Bukan Sekadar Pembulatan! Ini Rahasia Soal Floor & Ceiling yang Pernah Muncul di SNBT

Ini adalah bahasan tuntas tentang fungsi ceiling dan fungsi floor yang ngga pernah dibahas detail disekolah tapi malah keluar di pengetahuan kuantitatif SNBT.

Pernah muncul di ujian SNBT beberapa tahun terakhir menjadikan materi ini perlu dipelajari buat persiapan ujian yang akan datang.

Karena seperti halnya materi yang lain, karakter jenis soal SNBT selalu potensi untuk bisa keluar lagi untuk tahun - tahun setelahnya.

Apalagi materi fungsi ceiling dan flooring ini sangat jarang atau bahkan ngga pernah dibahas secara rinci di sekolah.

Sekilas, ceiling dan floor cuma soal “dibulatkan ke atas atau ke bawah”.

Tapi di soal SNBT, ceritanya ngga sesederhana itu. Salah baca simbol sedikit, salah ngerti konsep dikit, hasil akhirnya bisa langsung melenceng.

Jadi buat kamu - kamu yang sedang baca ulasan kita kali ini kamu sudah berada di tempat yang tepat.

Duduk yang santai, siapin kopi dan cemilannya. Yuk! kita bahas sampai tuntas.

Fungsi Ceiling dan Fungsi Floor

Dalam matematika fungsi ceiling dan floor merupakan salah satu fungsi dasar yang wajib kamu tahu.

Notasi "ceiling" dan "floor" diperkenalkan pada awal tahun 1960-an oleh Kenneth E.Iverson, seorang ilmuwan komputer sains (programming) asal Kanada.

Untuk suatu bilangan real $x$ fungsi ceiling dan floor dinotasikan dan didefinisikan sebagai berikut :

Fungsi Ceiling $x$,
$\left \lceil x \right \rceil =$ bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan $x$.

Fungsi Floor $x$,
$\left \lfloor x \right \rfloor =$ bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$.

Fungsi Ceiling (Ceiling Function)

A. Definisi dan Notasi Fungsi Ceiling

Untuk sebuah fungsi ceiling $x$ dinotasikan sebagai $\left \lceil x \right \rceil$ dan didefinisikan $\left \lceil x \right \rceil$ merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan $x$.

Dalam matematika definisi di atas bisa kita tuliskan sebagai : \[ \left \lceil x \right \rceil= \text{min}\left \{ a \in \mathbb{Z}\: |\: a \leq x \right \} \] Dalam istilah yang lebih mudah dan sederhana memang fungsi ceiling sering juga kita sebut dengan istilah pembulatan ke atas.

Dari definisi di atas, bisa kita tuliskan beberapa contoh :

$\left \lceil 2 \right \rceil = 2$
$\left \lceil -2 \right \rceil = -2$
$\left \lceil 0,2 \right \rceil =1$
$\left \lceil -1,5 \right \rceil = -1$
$\left \lceil 2,7 \right \rceil =3$
$\left \lceil -2,7 \right \rceil = -2$

B. Grafik Fungsi Ceiling $f(x)=\left \lceil x \right \rceil$

Jika kita gambar dalam sebuah grafik pada bidang kartesius maka gambar grafiknya akan seperti di bawah ini.

Mungkin sekilas akan muncul dalam pikiran kita "Kok gambarnya mirip dengan tangga yang ada di rumah ya??"

Kamu ngga salah tentang itu.

Itu juga yang mendasari kenapa fungsi ini sering juga disebut dengan fungsi tangga.

C. Sifat-Sifat Fungsi Ceiling $f(x)=\left \lceil x \right \rceil$

Berdasarkan definisi di atas, fungsi ceiling mempunyai beberapa sifat yang perlu kamu ketahui, diantaranya :

$\left \lceil x \right \rceil=x$, untuk $x$ bilangan bulat.

$x \le \left \lceil x \right \rceil \lt x+1$, untuk $x$ bilangan real.
$\left \lceil x \right \rceil=n \longleftrightarrow x \leq n \lt x+1$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$\left \lceil x \right \rceil=n \longleftrightarrow n-1 \lt x \leq n$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$n \lt \left \lceil x \right \rceil \longleftrightarrow n \lt x$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$\left \lceil x \right \rceil \le n \longleftrightarrow x \le n$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$\left \lceil x+n \right \rceil = \left \lceil x \right \rceil+n$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$\left \lceil x+y \right \rceil \ge \left \lceil x \right \rceil + \left \lceil y \right \rceil$, untuk $x$, $y$ bilangan real.

$\left \lceil x \cdot y \right \rceil \ge \left \lceil x \right \rceil \cdot \left \lceil y \right \rceil$, untuk $x$, $y$ bilangan real.

Fungsi Floor (Floor Function)

A. Definisi dan Notasi Fungsi Floor

Kebalikan dari fungsi ceiling, sebuah fungsi floor $x$ dinotasikan sebagai $\left \lfloor x \right \rfloor$ dan didefinisikan $\left \lfloor x \right \rfloor$ merupakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$.

Jika kita tulis dengan gaya bahasa matematika yang lugas, definisi fungsi floor dapat dinotasikan sebagai : \[ \left \lfloor x \right \rfloor= \text{maks}\left \{ a \in \mathbb{Z}\: |\: a \leq x \right \} \] Kalau dalam bahasa kita yang lebih sederhana fungsi floor ini layaknya pembulatan ke bawah.

Beberapa contoh di bawah ini bakal ngebantu kamu lebih memahami lagi apa itu fungsi floor :

$\left \lfloor 3 \right \rfloor = 3$
$\left \lfloor -3 \right \rfloor = -3$
$\left \lfloor 0,4 \right \rfloor = 0$
$\left \lfloor -0,4 \right \rfloor = -1$
$\left \lfloor 4,9 \right \rfloor = 4$
$\left \lfloor -2,1 \right \rfloor = -3$

B. Grafik Fungsi Floor $f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$

Gambar dari grafik fungsi floor pada bidang kartesius akan nampak seperti berikut ini.

Bentuk dari grafiknya emang ngga jauh beda dengan grafik pada fungsi ceiling, yaitu berbentuk mirip tangga.

Hanya saja posisi titik - titik hitam dan putih yang saling berkebalikan posisinya dibanding dengan grafik pada fungsi ceiling.

C. Sifat-Sifat Fungsi Floor $f(x)=\left \lfloor x \right \rfloor$

Berdasarkan definisi di atas, fungsi floor punya beberapa sifat yang wajib kamu pahami, diantaranya :

$\left \lfloor x \right \rfloor=x$, untuk $x$ bilangan bulat.

$x-1 \lt \left \lfloor x \right \rfloor \leq x$, untuk $x$ bilangan real.
$\left \lfloor x \right \rfloor=n \longleftrightarrow x-1 \lt n \leq x$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$\left \lfloor x \right \rfloor=n \longleftrightarrow n \leq x \lt n+1$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$\left \lfloor x \right \rfloor \lt n \longleftrightarrow x \lt n$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$n \leq \left \lfloor x \right \rfloor \longleftrightarrow n \le x$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$\left \lfloor x+n \right \rfloor = \left \lfloor x \right \rfloor + n$, untuk $n$ bilangan bulat dan $x$ bilangan real.

$\left \lfloor x \right \rfloor + \left \lfloor y \right \rfloor \le \left \lfloor x + y \right \rfloor $, untuk $x$, $y$ bilangan real.

$\left \lfloor x \cdot y \right \rfloor \le \left \lfloor x \right \rfloor \cdot \left \lfloor y \right \rfloor$, untuk $x$, $y$ bilangan real.

Contoh Soal dan Pembahasan Fungsi Ceiling dan Floor

Oke, sekarang biar kamu makin paham lagi tentang konsep fungsi ceiling dan floor yuk kita lihat aplikasinya dalam soal.

Beberapa soal dibawah ini kita susun berdasarkan kedalaman materi SNBT baik untuk tipe soal Pengetahuan Kuantitatif maupun Penalaran Matematika.

Lanjut gass... pelajari sampai akhir ya.

No.1 Tipe Soal Penalaran Matematika
Sebuah komunitas teater sekolah memiliki $n$ anggota aktif yang akan dijadwalkan mengikuti sesi latihan intensif. Setiap sesi hanya dapat diikuti oleh maksimal $8$ orang, dan hanya sesi yang terisi penuh yang dianggap sebagai sesi efektif. Anggota yang tidak masuk ke dalam sesi penuh tidak diikutsertakan dalam latihan periode tersebut.

Dari seluruh sesi efektif yang terbentuk, setiap $3$ sesi akan digabungkan menjadi $1$ blok latihan utama. Namun, hanya blok yang terbentuk dari $3$ sesi penuh yang dihitung sebagai blok resmi.

Selain itu, karena keterbatasan fasilitas, pihak manajemen menetapkan bahwa :

Jika jumlah blok latihan utama lebih dari $7$, maka $1$ blok terakhir harus dibatalkan.
Jika tidak, semua blok tetap dijalankan.

Jumlah blok latihan utama yang benar-benar terlaksana dimodelkan sebagai : \[ B(n) = \begin{cases} k - 1, & \text{jika } k > 7 \\ k, & \text{jika } k \leq 7 \end{cases} \] dimana, $ k = \left\lfloor \dfrac{\left\lfloor \dfrac{n}{8} \right\rfloor}{3} \right\rfloor $

Diketahui bahwa jumlah anggota memenuhi: \[ 190 \leq n \leq 210 \] Manakah pernyataan berikut yang PALING TEPAT?

Untuk semua nilai $n$, berlaku $B(n)=7$.
Untuk semua nilai $n$, berlaku $B(n)=6$.
Terdapat nilai $n$ sehingga $B(n)=7$, dan ada juga nilai $n$ sehingga $B(n)=6$.
Nilai $B(n)$ selalu lebih dari $7$.
Nilai $B(n)$ tidak dapat ditentukan.

OKe kita bahas.

Karena $ k = \left\lfloor \dfrac{\left\lfloor \dfrac{n}{8} \right\rfloor}{3} \right\rfloor $, jadi kita definisikan dulu misal $p=\left\lfloor \dfrac{n}{8} \right\rfloor$.

Langkah pertama kamu mesti cari dulu batas - batas nilai $p$ (nilai $p$ berapa aja yang memenuhi) berdasarkan batasan nilai $n$ yang mungkin.

Untuk $n=190$, \[ p = \dfrac{190}{8}=23,75 \to p=23 \] Untuk $n=210$, \[ p = \dfrac{210}{8}=26,25 \to p=26 \] dari sini kita dapat bahwa beberapa nilai $p$ yang mungkin adalah $\{ 23,24,25,26 \}$.

Lanjut... kita detailkan nilai $k$ yang bakal memenuhi.

Karena sekarang $ k = \left\lfloor \dfrac{p}{3} \right\rfloor $, cek satu - satu berdasar nilai $p$ yang kita punya.

Sehingga,

$ p=23 \to k = \left\lfloor \dfrac{23}{3} \right\rfloor \to k=7 $
$ p=24 \to k = \left\lfloor \dfrac{24}{3} \right\rfloor \to k=8 $
$ p=25 \to k = \left\lfloor \dfrac{25}{3} \right\rfloor \to k=8 $
$ p=26 \to k = \left\lfloor \dfrac{26}{3} \right\rfloor \to k=8 $

Eits.. dikit lagi selesai. Simak sampai habis ya.

Kita cek kembali bahwa fungsi $B(n)$ mempunyai kondisi, \[ B(n) = \begin{cases} k - 1, & \text{jika } k > 7 \\ k, & \text{jika } k \leq 7 \end{cases} \] Dengan demikian untuk,

Untuk $k=8$, \[ B(n)=8-1=7 \] Untuk $k=7$, \[ B(n)=7 \] Jadi, kesimpulan yang bisa kita ambil adalah :
A. Untuk semua nilai $n$, berlaku $B(n)=7$.

No.2 Tipe Soal Pengetahuan Kuantitatif
Soal TPS UTBK SBMPTN 2022
Lambang $\left \lceil y \right \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan bilangan real $y$. Bilangan real $a$ merupakan suatu solusi dari \[ 1 \lt \left \lceil \dfrac{1}{2}y-1 \right \rceil \lt 3 \] Berdasarkan informasi yang diberikan, manakah hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$ berikut yang benar?

$\begin{array} {|c|c|} \hline \, \, \, \, \, \, \, \, \text{P} \, \, \, \, \, \, \, \, & \, \, \, \, \, \, \, \, \text{Q} \, \, \, \, \, \, \, \, \\ \hline a & 7 \\ \hline \end{array}$

$P \gt Q$
$P \lt Q$
$P = Q$
Tidak dapat ditentukan hubungan antara kuantitas $P$ dan $Q$.

Kita gunakan sifat - sifat dari fungsi ceiling yang ada.

$\begin{align} 1 \lt \left \lceil \dfrac{1}{2}x-1 \right \rceil & \lt 3 \\ 1 \lt \left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil -1 & \lt 3 \\ 2 \lt \left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil & \lt 4 \end{align}$ Dari pertidaksamaan di atas kita tahu bahwa hasil dari $\left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil$ pasti merupakan bilangan real bulat, sehingga agar pertidaksamaan di atas bernilai benar maka nilai dari $\left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil$ yang mungkin adalah $3$.

Sehingga,

$ \begin{align} \left \lceil \dfrac{1}{2}x \right \rceil & = 3 \\ \\ 3-1 \lt \dfrac{1}{2}x & \leq 3 \\ 2 \lt \dfrac{1}{2}x & \leq 3 \\ 4 \lt x & \leq 6 \\ \end{align} $ Dari pertidaksamaan tersebut kita peroleh bahwa kuantitas $P \to 4 \lt a \leq 6$, sementara $Q=7$.

Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $B. \ P \lt Q$.

Penutup: Kamu Ada di Bagian Akhir Bahasan Kita

Jadi, sekarang kamu sudah lihat sendiri, kan?

Fungsi floor dan ceiling itu kelihatannya cuma “pembulatan biasa”, tapi begitu masuk ke soal cerita apalagi model SNBT auto langsung berubah jadi ladang jebakan 😈

Mulai dari:

salah pilih pembulatan (floor vs ceiling),
kejebak narasi panjang,
sampai nggak sadar ada kondisi tersembunyi (piecewise),

Semua itu sering banget bikin jawaban meleset.

Padahal konsep dasarnya sebenarnya sederhana.

Kuncinya cuma satu, "Jangan terpancing oleh cerita, tapi fokus pada model matematikanya".

Maka soal yang tadinya kelihatan ribet bisa kamu “hajar” dalam hitungan detik.

Ingat, di SNBT bukan cuma soal siapa yang paling pintar, tapi juga siapa yang paling teliti dan strategis.

Matematika bukan tentang angka yang rumit, melainkan tentang cara berpikir yang tepat.

Yuk, terus latih pola pikir kamu.

Karena semakin sering kamu berlatih menghadapi soal jebakan seperti ini, semakin kebal juga kamu saat hari-H nanti.

Bukan karena aku lebih pintar, tapi karena aku tidak cepat menyerah saat menghadapi masalah.” - Albert Einstein

Kreatif Matematika Teman Ngopi Belajar Matematika