Pembuktian Nol Faktorial Sama Dengan 1 | Kamu Wajib Tahu!
Matematika memang ada yang bilang membosankan, namun beberapa hal kalau kamu jeli sebenarnya ada lho hal yang menarik dan unik yang bisa kita temukan.
Salah satu contohnya adalah ketika kita bahas angka nol.
Fun fact! Angka nol memang selalu asik untuk dibahas, karena nol itu unik dan istimewa.
Angka netral, tidak positif tidak pula negatif.
Angka yang kebanyakan orang selalu mengidentikkan dengan kosong ini justru kalau dalam matematika dia mempunyai nilai atau harga.
Jadi nol tidak sama dengan kosong.
Hal menarik lainnya adalah perpangkatan (eksponen) dengan nol.
Kenapa bisa untuk setiap $a$ $\in$ Real ketika $a^{0}$ tetapi $a \neq 0$ hasilnya adalah $1$.
Padahal kita tahu bahwa ketika ada $a$ dipangkatkan suatu bilangan sama saja dengan kita mengalikan $a$ sebanyak bilangan itu.
Ups.. kok jadi melebar bahasannya..
Mungkin kita akan bahas lain kesempatan aja ya.
Kembali ke topik utama kita sesuai dengan judul halaman ini yaitu Mengapa Nol Faktorial Sama Dengan 1?
Nah pada halaman ini kita akan bahas sampai tuntas bagaimana cara untuk membuktikan bahwa nilai nol faktorial sama dengan 1.
Daftar Isi
Namun sebelum itu tidak ada salahnya kalau kita ingat sejenak pada konsep dasar dari faktorial.
A. Definisi Faktorial
Faktorial adalah hasil nilai dari semua bilangan bulat positif kurang dari atau sama dengan bilangan bulat positif yang dilambangkan dengan menggunakan notasi tanda seru.Jadi tanda seru ($!$) merupakan tanda operasi faktorial dari suatu bilangan.
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$ ,untuk $n$ bilangan bulat positif.
B. Contoh Soal Menentukan Nilai Faktorial
Tentukan hasil nilai dari $5!$ adalah...
Dengan memakai definisi dari faktorial di atas kita akan dapatkan bahwa,
$ \begin{align} 6! & = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\\ & = 720 \end{align} $
Namun demikian karena $5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$, maka nilai dari $6!$ bisa kita tulis kembali menjadi $6!=6 \times 5!$
Atau dengan kata lain kita bisa tulis kembali dalam persamaan yang lebih umum yaitu,
$n!=n \times (n-1)!$
C. Cara Mudah Membuktikan Nol Faktorial Sama Dengan 1
Tenang sahabat...Membuktikan nilai nol fakorial sama dengan 1 tidak sesusah membuktikan cintamu padanya.
Setidaknya ada 2 (dua) pembuktian yang bisa digunakan untuk mengetahui alasan kenapa $0! = 1$.
Pembuktian Cara 1 :
Seperti kita ketahui bahwa:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$
Karena $(n-1)!=(n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$, maka kita akan dapatkan
$n!=n \times (n-1)!$, atau bisa kita balik menjadi,$n \times (n-1)!=n!$
dengan membagi kedua ruas dengan $n$, kita akan peroleh nilai$ (n-1)!=\frac{n!}{n}$
Selanjutnya dengan substitusi nilai $n=1$ sehingga
$(1-1)!=\frac{1!}{1}$
Karena $1-1=0$ dan $1!=1 \times 1=1$, maka
$0!=\frac{1}{1}$
Jadi nilai dari $0!=1$ [terbukti]
Seperti kita ketahui bahwa:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$
Karena $(n-1)!=(n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$, maka kita akan dapatkan
$n!=n \times (n-1)!$, atau bisa kita balik menjadi,$n \times (n-1)!=n!$
dengan membagi kedua ruas dengan $n$, kita akan peroleh nilai$ (n-1)!=\frac{n!}{n}$
Selanjutnya dengan substitusi nilai $n=1$ sehingga
$(1-1)!=\frac{1!}{1}$
Karena $1-1=0$ dan $1!=1 \times 1=1$, maka
$0!=\frac{1}{1}$
Jadi nilai dari $0!=1$ [terbukti]
Kamu juga bisa buktikan pakai cara lain seperti di bawah ini.
Kedua,
Pembuktian kedua sebenarnya hampir sama dengan yang pertama, bedanya hanya pada variabel yang digunakan.
Seperti kita ketahui bahwa:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$
Oleh karena itu kita bisa dapatkan,
$(n+1)!=(n+1) \times n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$
Karena $n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$, sehingga
$(n+1)!=(n+1) \times n!$ atau bisa kita tulis sebagai $(n+1) \times n!=(n+1)!$
Nah... sampai di sini jika kita substitusi $n=0$ maka
$ \begin{align} (0+1) \times 0! & = (0+1)!\\ 1 \times 0! & = 1! \\ 0! & = 1 \end{align} $
Jadi nilai dari $0!=1$ [terbukti]
Pembuktian kedua sebenarnya hampir sama dengan yang pertama, bedanya hanya pada variabel yang digunakan.
Seperti kita ketahui bahwa:
$n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$
Oleh karena itu kita bisa dapatkan,
$(n+1)!=(n+1) \times n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$
Karena $n!=n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1$, sehingga
$(n+1)!=(n+1) \times n!$ atau bisa kita tulis sebagai $(n+1) \times n!=(n+1)!$
Nah... sampai di sini jika kita substitusi $n=0$ maka
$ \begin{align} (0+1) \times 0! & = (0+1)!\\ 1 \times 0! & = 1! \\ 0! & = 1 \end{align} $
Jadi nilai dari $0!=1$ [terbukti]
Penutup
Nah, sekarang kamu udah tahu kan kenapa 0! itu sama dengan 1? 😎Bukan karena “aturan aneh” atau “keajaiban matematika”, tapi karena logika dan konsistensi konsep faktorial itu sendiri.
Dari sini kita bisa belajar bahwa dalam matematika, setiap hal yang terlihat “aneh” pasti punya alasan kuat di baliknya, jadi tinggal kita mau nyari tahu atau enggak.
Ingat, jadi jago matematika bukan soal hafal rumus, tapi soal paham cara berpikir logis dan runtut.
Semakin sering kamu latihan dan penasaran sama hal-hal kecil kayak gini, semakin tajam juga kemampuan berpikirmu.
Dan itu bukan cuma berguna di sekolah, tapi juga di kehidupan nyata nanti 💡
Jadi teruslah belajar, jangan cepat puas, dan jangan takut salah. Karena dari kesalahan, kamu justru belajar cara yang benar.
"There are no secrets to success. It is the result of preparation, hard work, and learning from failure."– Colin Powell
