30+ Soal PAS Matematika Tingkat Lanjut Kelas 12 Semester Ganjil & Pembahasan Lengkap
Kali ini giliran matematika tingkat lanjutnya ya.
PAS udah di depan mata, dan sebagai anak kelas 12, kamu pasti pengen banget dapat nilai maksimal.
Apalagi buat Matematika Tingkat Lanjut yang terkenal nggak ada ampun-nya.
Tapi tenang, belajar matematika itu bukan tentang hafal rumus doang, tapi tentang seberapa sering kamu latihan dan memahami pola soalnya.
Di bahasan kita kali ini, udah siap nih 30+ soal PAS Matematika Tingkat Lanjut Kelas 12 Semester Ganjil lengkap dengan pembahasannya.
Formatnya dibuat mirip ujian asli, jadi kamu bisa ngerasain sensasi latihan seperti hari-H.
Mulai dari bahas persamaan lingkaran , limit, turunan, sampai turunan trigonometri semuanya lengkap dan disusun sesuai kisi-kisi yang sering keluar.
Siapkan kertas, pensil, kopi dan semangat!
Yuk mulai latihan dan taklukkan PAS bareng-bareng.
Kamu pasti bisa, asalkan mulai dari sekarang.
✨ Sekilas Tentang PAS Matematika Tingkat Lanjut Kelas 12 Semester Ganjil
Nah sebelum kita masuk ke kumpulan soal dan pembahasannya, kita mesti tahu medan dulu nih.Emang topik apa aja sih yang bakal keluar di PAS semester ganjil untuk matematika tingkat lanjut itu?
Karena kalau sudah tahu medannya belajar akan jauh lebih fokus dan efektif.
Materi yang keluar di PAS Matematika Tingkat Lanjut Semester Ganjil ini meliputi :
- Persamaan Lingkaran
Di sini kamu bakal sering nemuin soal yang nyuruh cari persamaan sebuah lingkaran hingga mencari persamaan garis singgungnya. - Limit Fungsi Aljabar
Di sini kamu bakal sering nemuin soal yang nyuruh cari nilai limit dari sebuah fungsi aljabar. Mulai dari bentuk biasa, bentuk tak tentu sampai pada menghitung nilai limit tak hingga dari sebuah fungsi aljabar. - Turunan Fungsi Aljabar
Di sini kamu bakal sering nemuin soal yang nyuruh cari turunan fungsi aljabar dengan berbagai teknik yang ada, mulai dari : pembafaktoran, kali akar sekawan dan Dalil L'Hospital. Butuh kejelian dan cermat dalam memahami bentuk soalnya. - Turunan Fungsi Trigonometri
Menurunkan fungsi trigonometri butuh ketelitian yang lebih, karena kamu dituntut tidak hanya menurunkan fungsinya saja namun juga sudut yang ada didalamnya. Gunakan aturan rantai untuk mempermudah menurunkan fungsinya. - Aplikasi Turunan
Jika menurunkan fungsi aljabar sudah oke maka persoalan aplikasi turunan tentu bukan hal yang sudah buat kamu. Berbagai persoalan seperti garis singgung, fungsi naik, dan turun hingga statsioner biasa keluar di PAS. Apalagi soalnya dalam bentuk soal cerita.
🎯 30 Kumpulan Soal PAS Matematika Tingkat Lanjut Kelas 12 Semester Ganjil Lengkap Pembahasan
Nah, ini dia bagian latihan yang bisa bantu kamu upgrade level kemampuan matematika tingkat lanjut sebelum PAS nanti.Setiap soal di bawah ini udah dipilih biar kamu bisa nyentuh semua materi penting di semester ganjil ini.
Gass.., kita latihan bareng! 💪
Soal No. 1
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $4$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x^2 + y^2 = 4 \\ &(B)\ 4x^2 + y^2 = 16 \\ &(C)\ x^2 + 4y^2 = 4 \\ &(D)\ x^2 + y^2 = 16 \\ &(E)\ 4x^2 + 4y^2 = 4 \\ \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $4$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x^2 + y^2 = 4 \\ &(B)\ 4x^2 + y^2 = 16 \\ &(C)\ x^2 + 4y^2 = 4 \\ &(D)\ x^2 + y^2 = 16 \\ &(E)\ 4x^2 + 4y^2 = 4 \\ \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $r$ adalah :
\[ x^2 + y^2 = r^2 \]
Dengan demikian persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $4$ adalah :
$ \begin{align} x^2 + y^2 &= r^2 \\ x^2 + y^2 &= 4^2 \\ x^2 + y^2 &= 16 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ x^2 + y^2 = 16 $.
Soal No. 2
Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(2,-4)$ dan berjari - jari $3$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x^2+y^2-4x+8y+11 =0 \\ &(B)\ x^2+y^2-4x+8y-11 =0 \\ &(C)\ x^2+y^2-4x-8y+11 =0 \\ &(D)\ x^2+y^2+4x+8y+11 =0 \\ &(E)\ x^2+y^2-4x-8y-11 =0 \\ \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(2,-4)$ dan berjari - jari $3$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x^2+y^2-4x+8y+11 =0 \\ &(B)\ x^2+y^2-4x+8y-11 =0 \\ &(C)\ x^2+y^2-4x-8y+11 =0 \\ &(D)\ x^2+y^2+4x+8y+11 =0 \\ &(E)\ x^2+y^2-4x-8y-11 =0 \\ \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$ dan berjari - jari $r$ adalah :
\[ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \]
Dengan demikian persamaan lingkaran yang berpusat di $P(2,-4)$ dan berjari - jari $3$ adalah :
$ \begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 &= r^2 \\ (x-2)^2 + (y+4)^2 &= 3^2 \\ x^2-4x+4 + y^2+8y+16 &= 9 \\ x^2+y^2-4x+8y+11 &=0 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ x^2+y^2-4x+8y+11 =0 $.
Soal No. 3
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ menyinggung titik $A(3,4)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x^2 + y^2 = 5 \\ &(B)\ x^2 + y^2 = 5\sqrt{5} \\ &(C)\ x^2 + y^2 = 25 \\ &(D)\ 5x^2 + 5y^2 = 25 \\ &(E)\ 5x^2 + 5y^2 = 5 \\ \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ menyinggung titik $A(3,4)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x^2 + y^2 = 5 \\ &(B)\ x^2 + y^2 = 5\sqrt{5} \\ &(C)\ x^2 + y^2 = 25 \\ &(D)\ 5x^2 + 5y^2 = 25 \\ &(E)\ 5x^2 + 5y^2 = 5 \\ \end{align} $
Dalam soal yang belum diketahui adalah panjang jari - jari lingkarannya, jari - jari lingkarannya bisa kita hitung melalui jarak antara pusat $O(0,0)$ dan titik singgungnya $A(3,4)$.
Sehingga,
$ \begin{align} r &= \sqrt{ \left((3-0 \right)^2 + \left((4-0 \right)^2} \\ r &= \sqrt{ 9 + 16 } \\ r &= \sqrt{ 25 } \\ r &= 5 \end{align} $
Dengan demikian persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $5$ adalah :
$ \begin{align} x^2 + y^2 &= r^2 \\ x^2 + y^2 &= 5^2 \\ x^2 + y^2 &= 25 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ x^2 + y^2 = 25 $.
Ingat kembali!
Jarak titik $(x_1,y_1)$ dengan titik $(x_2,y_2)$ adalah: \[ d = \sqrt{ \left((x_2-x_1 \right)^2 + \left((y_2-y_1 \right)^2} \]
Jarak titik $(x_1,y_1)$ dengan titik $(x_2,y_2)$ adalah: \[ d = \sqrt{ \left((x_2-x_1 \right)^2 + \left((y_2-y_1 \right)^2} \]
Sehingga,
$ \begin{align} r &= \sqrt{ \left((3-0 \right)^2 + \left((4-0 \right)^2} \\ r &= \sqrt{ 9 + 16 } \\ r &= \sqrt{ 25 } \\ r &= 5 \end{align} $
Dengan demikian persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan berjari - jari $5$ adalah :
$ \begin{align} x^2 + y^2 &= r^2 \\ x^2 + y^2 &= 5^2 \\ x^2 + y^2 &= 25 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ x^2 + y^2 = 25 $.
Soal No. 4
Turunan pertama dari $f(x)=\dfrac{3x-5}{2x+4}$ adalah $f'(x)=$ ...
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{22}{(2x+4)^2} \\ &(B)\ \dfrac{20}{(2x+4)^2} \\ &(C)\ \dfrac{16}{(2x+4)^2} \\ &(D)\ -\dfrac{20}{(2x+4)^2} \\ &(E)\ -\dfrac{22}{(2x+4)^2} \\ \end{align} $
Turunan pertama dari $f(x)=\dfrac{3x-5}{2x+4}$ adalah $f'(x)=$ ...
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{22}{(2x+4)^2} \\ &(B)\ \dfrac{20}{(2x+4)^2} \\ &(C)\ \dfrac{16}{(2x+4)^2} \\ &(D)\ -\dfrac{20}{(2x+4)^2} \\ &(E)\ -\dfrac{22}{(2x+4)^2} \\ \end{align} $
Ingat kembali!
Turunan fungsi rasional (pecahan) $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ adalah: \( f'(x) = \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2 (x) } \)
Turunan fungsi rasional (pecahan) $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$ adalah: \( f'(x) = \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2 (x) } \)
Sehingga,
Misalkan pada soal $f(x)=\dfrac{3x-5}{2x+4}$ :
$u(x)=3x-5 \to u'(x)=3$ dan
$v(x)=2x+4 \to v'(x)=2$
Maka kita peroleh :
$ \begin{align} f'(x) &= \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x) }{v^2 (x) } \\ f'(x) &= \dfrac{3 \cdot (2x+4) - (3x-5) \cdot 2 }{(2x+4)^2} \\ &= \dfrac{6x+12-(6x-10)}{(2x+4)^2} \\ &= \dfrac{6x+12-6x+10)}{(2x+4)^2} \\ &= \dfrac{22}{(2x+4)^2} \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ \dfrac{22}{(2x+4)^2} $.
RUMUS CEPAT!
Turunan fungsi rasional (pecahan) $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ adalah: \( f'(x) = \dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2} \)
Turunan fungsi rasional (pecahan) $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ adalah: \( f'(x) = \dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2} \)
Turunan $f(x)=\dfrac{3x-5}{2x+4}$ adalah :
$ \begin{align} f'(x) &= \dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2} \\ f'(x) &= \dfrac{(3)(4)-(-5)(2)}{(2x+4)^2} \\ &= \dfrac{22}{(2x+4)^2} \end{align} $
Soal No. 5
Persamaan garis singgung fungsi $f(x)=2x^3-5x-7$ yang berabsis $1$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ y = 2x+10 \\ &(B)\ y = x-10 \\ &(C)\ y = x-11 \\ &(D)\ y = x+12 \\ &(E)\ y = 10x-1 \\ \end{align} $
Persamaan garis singgung fungsi $f(x)=2x^3-5x-7$ yang berabsis $1$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ y = 2x+10 \\ &(B)\ y = x-10 \\ &(C)\ y = x-11 \\ &(D)\ y = x+12 \\ &(E)\ y = 10x-1 \\ \end{align} $
Langkah pertama cari gradien dari garis singgungnya yang merupakan turunan pertama dari $f(x)$ saat $x=1$.
$ \begin{align} m &= f'(x) \\ m &= 6x^2-5 \\ &= 6(1)^2-5 \\ &= 1 \end{align} $
Berikutnya kita cari ordinat dari titik singgungnya :
$ \begin{align} f(x) &= 2x^3-5x-7 \\ y &= 2(1)^3-5(1)-7 \\ y &= -10 \end{align} $
Dengan demikian persamaan garis singgung dari $f(x)$ adalah :
$ \begin{align} y-y_1 &= m (x-x_1) \\ y-(-10) &= 1(x-1) \\ y &= x-11 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ y = x-11 $.
$ \begin{align} m &= f'(x) \\ m &= 6x^2-5 \\ &= 6(1)^2-5 \\ &= 1 \end{align} $
Berikutnya kita cari ordinat dari titik singgungnya :
$ \begin{align} f(x) &= 2x^3-5x-7 \\ y &= 2(1)^3-5(1)-7 \\ y &= -10 \end{align} $
Dengan demikian persamaan garis singgung dari $f(x)$ adalah :
$ \begin{align} y-y_1 &= m (x-x_1) \\ y-(-10) &= 1(x-1) \\ y &= x-11 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ y = x-11 $.
Soal No. 6
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 -100=0$ di titik $(6,8)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 3x+4y = 10 \\ &(B)\ 3x-4y = 100 \\ &(C)\ 3x+4y = 50 \\ &(D)\ -3x+4y = 100 \\ &(E)\ -3x-4y = 50 \\ \end{align} $
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 -100=0$ di titik $(6,8)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 3x+4y = 10 \\ &(B)\ 3x-4y = 100 \\ &(C)\ 3x+4y = 50 \\ &(D)\ -3x+4y = 100 \\ &(E)\ -3x-4y = 50 \\ \end{align} $
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah :
\( x_1x+y_1y=r^2 \)
Sehingga,
$ \begin{align} x^2 + y^2 - 100 &= 0 \\ x^2 + y^2 &= 100 \\ (6,8) \to 6x+8y &= 100 \ \text{|:2} \\ 3x+4y &= 50 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ 3x+4y = 50 $.
Soal No. 7
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2- 2 \cos 4x}{\cos 6x - 1} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{8} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -\dfrac{8}{9} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & -\dfrac{5}{8} \end{align} $
Hasil dari $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2- 2 \cos 4x}{\cos 6x - 1} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{1}{8} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & -\dfrac{8}{9} \\ (D)\ & 4 \\ (E)\ & -\dfrac{5}{8} \end{align} $
$
\begin{align}
&\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 - 2 \cos 4x}{\cos 6x - 1} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 (1-\cos 4x)}{-2 \ \sin^{2} 3x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 (2 \sin^{2} 2x)}{-2 \ \sin^{2} 3x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4}{-2} \ \cdot \ \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} \ \cdot \ \dfrac{\sin 2x}{\sin 3x} \\
&= (-2) \ \cdot \ \dfrac{2}{3} \ \cdot \ \dfrac{2}{3} \\
&= -\dfrac{8}{9}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ -\dfrac{8}{9}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ -\dfrac{8}{9}$.
Soal No. 8
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \sqrt{\cos x}}{x^{2}} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{4} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \sqrt{\cos x}}{x^{2}} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{4} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
Untuk mengerjakan soal limit trigonometri ini langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyederhanakan bentuk akar pada bagian $\cos x$ nya dengan cara kita kali akar sekawan.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \sqrt{\cos x}}{x^{2}} \times \dfrac{1+ \sqrt{\cos x}}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{x^{2}} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{x^{2}} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= 2 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos 0}} \\ &= 2 \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{1}} \\ &= \dfrac{1}{4} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \dfrac{1}{4}$.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \sqrt{\cos x}}{x^{2}} \times \dfrac{1+ \sqrt{\cos x}}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1- \cos x}{x^{2}} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin^{2} \left( \frac{1}{2}x \right)}{x^{2}} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos x}} \\ &= 2 \times \left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{\cos 0}} \\ &= 2 \times \left( \dfrac{1}{4} \right) \times \dfrac{1}{1+ \sqrt{1}} \\ &= \dfrac{1}{4} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \dfrac{1}{4}$.
Soal No. 9
Hasil $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \left( 3x+5 \right)=\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{9}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{7}{2} \\ (C)\ & \dfrac{5}{2} \\ (D)\ & \dfrac{7}{2} \\ (E)\ & \dfrac{9}{2} \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \left( 3x+5 \right)=\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{9}{2} \\ (B)\ & -\dfrac{7}{2} \\ (C)\ & \dfrac{5}{2} \\ (D)\ & \dfrac{7}{2} \\ (E)\ & \dfrac{9}{2} \end{align} $
Langkah awal untuk mengerjakannya adalah dengan mengubahnya dulu menjadi bentuk selisih dua akar.
Ingat kembali bahwa,
$a=\sqrt{a^{2}}$
Sehingga,
$\begin{align} \left( 3x+5 \right) &= \sqrt{\left( 3x+5 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{9x^{2}+30x+25} \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \left( 3x+5 \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \sqrt{9x^{2}+30x+25} \\ &= \dfrac{-24-30}{2\sqrt{9}} \\ &= \dfrac{-54}{2(6)} \\ &= -\dfrac{54}{12} \\ &= -\dfrac{9}{2} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ -\dfrac{9}{2}$.
Ingat kembali bahwa,
$a=\sqrt{a^{2}}$
Sehingga,
$\begin{align} \left( 3x+5 \right) &= \sqrt{\left( 3x+5 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{9x^{2}+30x+25} \end{align} $
Dengan demikian,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \left( 3x+5 \right) \\ &= \lim\limits_{x \to \infty} \sqrt{9x^{2}-24x+16}- \sqrt{9x^{2}+30x+25} \\ &= \dfrac{-24-30}{2\sqrt{9}} \\ &= \dfrac{-54}{2(6)} \\ &= -\dfrac{54}{12} \\ &= -\dfrac{9}{2} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ -\dfrac{9}{2}$.
Soal No.10
Garis singgung pada lingkaran $L \equiv x^2+y^2=9$ yang membentuk sudut $\dfrac{\pi}{3}$ dengan sumbu-$X$ positif akan memotong sumbu-$Y$ di titik ...
$ \begin{align} & (A). (0,\sqrt{3}) \ \text{dan} \ (0,-\sqrt{3}) \\ & (B). (6,0) \ \text{dan} \ (-6,0) \\ & (C). (0,6) \ \text{dan} \ (0,-6) \\ & (D). (0,3) \ \text{dan} \ (0,-3) \\ & (E). (0,\sqrt{6}) \ \text{dan} \ (0,-\sqrt{6}) \end{align} $
Garis singgung pada lingkaran $L \equiv x^2+y^2=9$ yang membentuk sudut $\dfrac{\pi}{3}$ dengan sumbu-$X$ positif akan memotong sumbu-$Y$ di titik ...
$ \begin{align} & (A). (0,\sqrt{3}) \ \text{dan} \ (0,-\sqrt{3}) \\ & (B). (6,0) \ \text{dan} \ (-6,0) \\ & (C). (0,6) \ \text{dan} \ (0,-6) \\ & (D). (0,3) \ \text{dan} \ (0,-3) \\ & (E). (0,\sqrt{6}) \ \text{dan} \ (0,-\sqrt{6}) \end{align} $
Pusat dan jari - jari lingkaran $L \equiv x^2+y^2=9$ berturut - turut adalah $P(0,0)$ dan $r=3$.
Membentuk sudut $\dfrac{\pi}{3}$ dengan sumbu-$X$ positif artinya gradien garis singgungnya adalah nilai tangensial dari $\dfrac{\pi}{3}$.
$m= \tan \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Dari sini kita dapatkan persamaan garis singgungnya adalah :
$ \begin{align} y &= mx \pm r\sqrt{m^{2}+1} \\ y &= \sqrt{3}x \pm 3 \sqrt{3+1} \\ y &= \sqrt{3}x \pm 6 \\ \end{align} $
Persamaan garis singgung lingkaran akan memotong sumbu-$Y$ ketika memenuhi kondisi : \[ x=0 \to y= \pm 6 \] Sehingga titik potongnya adalah : $(0,6)$ atau $(0,-6)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C). (0,6) \ \text{dan} \ (0,-6)$.
Membentuk sudut $\dfrac{\pi}{3}$ dengan sumbu-$X$ positif artinya gradien garis singgungnya adalah nilai tangensial dari $\dfrac{\pi}{3}$.
$m= \tan \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
Dari sini kita dapatkan persamaan garis singgungnya adalah :
$ \begin{align} y &= mx \pm r\sqrt{m^{2}+1} \\ y &= \sqrt{3}x \pm 3 \sqrt{3+1} \\ y &= \sqrt{3}x \pm 6 \\ \end{align} $
Persamaan garis singgung lingkaran akan memotong sumbu-$Y$ ketika memenuhi kondisi : \[ x=0 \to y= \pm 6 \] Sehingga titik potongnya adalah : $(0,6)$ atau $(0,-6)$.
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(C). (0,6) \ \text{dan} \ (0,-6)$.
Soal No.11
Turunan pertama dari $f(x)=4 \tan^{6} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 12 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \csc^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ & (B). 24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ & (C). 12 \sec^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ & (D). -24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \csc^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ & (E). -24 \sec^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \csc^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \end{align} $
Turunan pertama dari $f(x)=4 \tan^{6} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right)$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). 12 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \csc^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ & (B). 24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ & (C). 12 \sec^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ & (D). -24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \csc^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \\ & (E). -24 \sec^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \csc^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \end{align} $
Cara cepat menurunkan fungsi trigonometri $f(x)$ kita bisa tulis,
Maksudnya adalah:
$f(x)=4 \tan^{6} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right)$
Kita peroleh,
$ \begin{align} f'(x) &= \text{turpang} \times \text{turfung} \times \text{tursud} \\ f'(x) &= 24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) (1) \\ &= 24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). 24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) $.
$f'(x)= \text{turpang} \times \text{turfung} \times \text{tursud}$
Maksudnya adalah:
- $\text{turpang} \to$ turunan pangkat
- $\text{turfung} \to$ turunan fungsi
- $\text{tursud} \to$ turunan sudut
$f(x)=4 \tan^{6} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right)$
Kita peroleh,
$ \begin{align} f'(x) &= \text{turpang} \times \text{turfung} \times \text{tursud} \\ f'(x) &= 24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) (1) \\ &= 24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \end{align} $
Jadi, jawaban yang BENAR adalah $(B). 24 \tan^{5} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) \sec^{2} \left(x- \dfrac{1}{2} \pi \right) $.
Soal No. 12
Persamaan lingkaran yang berpusat di $A(2,-3)$ menyinggung garis $2x+4y-6=0$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x^2 + y^2 -20x +30y + 16 = 0 \\ &(B)\ x^2 + y^2 +20x +30y + 16 = 0 \\ &(C)\ 5x^2 + 5y^2 -20x +30y + 16 = 0 \\ &(D)\ 5x^2 + 5y^2 -20x -30y + 16 = 0 \\ &(E)\ 5x^2 + 5y^2 -20x +30y - 16 = 0 \\ \end{align} $
Persamaan lingkaran yang berpusat di $A(2,-3)$ menyinggung garis $2x+4y-6=0$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x^2 + y^2 -20x +30y + 16 = 0 \\ &(B)\ x^2 + y^2 +20x +30y + 16 = 0 \\ &(C)\ 5x^2 + 5y^2 -20x +30y + 16 = 0 \\ &(D)\ 5x^2 + 5y^2 -20x -30y + 16 = 0 \\ &(E)\ 5x^2 + 5y^2 -20x +30y - 16 = 0 \\ \end{align} $
Dalam soal yang belum diketahui adalah panjang jari - jari lingkarannya, jari - jari lingkarannya bisa kita hitung melalui jarak antara pusat $A(2,-3)$ dan garis singgungnya $2x+4y-6=0$.
Sehingga,
$ \begin{align} r &= \left| \dfrac{Ax_1+By_1+c}{\sqrt{A^2+B^2}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{2(2)+4(-3)-6}{\sqrt{(2)^2+(4)^2}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-14}{\sqrt{20}} \right| \\ &= \dfrac{7}{\sqrt{5}} \end{align} $
Dengan demikian persamaan lingkaran yang berpusat di $A(2,-3)$ dan berjari - jari $\dfrac{7}{\sqrt{5}}$ adalah :
$ \begin{align} (x-2)^2 + (y+3)^2 &= \left( \dfrac{7}{\sqrt{5}} \right)^2 \\ x^2-4x+4 + y^2+6y+9 - \dfrac{49}{5} &= 0 \ \text{|} \ \times 5 \\ 5x^2 + 5y^2 -20x +30y + 16 &= 0 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ 5x^2 + 5y^2 -20x +30y + 16 = 0 $.
Ingat kembali!
Jarak titik $(x_1,y_1)$ terhadap garis $Ax+By+C=0$ adalah: \[ d = \left| \dfrac{Ax_1+By_1+c}{\sqrt{A^2+B^2}} \right| \]
Jarak titik $(x_1,y_1)$ terhadap garis $Ax+By+C=0$ adalah: \[ d = \left| \dfrac{Ax_1+By_1+c}{\sqrt{A^2+B^2}} \right| \]
Sehingga,
$ \begin{align} r &= \left| \dfrac{Ax_1+By_1+c}{\sqrt{A^2+B^2}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{2(2)+4(-3)-6}{\sqrt{(2)^2+(4)^2}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-14}{\sqrt{20}} \right| \\ &= \dfrac{7}{\sqrt{5}} \end{align} $
Dengan demikian persamaan lingkaran yang berpusat di $A(2,-3)$ dan berjari - jari $\dfrac{7}{\sqrt{5}}$ adalah :
$ \begin{align} (x-2)^2 + (y+3)^2 &= \left( \dfrac{7}{\sqrt{5}} \right)^2 \\ x^2-4x+4 + y^2+6y+9 - \dfrac{49}{5} &= 0 \ \text{|} \ \times 5 \\ 5x^2 + 5y^2 -20x +30y + 16 &= 0 \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ 5x^2 + 5y^2 -20x +30y + 16 = 0 $.
Soal No. 13
Batas - batas nilai $a$ agar titik $P(3,a)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2=25$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ -4 \le a \le 4 \\ &(B)\ -4 \lt a \le 4 \\ &(C)\ -4 \lt a \lt 4 \\ &(D)\ 0 \lt a \lt 4 \\ &(E)\ -4 \lt a \lt 0 \end{align} $
Batas - batas nilai $a$ agar titik $P(3,a)$ terletak di dalam lingkaran $x^2+y^2=25$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ -4 \le a \le 4 \\ &(B)\ -4 \lt a \le 4 \\ &(C)\ -4 \lt a \lt 4 \\ &(D)\ 0 \lt a \lt 4 \\ &(E)\ -4 \lt a \lt 0 \end{align} $
Batas - batas nilai $a$ :
$ \begin{align} x^2+y^2 &= 25 \\ (3,a) \to 3^2+a^2 & \lt 25 \\ a^2 & \lt 16 \\ a & \lt \pm 4 \\ -4 \lt a & \lt 4 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ -4 \lt a \lt 4$.
$ \begin{align} x^2+y^2 &= 25 \\ (3,a) \to 3^2+a^2 & \lt 25 \\ a^2 & \lt 16 \\ a & \lt \pm 4 \\ -4 \lt a & \lt 4 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ -4 \lt a \lt 4$.
Soal No. 13
Jari - jari dan titik pusat lingkaran $4x^2+4y^2+4x-12y+1=0$ ...
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{3}{2} \ \text{dan} \ \left(-\dfrac{1}{2},1 \right) \\ &(B)\ \dfrac{3}{2} \ \text{dan} \ \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \\ &(C)\ \dfrac{3}{2} \ \text{dan} \ \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \\ &(D)\ 3 \ \text{dan} \ \left(1,3 \right) \\ &(E)\ 3 \ \text{dan} \ \left(-1,3 \right) \\ \end{align} $
Jari - jari dan titik pusat lingkaran $4x^2+4y^2+4x-12y+1=0$ ...
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{3}{2} \ \text{dan} \ \left(-\dfrac{1}{2},1 \right) \\ &(B)\ \dfrac{3}{2} \ \text{dan} \ \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \\ &(C)\ \dfrac{3}{2} \ \text{dan} \ \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \\ &(D)\ 3 \ \text{dan} \ \left(1,3 \right) \\ &(E)\ 3 \ \text{dan} \ \left(-1,3 \right) \\ \end{align} $
Ingat kembali!
Pusat dan jari - jari lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah :
$P \left( - \dfrac{1}{2} A,- \dfrac{1}{2} B \right)$
$r = \sqrt{\dfrac{1}{4}A^2 + \dfrac{1}{4}B^2 - C}$
Pusat dan jari - jari lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ adalah :
$P \left( - \dfrac{1}{2} A,- \dfrac{1}{2} B \right)$
$r = \sqrt{\dfrac{1}{4}A^2 + \dfrac{1}{4}B^2 - C}$
$ \begin{align} 4x^2+4y^2+4x-12y+1 &=0 \ \text{|} :4 \\ x^2+y^2+x-3y+ \dfrac{1}{4} &=0 \\ \\ P \left( - \dfrac{1}{2} (1),- \dfrac{1}{2} (-3) \right) \\ P \left( - \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right) \\ \\ r = \sqrt{ \dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4} - \dfrac{1}{4}} = \dfrac{3}{2} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ \dfrac{3}{2} \ \text{dan} \ \left(-\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right)$.
Soal No.14
Jarak tempuh suatu benda adalah \( S(t) = 4t^2 + 2t \). Benda mengalami percepatan konstan, diantara pernyataan beikut yang bernilai BENAR adalah ...
$(B).$ $(1)$ dan $(3)$ SAJA.
$(C).$ $(2)$ dan $(4)$ SAJA.
$(D).$ $(4)$ SAJA.
$(E).$ SEMUA benar.
Jarak tempuh suatu benda adalah \( S(t) = 4t^2 + 2t \). Benda mengalami percepatan konstan, diantara pernyataan beikut yang bernilai BENAR adalah ...
- \( V(t) \) linear
- \( a(t) \) konstan
- \( S(t) \) kuadrat
- \( a(t) \gt V(t) \)
$(B).$ $(1)$ dan $(3)$ SAJA.
$(C).$ $(2)$ dan $(4)$ SAJA.
$(D).$ $(4)$ SAJA.
$(E).$ SEMUA benar.
\( v(t) = s'(t) = 8t + 2 \) → linear
\( a(t) = v'(t) = 8 \) → konstan
\( s(t) \) bentuk kuadrat
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A).$ $(1)$, $(2)$, dan $(3)$ SAJA.
\( a(t) = v'(t) = 8 \) → konstan
\( s(t) \) bentuk kuadrat
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A).$ $(1)$, $(2)$, dan $(3)$ SAJA.
Soal No.15
Andi melempar bola dari atap sebuah rumah. Ketinggian bola saat waktu $t$ (detik) dinyatakan dengan persamaan $h(t)=5+ \sin^2 \pi t$. Kecepatan bola ditentukan dengan rumus $V(t)=\dfrac{dh}{dt}$.
Besar kecepatan bola saat $t=0,25$ detik adalah ....
$ \begin{align} & (A). 0 \\ & (B). \pi \\ & (C). 2\pi \\ & (D). 3\pi \\ & (E). 4\pi \end{align} $
Andi melempar bola dari atap sebuah rumah. Ketinggian bola saat waktu $t$ (detik) dinyatakan dengan persamaan $h(t)=5+ \sin^2 \pi t$. Kecepatan bola ditentukan dengan rumus $V(t)=\dfrac{dh}{dt}$.
Besar kecepatan bola saat $t=0,25$ detik adalah ....
$ \begin{align} & (A). 0 \\ & (B). \pi \\ & (C). 2\pi \\ & (D). 3\pi \\ & (E). 4\pi \end{align} $
$
\begin{align}
V(t) &= 2 \ \sin \pi t ( \pi \cos \pi t) \\
V(t) &= \pi \sin 2 \pi t \\ \\
V(t) &= \pi \sin 2 \pi (0,25) \\
&= \pi \sin 0,5 \pi \\
&= \pi
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $ (B). \pi $.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $ (B). \pi $.
Soal No.16
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 4x \ \tan x}{\cos x - \cos 3x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
Hasil $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 4x \ \tan x}{\cos x - \cos 3x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 4x \ \tan x}{\cos x - \cos 3x} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2 \ \sin 4x \ \tan x}{-2 \sin \left( \dfrac{x+3x}{2} \right) \sin \left( \dfrac{x-3x}{2} \right)} \\
&= - \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 2x} \times \dfrac{\tan x}{\sin (-x)} \\
&= -1 \times \dfrac{4}{2} \times \dfrac{1}{(-1)} \\
&= 2
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ 2$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ 2$.
Soal No.17
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \sqrt{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{4} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
Nilai $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}}$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \sqrt{2} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \frac{1}{2} \\ (D)\ & \frac{1}{4} \\ (E)\ & 0 \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{4x}}{\sqrt{\sin 2x}} \\
&= \lim\limits_{x \to 0} \sqrt{\dfrac{4x}{\sin 2x}} \\
&= \sqrt{\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{4x}{\sin 2x}} \\
&= \sqrt{\dfrac{4}{2}} \\
&= \sqrt{2}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \sqrt{2}$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ \sqrt{2}$.
Soal No.18
Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x$ akan naik dalam interval ...
$ \begin{align} &(A)\ 1 \lt x \lt 2 \\ &(B)\ x \lt -2 \ \text{atau} \ x \gt -1 \\ &(C)\ -1 \lt x \lt 2 \\ &(D)\ -2 \lt x \lt -1 \\ &(E)\ x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 2 \end{align} $
Grafik fungsi $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x$ akan naik dalam interval ...
$ \begin{align} &(A)\ 1 \lt x \lt 2 \\ &(B)\ x \lt -2 \ \text{atau} \ x \gt -1 \\ &(C)\ -1 \lt x \lt 2 \\ &(D)\ -2 \lt x \lt -1 \\ &(E)\ x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 2 \end{align} $
Karena yang dicari dalam soal adalah fungsi naik maka kita akan cari batas -batas nilai $x$ nya sehingga nilai $f'(x) \gt 0$.
$ \begin{align} f(x) &= 2x^{3}-9x^{2}+12x \\ f'(x) &= 6x^{2}-18x+12 \end{align} $
$f(x)$ naik maka,
$ \begin{align} f'(x) &\gt 0 \\ 6x^{2}-18x+12 &\gt 0 \text{ | :6} \\ x^{2}-3x+2 &\gt 0 \\ (x-2)(x-1) &\gt 0 \end{align} $
Langkah terakhir adalah dengan menggunakan garis bilangan dan uji tanda kita akan mencari daerah hasil dari pertidaksamaan kuadrat di atas.
$ \begin{align} f(x) &= 2x^{3}-9x^{2}+12x \\ f'(x) &= 6x^{2}-18x+12 \end{align} $
$f(x)$ naik maka,
$ \begin{align} f'(x) &\gt 0 \\ 6x^{2}-18x+12 &\gt 0 \text{ | :6} \\ x^{2}-3x+2 &\gt 0 \\ (x-2)(x-1) &\gt 0 \end{align} $
Langkah terakhir adalah dengan menggunakan garis bilangan dan uji tanda kita akan mencari daerah hasil dari pertidaksamaan kuadrat di atas.
Sehingga kita akan dapatkan daerah hasil penyelesaian yaitu $x \ \lt 1 \ \text{atau} \ \gt 2$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ x \lt 1 \ \text{atau} \ x \gt 2$.
Soal No.19
Sebuah meriam ditembakkan ke atas dan membentuk suatu lintasan parabola $f(x)=100x-x^{2}$ dalam meter. Ketinggian maksimum yang dapat dicapai oleh meriam tersebut adalah ... meter.
$ \begin{align} &(A)\ 20 \\ &(B)\ 30 \\ &(C)\ 50 \\ &(D)\ 70 \\ &(E)\ 90 \end{align} $
Sebuah meriam ditembakkan ke atas dan membentuk suatu lintasan parabola $f(x)=100x-x^{2}$ dalam meter. Ketinggian maksimum yang dapat dicapai oleh meriam tersebut adalah ... meter.
$ \begin{align} &(A)\ 20 \\ &(B)\ 30 \\ &(C)\ 50 \\ &(D)\ 70 \\ &(E)\ 90 \end{align} $
Ketinggian maksimum dapat dicapai jika $f'(x)=0$
$ \begin{align} f(x) &= 100x-x^{2} \\ f'(x) &= 100-2x \\ \hline 100-2x &=0 \\ x &=50 \end{align} $
Tinggi maksimum meriam adalah $50$ meter.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ 50$.
$ \begin{align} f(x) &= 100x-x^{2} \\ f'(x) &= 100-2x \\ \hline 100-2x &=0 \\ x &=50 \end{align} $
Tinggi maksimum meriam adalah $50$ meter.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ 50$.
Soal No.20
Sebuah project dapat diselesaikan dalam waktu $x$ hari dengan memakan biaya perharinya sebesar $\left( 2x+\dfrac{500}{x}-60 \right)$ juta rupiah. Nilai biaya minimum dari project tersebut adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ Rp. \ 50.000.000,00 \\ &(B)\ Rp. \ 65.000.000,00 \\ &(C)\ Rp. \ 75.000.000,00 \\ &(D)\ Rp. \ 80.000.000,00 \\ &(E)\ Rp. \ 120.000.000,00 \end{align} $
Sebuah project dapat diselesaikan dalam waktu $x$ hari dengan memakan biaya perharinya sebesar $\left( 2x+\dfrac{500}{x}-60 \right)$ juta rupiah. Nilai biaya minimum dari project tersebut adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ Rp. \ 50.000.000,00 \\ &(B)\ Rp. \ 65.000.000,00 \\ &(C)\ Rp. \ 75.000.000,00 \\ &(D)\ Rp. \ 80.000.000,00 \\ &(E)\ Rp. \ 120.000.000,00 \end{align} $
Langkah pertama kita cari dulu fungsi biaya total dari project tersebut.
Selanjutnya dengan menggunakan konsep stasioner kita akan dapatkan dengan mudah bahwa biaya minimum adalah turunan pertamanya disamadengankan nol.
Fungsi biaya total,
$ \begin{align} B(x) &= \left( 2x+\dfrac{500}{x}-60 \right)x \\ B(x) &= 2x^{2}-60x+500 \\ \hline B'(x) &=0 \ \text{{biaya minimum}}\\ 4x-60 &=0 \\ x &=15 \end{align} $
Substitusikan ke $B(x)$,
$ \begin{align} B(15) &= 2(15)^{2}-60(15)+500 \\ &= 450-900+500 \\ &= 50 \end{align} $
Sehingga besar biaya minimum dari projectnya adalah $Rp. \ 50.000.000,00$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ Rp. \ 50.000.000,00$.
Selanjutnya dengan menggunakan konsep stasioner kita akan dapatkan dengan mudah bahwa biaya minimum adalah turunan pertamanya disamadengankan nol.
Fungsi biaya total,
$ \begin{align} B(x) &= \left( 2x+\dfrac{500}{x}-60 \right)x \\ B(x) &= 2x^{2}-60x+500 \\ \hline B'(x) &=0 \ \text{{biaya minimum}}\\ 4x-60 &=0 \\ x &=15 \end{align} $
Substitusikan ke $B(x)$,
$ \begin{align} B(15) &= 2(15)^{2}-60(15)+500 \\ &= 450-900+500 \\ &= 50 \end{align} $
Sehingga besar biaya minimum dari projectnya adalah $Rp. \ 50.000.000,00$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A)\ Rp. \ 50.000.000,00$.
Soal No.21
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $(x+1)^2+(y-2)^2=20$ yang sejajar dengan garis $2x-y=2$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ y=2x-14 \\ &(B)\ y=2x-12 \\ &(C)\ y=2x-8 \\ &(D)\ y=2x-6 \\ &(E)\ y=2x-4 \end{align} $
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $(x+1)^2+(y-2)^2=20$ yang sejajar dengan garis $2x-y=2$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ y=2x-14 \\ &(B)\ y=2x-12 \\ &(C)\ y=2x-8 \\ &(D)\ y=2x-6 \\ &(E)\ y=2x-4 \end{align} $
Karena sejajar artinya persamaan garis singgungnya akan bergradien sama dengan $2x-y=2$ yaitu :
$m=- \dfrac{2}{(-1)}=2$
Sehingga,
$ \begin{align} y-b &= m(x-a) \pm r \sqrt{m^1 + 1} \\ y-2 &= 2(x+1) \pm \sqrt{20} \sqrt{2^1 + 1} \\ y-2 &= 2x+2 \pm \sqrt{100} \\ y &= 2x+4 \pm 10 \\ \end{align} $
Kita dapatkan persamaan garis singgung yang pertama :
$ \begin{align} y &= 2x+4 + 10 \\ y &= 2x+14 \end{align} $
dan persamaan garis singgung yang kedua adalah :
$ \begin{align} y &= 2x+4 - 10 \\ y &= 2x-6 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ y=2x-6$.
$m=- \dfrac{2}{(-1)}=2$
Sehingga,
$ \begin{align} y-b &= m(x-a) \pm r \sqrt{m^1 + 1} \\ y-2 &= 2(x+1) \pm \sqrt{20} \sqrt{2^1 + 1} \\ y-2 &= 2x+2 \pm \sqrt{100} \\ y &= 2x+4 \pm 10 \\ \end{align} $
Kita dapatkan persamaan garis singgung yang pertama :
$ \begin{align} y &= 2x+4 + 10 \\ y &= 2x+14 \end{align} $
dan persamaan garis singgung yang kedua adalah :
$ \begin{align} y &= 2x+4 - 10 \\ y &= 2x-6 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ y=2x-6$.
Soal No.22
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+8x-12y+32=0$ yang melalui titik $(2,4)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x-2y-8=0 \\ &(B)\ x-2y-6=0 \\ &(C)\ 3x+y-8=0 \\ &(D)\ 3x+y-6=0 \\ &(E)\ 3x-y+8=0 \end{align} $
Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+8x-12y+32=0$ yang melalui titik $(2,4)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ x-2y-8=0 \\ &(B)\ x-2y-6=0 \\ &(C)\ 3x+y-8=0 \\ &(D)\ 3x+y-6=0 \\ &(E)\ 3x-y+8=0 \end{align} $
Persamaan garis singgungnya adalah
$ \begin{align} x_1x + y_1y + \dfrac{A}{2}(x+x_1)+ \dfrac{B}{2}(y+y_1) + C &= 0 \\ 2x + 4y + \dfrac{8}{2}(x+2)+ \dfrac{(-12)}{2}(y+4) + 32 &= 0 \\ 2x + 4y + 4x+8 -6y-24 + 32 &= 0 \\ 6x -2y + 16 &= 0 \\ 3x - y + 8 &= 0 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 3x-y+8=0$.
$ \begin{align} x_1x + y_1y + \dfrac{A}{2}(x+x_1)+ \dfrac{B}{2}(y+y_1) + C &= 0 \\ 2x + 4y + \dfrac{8}{2}(x+2)+ \dfrac{(-12)}{2}(y+4) + 32 &= 0 \\ 2x + 4y + 4x+8 -6y-24 + 32 &= 0 \\ 6x -2y + 16 &= 0 \\ 3x - y + 8 &= 0 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ 3x-y+8=0$.
Soal No.23
Turunan kedua dari fungsi $y=x \cos x$ adalah $y''=$ ...
$ \begin{align} &(A)\ -x \cos x + 2 \sin x \\ &(B)\ x \cos x - 2 \sin x \\ &(C)\ x \cos x + 2 \sin x \\ &(D)\ -x \cos x - 2 \sin x \\ &(E)\ -x \cos x - \sin x \end{align} $
Turunan kedua dari fungsi $y=x \cos x$ adalah $y''=$ ...
$ \begin{align} &(A)\ -x \cos x + 2 \sin x \\ &(B)\ x \cos x - 2 \sin x \\ &(C)\ x \cos x + 2 \sin x \\ &(D)\ -x \cos x - 2 \sin x \\ &(E)\ -x \cos x - \sin x \end{align} $
Untuk menurunkan fungsi $f(x)$ kita pakai rumus turunan bentuk perkalian yaitu :
\[ f(x) = u(x) \times v(x) \to f'(x) = u'(x) \times v(x) + u(x) \times v'(x) \]
Sehingga kita peroleh
$ \begin{align} y &= x \cos x \\ \\ y' &= \cos x + x (- \sin x) \\ &= \cos x - x \sin x \\ \\ y'' &= - \sin x - (\sin x + x \cos x) \\ &= - x \cos x - 2 \sin x \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ -x \cos x - 2 \sin x$.
Sehingga kita peroleh
$ \begin{align} y &= x \cos x \\ \\ y' &= \cos x + x (- \sin x) \\ &= \cos x - x \sin x \\ \\ y'' &= - \sin x - (\sin x + x \cos x) \\ &= - x \cos x - 2 \sin x \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ -x \cos x - 2 \sin x$.
Soal No.24
Diketahui $f(x)= \sin^2 (3x - \pi)$. Nilai $f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right)=$ ...
$ \begin{align} &(A)\ -4 \\ &(B)\ -\dfrac{1}{2} \\ &(C)\ 0 \\ &(D)\ \dfrac{1}{2} \\ &(E)\ 4 \end{align} $
Diketahui $f(x)= \sin^2 (3x - \pi)$. Nilai $f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right)=$ ...
$ \begin{align} &(A)\ -4 \\ &(B)\ -\dfrac{1}{2} \\ &(C)\ 0 \\ &(D)\ \dfrac{1}{2} \\ &(E)\ 4 \end{align} $
$
\begin{align}
f(x) &= \sin^2 (3x - \pi) \\ \\
f'(x) &= 2 \sin (3x - \pi) \cdot \cos (3x - \pi) \cdot 3 \\
&= 3 \sin (6x - 2 \pi) \\ \\
f' \left( \dfrac{\pi}{2} \right) &= 3 \sin (6 \left( \dfrac{\pi}{2} \right) - 2 \pi) \\
&= 3 \sin (3 \pi - 2 \pi) \\
&= 3 \sin \pi \\
&= 0
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ 0$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ 0$.
Soal No.25
Garis $g$ menyinggung kurva $y=2 \sin x + \cos x$ di titik yang berabsis $\dfrac{\pi}{3}$. Gradien (kemiringan) garis yang tegak lurus pada $g$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 4+2\sqrt{3} \\ &(B)\ 2-4\sqrt{3} \\ &(C)\ -4-2\sqrt{3} \\ &(D)\ \dfrac{1}{4} \left( \sqrt{3}-1 \right) \\ &(E)\ \dfrac{1}{4} \left( 1-\sqrt{3} \right) \end{align} $
Garis $g$ menyinggung kurva $y=2 \sin x + \cos x$ di titik yang berabsis $\dfrac{\pi}{3}$. Gradien (kemiringan) garis yang tegak lurus pada $g$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 4+2\sqrt{3} \\ &(B)\ 2-4\sqrt{3} \\ &(C)\ -4-2\sqrt{3} \\ &(D)\ \dfrac{1}{4} \left( \sqrt{3}-1 \right) \\ &(E)\ \dfrac{1}{4} \left( 1-\sqrt{3} \right) \end{align} $
Gradien (kemiringan) dari garis singgung sebuah fungsi merupakan turunan pertama dari fungsi tersebut.
\[ m=f'(x)=y' \]
Sehingga kita peroleh
$ \begin{align} y &= 2 \sin x + \cos x \\ \\ m &= 2 \cos x - \sin x \\ x=\dfrac{\pi}{3} \to m &= 2 \cos \dfrac{\pi}{3} - \sin \dfrac{\pi}{3} \\ &= 2 \left( \dfrac{1}{2} \right) - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ &= 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{align} $
Ingat kembali bahwa dua garis yang saling tegak lurus maka $m_1 \times m_2=-1$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} m_1 &= 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \\ m_1 \times m_2 &= -1 \\ \left( 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \times m_2 &= -1 \\ m_2 &= \dfrac{-1}{1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-1}{\left( 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) } \times \dfrac{\left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)}{ \left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)} \\ &= \dfrac{-\left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)}{1- \dfrac{3}{4}} \\ &= -4 \left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \\ &= -4 -2 \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ -4-2\sqrt{3}$.
$ \begin{align} y &= 2 \sin x + \cos x \\ \\ m &= 2 \cos x - \sin x \\ x=\dfrac{\pi}{3} \to m &= 2 \cos \dfrac{\pi}{3} - \sin \dfrac{\pi}{3} \\ &= 2 \left( \dfrac{1}{2} \right) - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ &= 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{align} $
Ingat kembali bahwa dua garis yang saling tegak lurus maka $m_1 \times m_2=-1$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} m_1 &= 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \\ m_1 \times m_2 &= -1 \\ \left( 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \times m_2 &= -1 \\ m_2 &= \dfrac{-1}{1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-1}{\left( 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) } \times \dfrac{\left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)}{ \left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)} \\ &= \dfrac{-\left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)}{1- \dfrac{3}{4}} \\ &= -4 \left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \\ &= -4 -2 \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ -4-2\sqrt{3}$.
Soal No.26
Nilai maksimum fungsi $f(x)=3 \sin 3x - 3 \cos 3x$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 9 \\ &(B)\ 6 \\ &(C)\ 3\sqrt{2} \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ \sqrt{2} \end{align} $
Nilai maksimum fungsi $f(x)=3 \sin 3x - 3 \cos 3x$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 9 \\ &(B)\ 6 \\ &(C)\ 3\sqrt{2} \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ \sqrt{2} \end{align} $
Nilai maksimum fungsi adalah nilai tertinggi yang dicapai oleh suatu fungsi.
Nilai maksimum terjadi di titik stasioner di mana \( f^{\prime }(x)=0 \).
$ \begin{align} f'(x) &= 0 \\ f(x) &= 3 \sin 3x - 3 \cos 3x \\ f'(x) &= 9 \cos 3x + 9 \sin 3x \\ 0 &= 9 \cos 3x + 9 \sin 3x \\ - 9 \sin 3x &= 9 \cos 3x \\ \\ \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} &= - \dfrac{\cos 3x}{\cos 3x} \\ \\ \tan 3x &= -1 \\ \tan 3x &= \tan 135^{\circ} \\ 3x &= 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x &= 45^{\circ} + k \cdot 60^{\circ} \\ x &= 45^{\circ}, 105^{\circ}, 165^{\circ}, \cdots \end{align} $
Kita cek untuk mencari nilai minimumnya,
$ \begin{align} f(45^{\circ}) &= 3 \sin 135^{\circ} - 3 \cos 135^{\circ} \\ &= 3 \left( \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right) - 3 \left( -\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right) \\ &= \dfrac{3}{2} \sqrt{2} + \dfrac{3}{2} \sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} \ \text{(max)} \\ \\ f(105^{\circ}) &= 3 \sin 315^{\circ} - 3 \cos 315^{\circ} \\ &= 3 \left( -\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right) - 3 \left( \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right) \\ &= -3\sqrt{2} \ \text{(min)} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ 3\sqrt{2}$.
Nilai maksimum terjadi di titik stasioner di mana \( f^{\prime }(x)=0 \).
$ \begin{align} f'(x) &= 0 \\ f(x) &= 3 \sin 3x - 3 \cos 3x \\ f'(x) &= 9 \cos 3x + 9 \sin 3x \\ 0 &= 9 \cos 3x + 9 \sin 3x \\ - 9 \sin 3x &= 9 \cos 3x \\ \\ \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} &= - \dfrac{\cos 3x}{\cos 3x} \\ \\ \tan 3x &= -1 \\ \tan 3x &= \tan 135^{\circ} \\ 3x &= 135^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x &= 45^{\circ} + k \cdot 60^{\circ} \\ x &= 45^{\circ}, 105^{\circ}, 165^{\circ}, \cdots \end{align} $
Kita cek untuk mencari nilai minimumnya,
$ \begin{align} f(45^{\circ}) &= 3 \sin 135^{\circ} - 3 \cos 135^{\circ} \\ &= 3 \left( \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right) - 3 \left( -\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right) \\ &= \dfrac{3}{2} \sqrt{2} + \dfrac{3}{2} \sqrt{2} \\ &= 3\sqrt{2} \ \text{(max)} \\ \\ f(105^{\circ}) &= 3 \sin 315^{\circ} - 3 \cos 315^{\circ} \\ &= 3 \left( -\dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right) - 3 \left( \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \right) \\ &= -3\sqrt{2} \ \text{(min)} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ 3\sqrt{2}$.
Soal No.27
Turunan dari $f(x)=\tan^5 (x^2)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 10x \sin^4 (x^2) \sec^6 (x^2) \\ &(B)\ 10x \cos^4 (x^2) \csc^6 (x^2) \\ &(C)\ 5x \cos^4 (x^2) \csc^6 (x^2) \\ &(D)\ -5x \sec^4 (x^2) \sin^6 (x^2) \\ &(E)\ -5x \sin^4 (x^2) \cos^6 (x^2) \end{align} $
Turunan dari $f(x)=\tan^5 (x^2)$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 10x \sin^4 (x^2) \sec^6 (x^2) \\ &(B)\ 10x \cos^4 (x^2) \csc^6 (x^2) \\ &(C)\ 5x \cos^4 (x^2) \csc^6 (x^2) \\ &(D)\ -5x \sec^4 (x^2) \sin^6 (x^2) \\ &(E)\ -5x \sin^4 (x^2) \cos^6 (x^2) \end{align} $
$
\begin{align}
f(x) &= \tan^5 (x^2) \\ \\
f'(x) &= 5 \tan^4 (x^2) \cdot \sec^2 (x^2) \cdot 2x \\
&= 10x \tan^4 (x^2) \cdot \sec^2 (x^2) \\
&= 10x \cdot \dfrac{\sin^4 (x^2)}{\cos^4 (x^2)} \cdot \sec^2 (x^2) \\
&= 10x \sin^4 (x^2) \sec^6 (x^2)
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ 10x \sin^4 (x^2) \sec^6 (x^2)$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ 10x \sin^4 (x^2) \sec^6 (x^2)$.
Soal No.28
$\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \sin \dfrac{1}{x}\ \tan \dfrac{1}{x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
$\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \sin \dfrac{1}{x}\ \tan \dfrac{1}{x} =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & \dfrac{1}{2} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
Misal $x=\dfrac{1}{y}$ maka $y=\dfrac{1}{x}$, sehingga untuk $x \to \infty$ maka $y \to 0$.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \sin \dfrac{1}{x}\ \tan \dfrac{1}{x} \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{1}{y} \right)^{2}\ \sin y \ \tan y \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}}\ \sin y \ \tan y \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\sin y \ \tan y}{y^{2}} \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{\sin y}{y} \cdot \dfrac{\tan y}{y} \right) \\ &= 1 \cdot 1 \\ &= 1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 1$.
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \sin \dfrac{1}{x}\ \tan \dfrac{1}{x} \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{1}{y} \right)^{2}\ \sin y \ \tan y \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}}\ \sin y \ \tan y \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{\sin y \ \tan y}{y^{2}} \\ &= \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{\sin y}{y} \cdot \dfrac{\tan y}{y} \right) \\ &= 1 \cdot 1 \\ &= 1 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 1$.
Soal No.29
$\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( \sec \dfrac{2}{x}-1 \right) =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
$\lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( \sec \dfrac{2}{x}-1 \right) =\cdots$
$ \begin{align} (A)\ & -2 \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2 \end{align} $
Misal $x=\dfrac{1}{y}$ maka $y=\dfrac{1}{x}$, sehingga untuk $x \to \infty$ maka $y \to 0$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( \sec \left( 2 \cdot \dfrac{1}{x} \right) -1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{1}{y} \right)^{2}\ \left( \sec \left( 2 \cdot y \right)-1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{1}{y} \right)^{2}\ \left( \sec 2y-1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}} \left( \dfrac{1}{\cos 2y} -1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}}\ \left( \dfrac{1-\cos 2y}{\cos 2y} \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}}\ \left( \dfrac{2\sin^{2}y}{\cos 2y} \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{2\sin^{2}y}{y^{2}} \cdot \dfrac{1}{\cos 2y}\right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{\cos 0} \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $E)\ 2$.
Sehingga,
$ \begin{align} & \lim\limits_{x \to \infty} x^{2}\ \left( \sec \left( 2 \cdot \dfrac{1}{x} \right) -1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{1}{y} \right)^{2}\ \left( \sec \left( 2 \cdot y \right)-1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{1}{y} \right)^{2}\ \left( \sec 2y-1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}} \left( \dfrac{1}{\cos 2y} -1 \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}}\ \left( \dfrac{1-\cos 2y}{\cos 2y} \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{1}{y^{2}}\ \left( \dfrac{2\sin^{2}y}{\cos 2y} \right) \\ & = \lim\limits_{y \to 0} \left( \dfrac{2\sin^{2}y}{y^{2}} \cdot \dfrac{1}{\cos 2y}\right) \\ & = 2 \cdot \dfrac{1}{\cos 0} \\ & = 2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $E)\ 2$.
Soal No.30
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{1-x^2} = ....$
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{5} \end{align} $
$\displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{1-x^2} = ....$
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{3} \\ (B)\ & \dfrac{1}{4} \\ (C)\ & \dfrac{2}{3} \\ (D)\ & -\dfrac{1}{3} \\ (E)\ & -\dfrac{1}{5} \end{align} $
Misal $x+1=\dfrac{1}{y}$ maka $y=\dfrac{1}{x+1}$, sehingga untuk $x \to \infty$ maka $y \to 0$.
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{1-x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{(1-x)(1+x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x }{1 - x} . \frac{\cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{x + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x }{1 - x} \cdot \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{x + 1} \\ & = -1 \ \cdot \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\tan 5y} \\ & = -1 \ \cdot \ \frac{1}{5} \\ &= - \frac{1}{5} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ -\dfrac{1}{5}$.
$ \begin{align} & \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{1-x^2} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x \cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{(1-x)(1+x)} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x }{1 - x} . \frac{\cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{x + 1} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{x }{1 - x} \cdot \displaystyle \lim_{x \to \infty } \, \frac{\cot \left( \frac{5}{x+1} \right)}{x + 1} \\ & = -1 \ \cdot \displaystyle \lim_{y \to 0 } \, \frac{y}{\tan 5y} \\ & = -1 \ \cdot \ \frac{1}{5} \\ &= - \frac{1}{5} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E)\ -\dfrac{1}{5}$.
✨ Penutup
Selamat, kamu sudah sampai akhir bahasan kita tentang kumpulan Soal PAS Matematika Tingkat Lanjut Kelas 12 Semester Ganjil 🔥Belajar matematika itu memang butuh konsistensi, bukan cuma baca materi, tapi juga banyak latihan soal biar otak makin terbiasa dengan pola dan tipe ujian.
Kalau kamu merasa masih ada bagian yang belum paham, jangan menyerah! itu tanda kamu lagi berkembang.
Ulangi bagian yang masih sulit, coba kerjain lagi tanpa lihat pembahasan, dan terus evaluasi apa yang masih perlu diperbaiki.
Semakin sering latihan sebelum PAS, semakin siap kamu saat hari H.
Ingat, PAS bukan cuma soal nilai, tapi jalan awal buat kamu menghadapi ujian akhir sekolah dan seleksi masuk kuliah nanti.
Yuk terus semangat belajar, karena usaha kamu hari ini akan jadi tiket buat masa depan yang kamu impikan! 🚀
"Success is the sum of small efforts, repeated day in and day out."– Robert Collier
