisa dihadapi dengan lebih tenang.
Belajar matematika itu mirip sama perjalanan jadi Raja Bajak Laut.
Jalannya emang penuh tantangan, kadang bikin pusing, tapi kalau kita terus latihan, satu per satu rintangan bisa dilewati.
Sama kayak Luffy yang nggak pernah nyerah, kita juga harus konsisten belajar biar makin jago.
Jadi jangan takut duluan sama soal. Coba, ulangi, kalau salah perbaiki.
Karena setiap usaha kecil itu bakal jadi langkah besar menuju pemahaman yang lebih dalam.
Ingat, matematika bukan buat nakutin, tapi buat bikin kita makin terlatih berpikir logis dan kreatif.
Terus asah kemampuanmu, karena siapa tahu, bekal dari matematika ini bisa jadi “One Piece” versi kamu sendiri—harta karun yang berguna banget buat masa depanmu. 🚀✨
Kadang bisa nyentuh doang, kadang malah nembus, atau bahkan cuma lewat aja tanpa peduli.
Nah, di dunia matematika, itu disebut kedudukan garis terhadap lingkaran.
Topik ini penting banget buat kamu yang lagi siap-siap hadapi ujian akhir, UTBK, atau bahkan cuma pengin ngerti konsep geometri lebih dalam.
Yuk kita bahas bareng!
Konsep Dasar Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Pada dasarnya terdapat tiga kondisi yang perlu kamu perhatikan tentang kedudukan garis terhadap lingkaran.Jadi kedudukan garis terhadap lingkaran secara umum seperti terlihat pada gambar di bawah ini :
Kedudukan ketiga adalah garis sama sekali tidak memotong lingkarannya (gambar paling kiri). Kondisi ini akan terjadi jika posisi garis berada di luar lingkaran.
Agar bisa tahu kondisi kedudukan garis terhadap lingkaran seperti di atas kamu bisa ikutin 3 langkah di bawah ini :
- Substitusikan persamaan garis yang akan dicek ke persamaan lingkarannya.
- Sederhanakan hingga didapat sebuah persamaan kuadrat (bisa dalam variabel $x$ atau pun $y$).
- Cek nilai diskriminan dari persamaan kuadrat yang di dapat.
- $D \gt 0 \to$ garis memotong lingkaran di dua titik.
- $D = 0 \to$ garis memotong lingkaran di satu titik (menyinggung).
- $D \lt 0 \to$ garis tidak memotong lingkaran.
Oke, biar nggak meraba - raba, ikutin contoh soalnya berikut ini.
Contoh :
Kedudukan garis $2x+y=17$ terhadap sebuah lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-6x-2y-10=0$ adalah ...
Kedudukan garis $2x+y=17$ terhadap sebuah lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-6x-2y-10=0$ adalah ...
- Garis memotong lingkaran di dua titik.
- Garis menyinggung lingkaran.
- Garis tidak memotong lingkaran.
- Tidak dapat ditentukan kedudukan garis terhadap lingkarannya.
Gass... kita bahas yuk.
- Kita substitusikan $2x+y=17 \to y=17-2x$ ke lingkaran $x^2+y^2-6x-2y-10=0$
- Kita akan dapatkan :
$ \begin{align} & x^2+y^2-6x-2y-10=0 \\ & x^2+(17-2x)^2-6x-2(17-2x)-10=0 \\ & x^2+289-68x+4x^2-6x-34+4x-10=0 \\ & 5x^2-70x+245=0 \ \text{|:5} \\ & x^2-15x+49=0 \end{align} $ - Cek nilai diskriminannya.
$ \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= (-15)^2-4(1)(49) \\ &= 225-196 \\ &= 29 \end{align} $ - Kesimpulan :
Karena nilai diskriminannya $29$ ($D \gt 0$) maka dapat kita simpulkan bahwa kedudukan garis $2x+y=17$ terhadap lingkaran $x^2+y^2-6x-2y-10=0$ adalah berpotongan di dua titik.
Sesuai dengan pilihan jawaban yang $(A)$
3 Langkah Sat Set Nentuin Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Jadi, untuk mengetahui kedudukan garis terhadap lingkaran caranya ada tiga langkah penting, yaitu :✅ Langkah 1:
Substitusikan persamaan garis ke persamaan lingkarannya.
Substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkarannya hingga di dapat sebuah persamaan hanya dalam satu variabel saja.
✅ Langkah 2:
Sederhanakan hingga dapat sebuah persamaan kuadrat.
Menyederhanakan hasil persamaan pada langkah pertama hingga mendapat sebuah persamaan kuadrat yang paling sederhana.
✅ Langkah 3:
Cek nilai diskriminannya.
Setelah mendapatkan persamaannya dalam bentuk persamaan kuadrat yang paling sederhana tinggal kamu cek nilai diskriminannya $D$. \[ D=b^2-4ac \] dimana :
- $D \gt 0 \to$ garis memotong lingkaran di dua titik.
- $D = 0 \to$ garis memotong lingkaran di satu titik (menyinggung).
- $D \lt 0 \to$ garis tidak memotong lingkaran.
Contoh Soal dan Pembahasan
Biar makin mantab, yuk sekalian simak beberapa contoh soal lengkap dengan pembahasannya.
Soal No.1
Kedudukan garis $l:2x+y=10$ terhadap lingkaran $L:$$x^2$$+$$y^2$$-4x$$+$$6y$$-12$$=0$ adalah..
Kedudukan garis $l:2x+y=10$ terhadap lingkaran $L:$$x^2$$+$$y^2$$-4x$$+$$6y$$-12$$=0$ adalah..
Oke, gass... kita bahas.
✅ Langkah 1:
Cari titik pusat dan jari-jari lingkaran.
\[ L:x^2+y^2-4x+6y-12=0 \] Pusat $\to \left( -\dfrac{1}{2} \times (-4), -\dfrac{1}{2} \times 6 \right) = \left( 2, -3 \right)$
Jari - jari $\to r = \sqrt{2^2+(-3^2)-(-12)}=\sqrt{25}=5$
✅ Langkah 2:
Hitung jarak dari titik pusat ke garis.
Jarak $\left( 2, -3 \right)$ terhadap garis $l:2x+y-10=0$ adalah
$ d= \left| \dfrac{2(2)+1(-3)-10}{\sqrt{2^2+1^2}} \right| = \left| \dfrac{-9}{\sqrt{3}} \right|=3\sqrt{3}$
✅ Langkah 3:
Bandingkan hasil jarak $(d)$ dengan jari-jari $(r)$.
$d=3\sqrt{3}=5,1$ dan $r=5$, karena $d \gt r$ maka dapat disimpulkan bahwa :
garis $l:2x+y-10=0$ TIDAK MEMOTONG lingkaran $L:$$x^2$$+$$y^2$$-4x$$+$$6y$$-12$$=0$.
✅ Langkah 1:
Cari titik pusat dan jari-jari lingkaran.
\[ L:x^2+y^2-4x+6y-12=0 \] Pusat $\to \left( -\dfrac{1}{2} \times (-4), -\dfrac{1}{2} \times 6 \right) = \left( 2, -3 \right)$
Jari - jari $\to r = \sqrt{2^2+(-3^2)-(-12)}=\sqrt{25}=5$
✅ Langkah 2:
Hitung jarak dari titik pusat ke garis.
Jarak $\left( 2, -3 \right)$ terhadap garis $l:2x+y-10=0$ adalah
$ d= \left| \dfrac{2(2)+1(-3)-10}{\sqrt{2^2+1^2}} \right| = \left| \dfrac{-9}{\sqrt{3}} \right|=3\sqrt{3}$
✅ Langkah 3:
Bandingkan hasil jarak $(d)$ dengan jari-jari $(r)$.
$d=3\sqrt{3}=5,1$ dan $r=5$, karena $d \gt r$ maka dapat disimpulkan bahwa :
garis $l:2x+y-10=0$ TIDAK MEMOTONG lingkaran $L:$$x^2$$+$$y^2$$-4x$$+$$6y$$-12$$=0$.
Soal No.2
Kedudukan garis $m:x+y=3$ terhadap lingkaran $L:$$x^2$$+$$y^2$$=36$ adalah...
Kedudukan garis $m:x+y=3$ terhadap lingkaran $L:$$x^2$$+$$y^2$$=36$ adalah...
- Berimpit.
- Garis $m$ memotong lingkaran $L$ di satu titik.
- Garis $m$ di luar lingkaran $L$.
- Garis $m$ memotong lingkaran $L$ di dua titik.
- Tidak dapat ditentukan.
Substitusikan persamaan garis ke persamaan lingkarannya.
$x+y=3 \to y=3-x$
Sehingga kita dapatkan
$ \begin{align} x^2 + y^2 &= 36 \\ x^2 + (3-x)^2 &= 36 \\ x^2 + 9-6x+x^2 &= 36 \\ 2x^2 -6x -27 &= 0 \\ \end{align} $
Kita cek nilai diskriminannya.
$ \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= (-6)^2-4(2)(-27) \\ &= 36+216 \\ &= 252 \end{align} $
Karena nilai $D=252$ yang artinya $D \gt 0$ maka dapat kita simpulkan bahwa kedudukan garis $x+y=3$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 36$ adalah berpotongan di dua titik berbeda. Sesuai dengan pilihan jawaban $(D).$
$x+y=3 \to y=3-x$
Sehingga kita dapatkan
$ \begin{align} x^2 + y^2 &= 36 \\ x^2 + (3-x)^2 &= 36 \\ x^2 + 9-6x+x^2 &= 36 \\ 2x^2 -6x -27 &= 0 \\ \end{align} $
Kita cek nilai diskriminannya.
$ \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= (-6)^2-4(2)(-27) \\ &= 36+216 \\ &= 252 \end{align} $
Karena nilai $D=252$ yang artinya $D \gt 0$ maka dapat kita simpulkan bahwa kedudukan garis $x+y=3$ terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 36$ adalah berpotongan di dua titik berbeda. Sesuai dengan pilihan jawaban $(D).$
Soal No.3
Kedudukan garis $𝑦−2𝑥=−2$ terhadap lingkaran $(𝑥−2)^2+(𝑦+3)^2=25$ adalah …
Kedudukan garis $𝑦−2𝑥=−2$ terhadap lingkaran $(𝑥−2)^2+(𝑦+3)^2=25$ adalah …
Karena $𝑦−2𝑥=−2$ maka $y=2x-2$.
Sehingga kita dapatkan,
$ \begin{align} (𝑥−2)^2+(𝑦+3)^2 &= 25 \\ (𝑥−2)^2+(2x-2+3)^2 &= 25 \\ (𝑥−2)^2+(2x+1)^2 &= 25 \\ x^2-4x+4+4x^2+4x+1-25 &=0 \\ 5x^2 - 20 &= 0 \end{align} $
Kita cek nilai diskriminannya.
$ \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= (0)^2-4(5)(-20) \\ &= 400 \\ \end{align} $
Jadi, karena diskriminannya positif $(D=400)$ maka dapat kita simpulkan bahwa garis $𝑦−2𝑥=−2$ berpotongan di dua titik terhadap lingkaran $(𝑥−2)^2+(𝑦+3)^2=25$.
Sehingga kita dapatkan,
$ \begin{align} (𝑥−2)^2+(𝑦+3)^2 &= 25 \\ (𝑥−2)^2+(2x-2+3)^2 &= 25 \\ (𝑥−2)^2+(2x+1)^2 &= 25 \\ x^2-4x+4+4x^2+4x+1-25 &=0 \\ 5x^2 - 20 &= 0 \end{align} $
Kita cek nilai diskriminannya.
$ \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= (0)^2-4(5)(-20) \\ &= 400 \\ \end{align} $
Jadi, karena diskriminannya positif $(D=400)$ maka dapat kita simpulkan bahwa garis $𝑦−2𝑥=−2$ berpotongan di dua titik terhadap lingkaran $(𝑥−2)^2+(𝑦+3)^2=25$.
Soal No.4
Kedudukan garis $3𝑥−2𝑦−6=0$ terhadap lingkaran $𝑥^2+𝑦^2+2𝑥−4𝑦−8=0$ adalah …
Kedudukan garis $3𝑥−2𝑦−6=0$ terhadap lingkaran $𝑥^2+𝑦^2+2𝑥−4𝑦−8=0$ adalah …
$3𝑥−2𝑦−6=0$ maka $x=\dfrac{2}{3}y+2$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} 𝑥^2+𝑦^2+2𝑥−4𝑦−8 &=0 \\ \left( \dfrac{2}{3}y+2 \right)^2+y^2+2 \left( \dfrac{2}{3}y+2 \right)-4y−8 &=0 \\ \dfrac{4}{9}y^2+\dfrac{8}{3}y+4+y^2+\dfrac{4}{3}y+4-4y−8 &=0 \ \text{| x 9} \\ 4y^2+\mathrm{{\color{red}\not}24y}+\mathrm{{\color{red}\not}36}+9y^2+\mathrm{{\color{red}\not}12y}+\mathrm{{\color{red}\not}36}-\mathrm{{\color{red}\not}36y}-\mathrm{{\color{red}\not}72} &=0 \\ 13y^2 &=0 \end{align} $
Kita cek nilai diskriminannya.
$ \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= (0)^2-4(13)(0) \\ &= 0 \\ \end{align} $
Jadi, karena diskriminannya nol $(D=0)$ maka dapat kita simpulkan bahwa garis $3𝑥−2𝑦−6=0$ berpotongan di satu titik (menyinggung) terhadap lingkaran $𝑥^2+𝑦^2+2𝑥−4𝑦−8=0$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} 𝑥^2+𝑦^2+2𝑥−4𝑦−8 &=0 \\ \left( \dfrac{2}{3}y+2 \right)^2+y^2+2 \left( \dfrac{2}{3}y+2 \right)-4y−8 &=0 \\ \dfrac{4}{9}y^2+\dfrac{8}{3}y+4+y^2+\dfrac{4}{3}y+4-4y−8 &=0 \ \text{| x 9} \\ 4y^2+\mathrm{{\color{red}\not}24y}+\mathrm{{\color{red}\not}36}+9y^2+\mathrm{{\color{red}\not}12y}+\mathrm{{\color{red}\not}36}-\mathrm{{\color{red}\not}36y}-\mathrm{{\color{red}\not}72} &=0 \\ 13y^2 &=0 \end{align} $
Kita cek nilai diskriminannya.
$ \begin{align} D &= b^2-4ac \\ &= (0)^2-4(13)(0) \\ &= 0 \\ \end{align} $
Jadi, karena diskriminannya nol $(D=0)$ maka dapat kita simpulkan bahwa garis $3𝑥−2𝑦−6=0$ berpotongan di satu titik (menyinggung) terhadap lingkaran $𝑥^2+𝑦^2+2𝑥−4𝑦−8=0$.
Soal No.5
Jika garis $y = x + 9$ menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 + 8x – 10y + 21 – p = 0$ di satu titik maka nilai p adalah ...
Jika garis $y = x + 9$ menyinggung lingkaran $x^2 + y^2 + 8x – 10y + 21 – p = 0$ di satu titik maka nilai p adalah ...
Substitusi garis ke persamaan lingkaran, kita peroleh :
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 8x – 10y + 21 – p &= 0 \\ x^2 + (x + 9)^2 + 8x – 10(x + 9) + 21 – p &= 0 \\ x^2 + x^2 +18x+81+ 8x – 10x - 90 + 21 – p &= 0 \\ 2x^2+16x+12-p &= 0 \\ \end{align} $
Karena kedudukan garisnya adalah menyinggung maka harus memenuhi dikriminannya adalah nol.
Sehingga,
$ \begin{align} D &= b^2-4ac \\ 0 &= 16^2-4(2)(12-p) \\ 0 &= 256-96+4p \\ -4p &= 160 \\ p &= -40 \end{align} $
$ \begin{align} x^2 + y^2 + 8x – 10y + 21 – p &= 0 \\ x^2 + (x + 9)^2 + 8x – 10(x + 9) + 21 – p &= 0 \\ x^2 + x^2 +18x+81+ 8x – 10x - 90 + 21 – p &= 0 \\ 2x^2+16x+12-p &= 0 \\ \end{align} $
Karena kedudukan garisnya adalah menyinggung maka harus memenuhi dikriminannya adalah nol.
Sehingga,
$ \begin{align} D &= b^2-4ac \\ 0 &= 16^2-4(2)(12-p) \\ 0 &= 256-96+4p \\ -4p &= 160 \\ p &= -40 \end{align} $
🌟 Penutup: Belajar hari ini, satu langkah lebih dekat ke impianmu.
Ternyata, kedudukan garis terhadap lingkaran itu nggak sesulit yang dibayangkan.Semua kembali ke cara kita memahami konsepnya dengan runtut. Kalau langkah-langkah dasarnya sudah jelas, soal apa pun yang muncul bisa dihadapi dengan lebih tenang.
Belajar matematika itu mirip sama perjalanan jadi Raja Bajak Laut.
Jalannya emang penuh tantangan, kadang bikin pusing, tapi kalau kita terus latihan, satu per satu rintangan bisa dilewati.
Sama kayak Luffy yang nggak pernah nyerah, kita juga harus konsisten belajar biar makin jago.
Jadi jangan takut duluan sama soal. Coba, ulangi, kalau salah perbaiki.
Karena setiap usaha kecil itu bakal jadi langkah besar menuju pemahaman yang lebih dalam.
Ingat, matematika bukan buat nakutin, tapi buat bikin kita makin terlatih berpikir logis dan kreatif.
Terus asah kemampuanmu, karena siapa tahu, bekal dari matematika ini bisa jadi “One Piece” versi kamu sendiri—harta karun yang berguna banget buat masa depanmu. 🚀✨
"Orang sukses bukanlah orang yang tidak pernah gagal, tetapi orang yang tidak pernah berhenti mencoba." – Ir.Soekarno
