40+ Soal Prediksi UM UGM 2026 Matematika Dasar Lengkap Pembahasan dan Kisi-Kisi Terbaru
Ini adalah kumpulan soal prediksi UM UGM 2026 Matematika Dasar lengkap pembahasan detail dan tips cepat mengerjakan soal. Mirip model soal asli!
Setiap tahun, Ujian Mandiri (UM) UGM selalu jadi salah satu jalur masuk kampus yang paling ditunggu sekaligus paling bikin deg-degan.
Bukan tanpa sebab sih, karena tingkat persaingan di jalur ini tuh ketat banget.
Ribuan peserta dari seluruh Indonesia berlomba-lomba memperebutkan kursi di Universitas Gadjah Mada, salah satu kampus impian yang punya reputasi akademik kuat dan peminat yang selalu membludak setiap tahunnya.
Nah, dari sekian banyak subtes yang diujikan, Matematika Dasar sering jadi bagian yang cukup “menentukan nasib”.
Banyak peserta sebenarnya paham konsep dasar matematika, tapi tetap kesulitan saat menghadapi soal UM UGM karena model pertanyaannya sering dibuat lebih menjebak, lebih cepat, dan kadang membutuhkan penalaran yang matang.
Ngga sedikit juga yang menganggap soal Matematika Dasar UM UGM terasa lebih licin jika dibanding sama soal ujian SNBT atau soal - soal yang sudah didapat di sekolah.
Pilihan jawabannya sering terlihat mirip semua.
Salah sedikit hitung, jawabannya bisa langsung meleset jauh.
Belum lagi tekanan waktu yang bikin peserta harus berpikir cepat sekaligus tetap teliti.
Semakin sering berlatih, semakin terbiasa juga kamu mengenali pola soal, jebakan pilihan jawaban, sampai trik cepat penyelesaiannya.
Di artikel ini, kita bakal membahas kumpulan soal prediksi UM UGM 2026 subtes Matematika Dasar lengkap dengan pembahasan detail dan mudah dipahami.
Soal-soalnya disusun berdasarkan materi yang paling sering muncul, mulai dari aljabar, fungsi kuadrat, logaritma, trigonometri, peluang, statistika, hingga barisan dan deret.
Tenang saja, pembahasannya dibuat santai dan step-by-step, jadi cocok buat kamu yang masih sering bingung memahami konsep, ingin latihan soal level UM UGM, atau sedang mencari bahan tryout mandiri sebelum ujian asli.
Siapkan kertas coretan dan fokusmu baik-baik, karena beberapa soal di artikel ini punya model jebakan yang mirip banget dengan tipe soal yang sering muncul di ujian masuk perguruan tinggi.
Yuk langsung mulai latihan!
Banyak peserta terlalu fokus menghafal rumus, padahal yang lebih penting justru memahami pola soal dan konsep dasarnya.
Karena itu, memahami kisi-kisi bisa membantu kamu menentukan prioritas belajar.
Jangan sampai waktu belajarmu habis di materi yang jarang keluar, sementara materi “langganan” malah belum dikuasai.
Berikut prediksi kisi-kisi Matematika Dasar UM UGM 2026 yang paling potensial muncul berdasarkan pola soal tahun-tahun sebelumnya dan tren latihan ujian masuk perguruan tinggi.
HTML Table Generator
Dari tabel kita peroleh
$P(\text{Jambul Kuning} \ \cap \ \text{Jantan})= \dfrac{23}{100}$.
$P(\text{Jantan})=\dfrac{23+8}{100}=\dfrac{31}{100}$.
Sehingga,
$ \begin{align} & P(\text{Jambul Kuning} | \text{Jantan}) \\ &= \dfrac{P(\text{Jambul Kuning} \ \cap \ \text{Jantan})}{P(\text{Jantan})} \\ &= \dfrac{\frac{23}{100}}{\frac{31}{100}} \\ &= \dfrac{23}{31} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ \dfrac{23}{31} $.
$ \begin{align} &(A.) \ 5 \\ &(B.) \ 4 \\ &(C.) \ 3 \\ &(D.) \ 2 \\ &(E.) \ 1 \end{align} $
Ada yang mulai panik karena belum hafal rumus, ada yang bingung membagi waktu belajar, bahkan ada juga yang sebenarnya paham materi tetapi masih sering kalah teliti saat mengerjakan soal.
Padahal, kunci utama menghadapi subtes Matematika Dasar bukan cuma soal menghafal rumus.
Semakin banyak latihan, semakin cepat juga kamu mengenali model soal UM UGM yang sebenarnya sering “itu-itu juga”, hanya dibungkus dengan cara berbeda.
Karena itu, jangan sampai persiapanmu cuma mentok di baca teori.
Coba biasakan latihan rutin setiap hari, meskipun sedikit.
Percaya deh, progres kecil yang konsisten jauh lebih powerful dibanding belajar kebut semalam sebelum ujian.
Banyak pejuang UM UGM gagal bukan karena tidak pintar, tetapi karena kurang terbiasa menghadapi soal model ujian asli.
Makanya sekarang banyak siswa mulai nyari buku latihan yang isinya:
Bukan tanpa sebab sih, karena tingkat persaingan di jalur ini tuh ketat banget.
Ribuan peserta dari seluruh Indonesia berlomba-lomba memperebutkan kursi di Universitas Gadjah Mada, salah satu kampus impian yang punya reputasi akademik kuat dan peminat yang selalu membludak setiap tahunnya.
Nah, dari sekian banyak subtes yang diujikan, Matematika Dasar sering jadi bagian yang cukup “menentukan nasib”.
Banyak peserta sebenarnya paham konsep dasar matematika, tapi tetap kesulitan saat menghadapi soal UM UGM karena model pertanyaannya sering dibuat lebih menjebak, lebih cepat, dan kadang membutuhkan penalaran yang matang.
Ngga sedikit juga yang menganggap soal Matematika Dasar UM UGM terasa lebih licin jika dibanding sama soal ujian SNBT atau soal - soal yang sudah didapat di sekolah.
Pilihan jawabannya sering terlihat mirip semua.
Salah sedikit hitung, jawabannya bisa langsung meleset jauh.
Belum lagi tekanan waktu yang bikin peserta harus berpikir cepat sekaligus tetap teliti.
Makanya, belajar teori saja belum cukup.Kalau kamu benar-benar ingin siap menghadapi UM UGM 2026, salah satu cara terbaik adalah memperbanyak latihan soal prediksi.
Semakin sering berlatih, semakin terbiasa juga kamu mengenali pola soal, jebakan pilihan jawaban, sampai trik cepat penyelesaiannya.
Di artikel ini, kita bakal membahas kumpulan soal prediksi UM UGM 2026 subtes Matematika Dasar lengkap dengan pembahasan detail dan mudah dipahami.
Soal-soalnya disusun berdasarkan materi yang paling sering muncul, mulai dari aljabar, fungsi kuadrat, logaritma, trigonometri, peluang, statistika, hingga barisan dan deret.
Tenang saja, pembahasannya dibuat santai dan step-by-step, jadi cocok buat kamu yang masih sering bingung memahami konsep, ingin latihan soal level UM UGM, atau sedang mencari bahan tryout mandiri sebelum ujian asli.
Siapkan kertas coretan dan fokusmu baik-baik, karena beberapa soal di artikel ini punya model jebakan yang mirip banget dengan tipe soal yang sering muncul di ujian masuk perguruan tinggi.
Yuk langsung mulai latihan!
Kisi-Kisi Matematika Dasar UM UGM 2026
Sebelum mulai mengerjakan latihan soal, penting banget buat kamu tahu dulu gambaran materi apa saja yang paling sering muncul di subtes Matematika Dasar UM UGM.Banyak peserta terlalu fokus menghafal rumus, padahal yang lebih penting justru memahami pola soal dan konsep dasarnya.
Karena itu, memahami kisi-kisi bisa membantu kamu menentukan prioritas belajar.
Jangan sampai waktu belajarmu habis di materi yang jarang keluar, sementara materi “langganan” malah belum dikuasai.
Berikut prediksi kisi-kisi Matematika Dasar UM UGM 2026 yang paling potensial muncul berdasarkan pola soal tahun-tahun sebelumnya dan tren latihan ujian masuk perguruan tinggi.
| Materi | Submateri yang Sering Keluar |
|---|---|
| Persamaan dan Fungsi Kuadrat | operasi akar, jenis akar, titik puncak, sumbu simetri, nilai minimum/maksimum |
| Eksponen dan Logaritma | sifat logaritma, persamaan eksponen |
| Trigonometri | identitas trigonomteri, sudut istimewa |
| Barisan dan Deret | aritmetika dan geometri |
| Peluang | peluang kejadian, kombinasi, permutasi |
| Statistika | mean, median, modus, interpretasi data |
| Geometri | luas, volume, jarak titik |
| Program Linier | sistem pertidaksamaan dan optimasi |
| Matriks | operasi matriks dan determinan |
| SPLDV atau SPLTV | metode eliminasi dan substitusi |
| Limit Fungsi | limit aljabar dasar |
| Aljabar | operasi bentuk aljabar, faktorisasi, persamaan |
Prediksi Soal UM UGM 2026 Matematika Dasar
Soal No.1
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $x-2 \lt \sqrt{2x-1}$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 2 \lt x \lt 5 \\ & (B). x \gt 5 \\ & (C). \dfrac{1}{2} \le x \lt 2 \\ & (D). 1 \lt x \lt 5 \\ & (E). 0 \lt x \lt 2 \end{align} $
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $x-2 \lt \sqrt{2x-1}$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 2 \lt x \lt 5 \\ & (B). x \gt 5 \\ & (C). \dfrac{1}{2} \le x \lt 2 \\ & (D). 1 \lt x \lt 5 \\ & (E). 0 \lt x \lt 2 \end{align} $
Langkah paling mudah menyelesaikan pertidaksamaan irasional (pertidaksamaan bentuk akar) adalah dengan kuadratin kedua ruas.
Tapi tetap hati - hati dengan syarat domain fungsinya yaitu non-negatifitas untuk fungsi yang di dalam akar.
$ \begin{align} \left(x-2 \right)^2 & \lt \left(\sqrt{2x-1} \right)^2 \\ x^2 -4x+4 & \lt 2x-1 \\ x^2 -6x +5 & \lt 0 \\ (x-5)(x-1) & \lt 0 \\ 1 \lt x & \lt 5 \end{align} $
Ingat kembali syarat domain untuk fungsi yang di dalam akar,
$2x-1 \ge 0 \to x \ge \dfrac{1}{2}$
Sehingga interval yang memnuhi keduanya adalah $ 1 \lt x \lt 5$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). 1 \lt x \lt 5$.
Tapi tetap hati - hati dengan syarat domain fungsinya yaitu non-negatifitas untuk fungsi yang di dalam akar.
$ \begin{align} \left(x-2 \right)^2 & \lt \left(\sqrt{2x-1} \right)^2 \\ x^2 -4x+4 & \lt 2x-1 \\ x^2 -6x +5 & \lt 0 \\ (x-5)(x-1) & \lt 0 \\ 1 \lt x & \lt 5 \end{align} $
Ingat kembali syarat domain untuk fungsi yang di dalam akar,
$2x-1 \ge 0 \to x \ge \dfrac{1}{2}$
Sehingga interval yang memnuhi keduanya adalah $ 1 \lt x \lt 5$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). 1 \lt x \lt 5$.
Soal No.2
Diketahui
$ \begin{align} & x+y+z=18\\ & x^2+y^2+z^2=756\\ & x^2=yz \end{align} $
Maka nilai $x$ yang memenuhi adalah..
$ \begin{align} & (A). -18 \\ & (B). -12 \\ & (C). 1 \\ & (D). 12 \\ & (E). 18 \\ \end{align} $
Diketahui
$ \begin{align} & x+y+z=18\\ & x^2+y^2+z^2=756\\ & x^2=yz \end{align} $
Maka nilai $x$ yang memenuhi adalah..
$ \begin{align} & (A). -18 \\ & (B). -12 \\ & (C). 1 \\ & (D). 12 \\ & (E). 18 \\ \end{align} $
Kita main jabarkan lanjut substitusi aja buat selesaiin soal ini.
$ \begin{align} x^2+y^2+z^2 &=756 \\ y^2+z^2 &=756-x^2 \\ \\ x+y+z &= 18 \\ y+z &= 18-x \\ \left(y+z \right)^2 &= \left(18-x \right)^2 \\ y^2+2yz+z^2 &= 324 - 36 x +x^2 \\ (y^2+z^2)+2yz &= 324 - 36 x +x^2 \\ 756-x^2+2x^2 &= 324 - 36 x +x^2 \\ 36x &= -432 \\ x &= -12 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(B). -12$.
$ \begin{align} x^2+y^2+z^2 &=756 \\ y^2+z^2 &=756-x^2 \\ \\ x+y+z &= 18 \\ y+z &= 18-x \\ \left(y+z \right)^2 &= \left(18-x \right)^2 \\ y^2+2yz+z^2 &= 324 - 36 x +x^2 \\ (y^2+z^2)+2yz &= 324 - 36 x +x^2 \\ 756-x^2+2x^2 &= 324 - 36 x +x^2 \\ 36x &= -432 \\ x &= -12 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(B). -12$.
Soal No.3
Perhatikan gambar berikut.
Jika segitiga $ABC$ sama sisi, maka besar sudut $BCD$ adalah...
$ \begin{align} & (A). 5^{\circ} \\ & (B). 10^{\circ} \\ & (C). 15^{\circ} \\ & (D). 20^{\circ} \\ & (E). 30^{\circ} \end{align} $
Perhatikan gambar berikut.
$ \begin{align} & (A). 5^{\circ} \\ & (B). 10^{\circ} \\ & (C). 15^{\circ} \\ & (D). 20^{\circ} \\ & (E). 30^{\circ} \end{align} $
Karena segitiga $ABC$ maka sudut $ABC=BAC=BCA=60^{\circ}$.
Sementara segitiga $ADC$ merupakan siku - siku sama kaki sehingga sudut $DAC=DCA=45^{\circ}$.
Sehingga dengan memakai konsep sudut dalam segitiga kita akan dapatkan,
$
\begin{align}
\angle BCD &= \angle BCA - \angle DCA \\
& = 60^{\circ} - 45^{\circ} \\
&= 15^{\circ}
\end{align}
$
Dengan demikian kita peroleh sudut $BCD=15^{\circ}$.
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $ (C). 15^{\circ} $.
Sementara segitiga $ADC$ merupakan siku - siku sama kaki sehingga sudut $DAC=DCA=45^{\circ}$.
Sehingga dengan memakai konsep sudut dalam segitiga kita akan dapatkan,
Dengan demikian kita peroleh sudut $BCD=15^{\circ}$.
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $ (C). 15^{\circ} $.
Soal No.4
Diberikan barisan geometri tak konstan $a, 𝑏, 𝑐, \cdots$ Jika $a𝑏𝑐 = 27$ dan $9a + 𝑏 + 𝑐 = 33$, maka $6𝑎 + 7𝑏 =$...
$ \begin{align} & (A). 39 \\ & (B). 30 \\ & (C). 23 \\ & (D). 18 \\ & (E). 9 \end{align} $
Diberikan barisan geometri tak konstan $a, 𝑏, 𝑐, \cdots$ Jika $a𝑏𝑐 = 27$ dan $9a + 𝑏 + 𝑐 = 33$, maka $6𝑎 + 7𝑏 =$...
$ \begin{align} & (A). 39 \\ & (B). 30 \\ & (C). 23 \\ & (D). 18 \\ & (E). 9 \end{align} $
Oke kita bahas.
$ \begin{align} b^2 &= ac \\ \\ a𝑏𝑐 &= 27 \\ (ac)b &= 27 \\ b^3 &= 27 \\ b &= 3 \end{align} $
Langkah berikutnya kita cari niulai $a$ dan $c$ nya.
$ \begin{align} b^2 &= ac \\ 9 &= ac \\ c &= \dfrac{9}{a} \\ \\ 9a + 𝑏 + 𝑐 &= 33 \\ 9a + 3 + \dfrac{9}{a} &= 33 \\ 9a+\dfrac{9}{a} &= 30 \\ 3a+\dfrac{3}{a} &= 10 \ \text{| dikali} \ a \ \text{kedua ruas} \\ 3a^2-10a+3 &=0 \\ (3a-1)(a-3)&=0 \\ a=\dfrac{1}{3} \ \vee \ a&= 3 \end{align} $
Untuk $a=3$ maka $c=\dfrac{9}{a}=\dfrac{9}{3}=3$, dan hal ini tidak akan memenuhi karena akan terbentuk barisan $3,3,3, \cdots$. Bukan barisan geometri.
Sementara untuk $a=\dfrac{1}{3}$ maka $c=\dfrac{9}{a}=\dfrac{9}{\frac{1}{3}}=27$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} 6a+7b &= 6 \left( \dfrac{1}{3} \right) + 7(3) \\ &= 2+ 21 \\ &= 23 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(C). 23$.
Cara Cepat! $\to$ Dalil Suku TengahSehingga,
Jika $a,b,c$ adalah tiga suku berurutan barisan geometri maka akan berlaku $b^2=ac$.
$ \begin{align} b^2 &= ac \\ \\ a𝑏𝑐 &= 27 \\ (ac)b &= 27 \\ b^3 &= 27 \\ b &= 3 \end{align} $
Langkah berikutnya kita cari niulai $a$ dan $c$ nya.
$ \begin{align} b^2 &= ac \\ 9 &= ac \\ c &= \dfrac{9}{a} \\ \\ 9a + 𝑏 + 𝑐 &= 33 \\ 9a + 3 + \dfrac{9}{a} &= 33 \\ 9a+\dfrac{9}{a} &= 30 \\ 3a+\dfrac{3}{a} &= 10 \ \text{| dikali} \ a \ \text{kedua ruas} \\ 3a^2-10a+3 &=0 \\ (3a-1)(a-3)&=0 \\ a=\dfrac{1}{3} \ \vee \ a&= 3 \end{align} $
Untuk $a=3$ maka $c=\dfrac{9}{a}=\dfrac{9}{3}=3$, dan hal ini tidak akan memenuhi karena akan terbentuk barisan $3,3,3, \cdots$. Bukan barisan geometri.
Sementara untuk $a=\dfrac{1}{3}$ maka $c=\dfrac{9}{a}=\dfrac{9}{\frac{1}{3}}=27$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} 6a+7b &= 6 \left( \dfrac{1}{3} \right) + 7(3) \\ &= 2+ 21 \\ &= 23 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(C). 23$.
Soal No.5
Jika $𝑥_1$ dan $𝑥_2$ memenuhi $\left| 3𝑥−4 \right| = 𝑥+5$, maka nilai $𝑥_1+𝑥_2$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \dfrac{17}{4} \\ & (B). \dfrac{17}{3} \\ & (C). \dfrac{18}{5} \\ & (D). -\dfrac{17}{3} \\ & (E). -\dfrac{17}{4} \end{align} $
Jika $𝑥_1$ dan $𝑥_2$ memenuhi $\left| 3𝑥−4 \right| = 𝑥+5$, maka nilai $𝑥_1+𝑥_2$ adalah ...
$ \begin{align} & (A). \dfrac{17}{4} \\ & (B). \dfrac{17}{3} \\ & (C). \dfrac{18}{5} \\ & (D). -\dfrac{17}{3} \\ & (E). -\dfrac{17}{4} \end{align} $
Untuk mengerjakan persamaan nilai mutlak yang harus kamu lakukan adalah kuadratin aja kedua ruas.
Kamu juga butuh Teorema Vieta pada persamaan kuadrat buat menyelesaikan soal ini,
$ \begin{align} \left| 3𝑥−4 \right| &= 𝑥+5 \\ \left| 3𝑥−4 \right|^2 &= \left( 𝑥+5 \right)^2 \\ 9x^2 - 24x +16 &= x^2 +10x+25 \\ 8x^2 -34x -9 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\dfrac{(-34)}{8} \\ &= \dfrac{17}{4} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). \dfrac{17}{4}$.
Kamu juga butuh Teorema Vieta pada persamaan kuadrat buat menyelesaikan soal ini,
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar - akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ maka $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ dan $x_1x_2=\dfrac{c}{a}$.Sehingga,
$ \begin{align} \left| 3𝑥−4 \right| &= 𝑥+5 \\ \left| 3𝑥−4 \right|^2 &= \left( 𝑥+5 \right)^2 \\ 9x^2 - 24x +16 &= x^2 +10x+25 \\ 8x^2 -34x -9 &= 0 \\ x_1+x_2 &= -\dfrac{(-34)}{8} \\ &= \dfrac{17}{4} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). \dfrac{17}{4}$.
Soal No.6
Jumlah $n$ suku pertama sebuah deret aritmatika diberikan dengan rumus $𝑛^2+3𝑛$. Beda dari deret tersebut adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ 2 \\ & (B). \ 3 \\ & (C). \ 4 \\ & (D). \ 5 \\ & (E). \ 6 \end{align} $
Jumlah $n$ suku pertama sebuah deret aritmatika diberikan dengan rumus $𝑛^2+3𝑛$. Beda dari deret tersebut adalah ...
$ \begin{align} & (A). \ 2 \\ & (B). \ 3 \\ & (C). \ 4 \\ & (D). \ 5 \\ & (E). \ 6 \end{align} $
Kita bisa pakai rumus cepat buat soal ini.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). \ 2$.
Cara Cepat! $\to$ Deret Aritmatika$ \begin{align} S_n &= 𝑛^2+3𝑛 \\ b &= 2 \end{align} $
Jika jumlah $n$ suku pertama sebuah deret aritmatika mempunyai rumus $S_n=pn^2+qn$ maka beda dari deret tersebut adalah $b=2p$.
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(A). \ 2$.
Soal No.7
Jika \[ \left\{\begin{matrix} 2a+b={}^2\! \log 45 \\ a+2b={}^2\! \log 75 \end{matrix}\right. \] maka nilai dari $a+b=$...
$ \begin{align} & (A). \ {}^2\! \log 3 \\ & (B). \ {}^2\! \log 5 \\ & (C). \ {}^2\! \log 9 \\ & (D). \ {}^2\! \log 15 \\ & (E). \ {}^2\! \log 25 \end{align} $
Jika \[ \left\{\begin{matrix} 2a+b={}^2\! \log 45 \\ a+2b={}^2\! \log 75 \end{matrix}\right. \] maka nilai dari $a+b=$...
$ \begin{align} & (A). \ {}^2\! \log 3 \\ & (B). \ {}^2\! \log 5 \\ & (C). \ {}^2\! \log 9 \\ & (D). \ {}^2\! \log 15 \\ & (E). \ {}^2\! \log 25 \end{align} $
Jumlahkan kedua persamaan,
$ \begin{align} \left( 2a+b \right) + \left(a+2b \right) &= {}^2\! \log 45 + {}^2\! \log 75 \\ 3a+3b &= {}^2\! \log \left( 45 \times 75 \right) \\ 3 \left( a+b \right) &= {}^2\! \log \left( 45 \times 75 \right) \\ a+b &= \dfrac{1}{3} \cdot {}^2\! \log \left( 45 \times 75 \right) \\ &= {}^2\! \log \left( 45 \times 75 \right)^\dfrac{1}{3} \\ &= {}^2\! \log \left( 3^2 \times 5 \times 5^2 \times 3 \right)^\dfrac{1}{3} \\ &= {}^2\! \log \left( 3^3 \times 5^3 \right)^\dfrac{1}{3} \\ &= {}^2\! \log \left( 3 \times 5 \right) \\ &= {}^2\! \log \left( 15 \right) \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). \ {}^2\! \log 15 $.
$ \begin{align} \left( 2a+b \right) + \left(a+2b \right) &= {}^2\! \log 45 + {}^2\! \log 75 \\ 3a+3b &= {}^2\! \log \left( 45 \times 75 \right) \\ 3 \left( a+b \right) &= {}^2\! \log \left( 45 \times 75 \right) \\ a+b &= \dfrac{1}{3} \cdot {}^2\! \log \left( 45 \times 75 \right) \\ &= {}^2\! \log \left( 45 \times 75 \right)^\dfrac{1}{3} \\ &= {}^2\! \log \left( 3^2 \times 5 \times 5^2 \times 3 \right)^\dfrac{1}{3} \\ &= {}^2\! \log \left( 3^3 \times 5^3 \right)^\dfrac{1}{3} \\ &= {}^2\! \log \left( 3 \times 5 \right) \\ &= {}^2\! \log \left( 15 \right) \\ \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D). \ {}^2\! \log 15 $.
Soal No.8
Jika $𝑥_1$ dan $𝑥_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left( \dfrac{4}{9} \right)^{x^2-3} \cdot \left( \dfrac{8}{27}\right)^{1-x} = \dfrac{3}{2}$ maka $(𝑥_1−𝑥_2 )^2= $...
$ \begin{align} & (A). \ \dfrac{9}{4} \\ & (B). \ \dfrac{25}{4} \\ & (C). \ \dfrac{41}{4} \\ & (D). \ \dfrac{25}{2} \\ & (E). \ 25 \end{align} $
Jika $𝑥_1$ dan $𝑥_2$ adalah penyelesaian persamaan $\left( \dfrac{4}{9} \right)^{x^2-3} \cdot \left( \dfrac{8}{27}\right)^{1-x} = \dfrac{3}{2}$ maka $(𝑥_1−𝑥_2 )^2= $...
$ \begin{align} & (A). \ \dfrac{9}{4} \\ & (B). \ \dfrac{25}{4} \\ & (C). \ \dfrac{41}{4} \\ & (D). \ \dfrac{25}{2} \\ & (E). \ 25 \end{align} $
Kita bahas.
$ \begin{align} \left( \dfrac{4}{9} \right)^{x^2-3} \cdot \left( \dfrac{8}{27}\right)^{1-x} &= \dfrac{3}{2} \\ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2x^2-6} \cdot \left( \dfrac{2}{3}\right)^{3-3x} &= \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-1} \\ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2x^2-3x-3} &= \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-1} \\ 2x^2-3x-3 &= -1 \\ 2x^2-3x-2 &= 0 \\ \\ \| x_1-x_2 \|^2 &= \dfrac{D}{a^2} \\ &= \dfrac{(-3)^2 - 4 (2)(-2)}{2^2} \\ &= \dfrac{25}{4} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B). \ \dfrac{25}{4}$.
Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar - akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ maka selisih akar : $\| x_1-x_2 \| = \dfrac{\sqrt{D}}{a}$ dimana $D=b^2-4ac$.Sehingga,
$ \begin{align} \left( \dfrac{4}{9} \right)^{x^2-3} \cdot \left( \dfrac{8}{27}\right)^{1-x} &= \dfrac{3}{2} \\ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2x^2-6} \cdot \left( \dfrac{2}{3}\right)^{3-3x} &= \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-1} \\ \left( \dfrac{2}{3} \right)^{2x^2-3x-3} &= \left( \dfrac{2}{3} \right)^{-1} \\ 2x^2-3x-3 &= -1 \\ 2x^2-3x-2 &= 0 \\ \\ \| x_1-x_2 \|^2 &= \dfrac{D}{a^2} \\ &= \dfrac{(-3)^2 - 4 (2)(-2)}{2^2} \\ &= \dfrac{25}{4} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B). \ \dfrac{25}{4}$.
Soal No.9
Jika $𝐴^{2𝑥}=2$ maka $\dfrac{𝐴^{5𝑥}−𝐴^{−5𝑥}}{𝐴^{3𝑥}+𝐴^{−3𝑥}}=$ ...
$ \begin{align} & (A). \ \dfrac{31}{18} \\ & (B). \ \dfrac{31}{9} \\ & (C). \ \dfrac{32}{18} \\ & (D). \ \dfrac{33}{9} \\ & (E). \ \dfrac{33}{18} \end{align} $
Jika $𝐴^{2𝑥}=2$ maka $\dfrac{𝐴^{5𝑥}−𝐴^{−5𝑥}}{𝐴^{3𝑥}+𝐴^{−3𝑥}}=$ ...
$ \begin{align} & (A). \ \dfrac{31}{18} \\ & (B). \ \dfrac{31}{9} \\ & (C). \ \dfrac{32}{18} \\ & (D). \ \dfrac{33}{9} \\ & (E). \ \dfrac{33}{18} \end{align} $
Gunakan sifat - sifat eksponen untuk menjabarkan dan menyederhanakan dari eksponennya.
$ \begin{align} \dfrac{\left( 𝐴^{5𝑥}−𝐴^{−5𝑥} \right)}{\left( 𝐴^{3𝑥}+𝐴^{−3𝑥} \right)} \times \dfrac{𝐴^{3𝑥}}{𝐴^{3𝑥}} &= \dfrac{ 𝐴^{8𝑥}−𝐴^{−2𝑥} }{ 𝐴^{6𝑥}+𝐴^{0}} \\ &= \dfrac{ \left( 𝐴^{2𝑥} \right)^4 − \left( 𝐴^{2𝑥} \right)^{-1} }{ \left( 𝐴^{2𝑥} \right)^3 + 1} \\ &= \dfrac{ \left( 2 \right)^4 − \left( 2 \right)^{-1} }{ \left( 2 \right)^3 + 1} \\ &= \dfrac{ 16-\frac{1}{2} }{ 8+1 } \\ &= \dfrac{31}{18} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (A). \ \dfrac{31}{18}$.
$ \begin{align} \dfrac{\left( 𝐴^{5𝑥}−𝐴^{−5𝑥} \right)}{\left( 𝐴^{3𝑥}+𝐴^{−3𝑥} \right)} \times \dfrac{𝐴^{3𝑥}}{𝐴^{3𝑥}} &= \dfrac{ 𝐴^{8𝑥}−𝐴^{−2𝑥} }{ 𝐴^{6𝑥}+𝐴^{0}} \\ &= \dfrac{ \left( 𝐴^{2𝑥} \right)^4 − \left( 𝐴^{2𝑥} \right)^{-1} }{ \left( 𝐴^{2𝑥} \right)^3 + 1} \\ &= \dfrac{ \left( 2 \right)^4 − \left( 2 \right)^{-1} }{ \left( 2 \right)^3 + 1} \\ &= \dfrac{ 16-\frac{1}{2} }{ 8+1 } \\ &= \dfrac{31}{18} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (A). \ \dfrac{31}{18}$.
Soal No.10
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $𝑓(𝑥)=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐$ adalah $2$. Jika $𝑓(2)=𝑓(4)=0$, maka $𝑎+𝑏+𝑐=$ ...
$ \begin{align} & (A). \ -10 \\ & (B). \ -6 \\ & (C). \ -4 \\ & (D). \ 4 \\ & (E). \ 6 \end{align} $
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat $𝑓(𝑥)=𝑎𝑥^2+𝑏𝑥+𝑐$ adalah $2$. Jika $𝑓(2)=𝑓(4)=0$, maka $𝑎+𝑏+𝑐=$ ...
$ \begin{align} & (A). \ -10 \\ & (B). \ -6 \\ & (C). \ -4 \\ & (D). \ 4 \\ & (E). \ 6 \end{align} $
Berdasarkan semua informasi yang ada kita akan bentuk fungsi kuadratnya sehingga nilai $a$, $b$ dan $c$ nya bisa kita ketahui.
Sehingga,
$ \begin{align} y &= a(x-x_1)(x-x_2) \\ y &= a(x-2)(x-4) \\ \\ 2 &= a(3-2)(3-4) \\ 2 &= a(1)(-1) \\ a &= -2 \\ \\ y &= -2(x-2)(x-4) \\ y &= -2x^2+12x-16 \\ \\ a+b+c &= -2+12+(-6) \\ &= -6 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B). \ -6$.
Rumus membentuk fungsi kuadrat jika koordinat kedua titik potong terhadap seumbu-$X$ $(x_1,0)$ dan $(x_2,0) $diketahui adalah $y=a(x-x_1)(x-x_2)$.Diketahui pada soal $𝑓(2)=𝑓(4)=0$ artinya koordinat kedua titik potong terhadap sumbu-$X$ nya adalah $(2,0)$ dan $(4,0)$.
Sehingga,
$ \begin{align} y &= a(x-x_1)(x-x_2) \\ y &= a(x-2)(x-4) \\ \\ 2 &= a(3-2)(3-4) \\ 2 &= a(1)(-1) \\ a &= -2 \\ \\ y &= -2(x-2)(x-4) \\ y &= -2x^2+12x-16 \\ \\ a+b+c &= -2+12+(-6) \\ &= -6 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(B). \ -6$.
Soal No.11
KPK dari dua buah bilangan prima $𝑥$ dan $𝑦$ adalah $14$, dengan $𝑥 \gt 𝑦$.
Nilai dari $3𝑥−𝑦=$...
$ \begin{align} & (A). \ -1 \\ & (B). \ 13 \\ & (C). \ 19 \\ & (D). \ 21 \\ & (E). \ 23 \end{align} $
KPK dari dua buah bilangan prima $𝑥$ dan $𝑦$ adalah $14$, dengan $𝑥 \gt 𝑦$.
Nilai dari $3𝑥−𝑦=$...
$ \begin{align} & (A). \ -1 \\ & (B). \ 13 \\ & (C). \ 19 \\ & (D). \ 21 \\ & (E). \ 23 \end{align} $
KPK$(x,y)=14$ maka nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi $𝑥 \gt 𝑦$ adalah $x=7$ dan $y=2$.
Sehingga,
$ \begin{align} 3𝑥−𝑦 &= 3(7)-2 \\ &= 19 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C). \ 19$.
Sehingga,
$ \begin{align} 3𝑥−𝑦 &= 3(7)-2 \\ &= 19 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C). \ 19$.
Soal No.12
Sebuah persamaan kuadrat $3𝑥^2+(𝑚−2)𝑥−3=0$ mempunyai dua akar berlawanan dengan $𝑚 \gt 0$.
Nilai $𝑚+2=$...
$ \begin{align} & (A). \ -4 \\ & (B). \ -2 \\ & (C). \ 0 \\ & (D). \ 2 \\ & (E). \ 4 \end{align} $
Sebuah persamaan kuadrat $3𝑥^2+(𝑚−2)𝑥−3=0$ mempunyai dua akar berlawanan dengan $𝑚 \gt 0$.
Nilai $𝑚+2=$...
$ \begin{align} & (A). \ -4 \\ & (B). \ -2 \\ & (C). \ 0 \\ & (D). \ 2 \\ & (E). \ 4 \end{align} $
Cara 1:
Kondisi akar berlawanan yang dimaksud dalam soal adalah ketika misal $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar - akar dari persamaan kuadrat tersebut maka akan memeuhi $x_1=-x_2$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} 3𝑥^2+(𝑚−2)𝑥−3 &=0 \\ \\ \boxed {x_1x_2 = \dfrac{c}{a}} \\ (-x_2)x_2 &= \dfrac{-3}{3} \\ -(x_2)^2 &= -9 \\ x_2 &= \pm 3 \\ \\ x_2 = 3 \to x_1=-3 \\ x_2 = -3 \to x_1=3 \\ \\ \boxed { x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} } \\ \\ \text{Untuk, } x_2 = 3 & \text{ dan } x_1=-3 \\ -3+3 &= \dfrac{(m-2)}{3} \\ 0 &= m-2 \\ m &= 2 \\ \\ \text{Untuk, } x_2 = -3 & \text{ dan } x_1=3 \\ 3+(-3) &= \dfrac{(m-2)}{3} \\ 0 &= m-2 \\ 2 &= m \\ \\ m+2 &= 2+2 =4 \end{align} $
Cara 2:
$ \begin{align} 3𝑥^2+(𝑚−2)𝑥−3 &=0 \\ \\ \color{red} {b} & \color{red}{=0} \\ m-2 &= 0 \\ m &= 2 \\ \\ m+2 &= 2+2 =4 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). \ 4$.
Kondisi akar berlawanan yang dimaksud dalam soal adalah ketika misal $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar - akar dari persamaan kuadrat tersebut maka akan memeuhi $x_1=-x_2$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} 3𝑥^2+(𝑚−2)𝑥−3 &=0 \\ \\ \boxed {x_1x_2 = \dfrac{c}{a}} \\ (-x_2)x_2 &= \dfrac{-3}{3} \\ -(x_2)^2 &= -9 \\ x_2 &= \pm 3 \\ \\ x_2 = 3 \to x_1=-3 \\ x_2 = -3 \to x_1=3 \\ \\ \boxed { x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a} } \\ \\ \text{Untuk, } x_2 = 3 & \text{ dan } x_1=-3 \\ -3+3 &= \dfrac{(m-2)}{3} \\ 0 &= m-2 \\ m &= 2 \\ \\ \text{Untuk, } x_2 = -3 & \text{ dan } x_1=3 \\ 3+(-3) &= \dfrac{(m-2)}{3} \\ 0 &= m-2 \\ 2 &= m \\ \\ m+2 &= 2+2 =4 \end{align} $
Cara 2:
Cara Cepat! $\to$ Persamaan KuadratSehingga,
Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ mempunyai akar - akar yang saling berlawanan maka $b=0$.
$ \begin{align} 3𝑥^2+(𝑚−2)𝑥−3 &=0 \\ \\ \color{red} {b} & \color{red}{=0} \\ m-2 &= 0 \\ m &= 2 \\ \\ m+2 &= 2+2 =4 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). \ 4$.
Soal No.13
Diketahui \[ z= \dfrac{(1,7981)(1,2019)−(0,7981)(0,2019)}{(0,7981+0,2019)} \] Nilai dari $\dfrac{1}{(𝑧+1)}$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \ 2 \\ & (B). \ 1 \\ & (C). \ \dfrac{2}{3} \\ & (D). \ \dfrac{1}{2} \\ & (E). \ \dfrac{1}{3} \end{align} $
Diketahui \[ z= \dfrac{(1,7981)(1,2019)−(0,7981)(0,2019)}{(0,7981+0,2019)} \] Nilai dari $\dfrac{1}{(𝑧+1)}$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \ 2 \\ & (B). \ 1 \\ & (C). \ \dfrac{2}{3} \\ & (D). \ \dfrac{1}{2} \\ & (E). \ \dfrac{1}{3} \end{align} $
Soal ini sebenarnya adalah soal jebakan, padahal sebenarnya kita malah dituntut untuk tidak menghitungnya secara manual.
Jadi kita bisa melakukan sedikit manipulasi aljabar pada bentuk soalnya.
Misal :
$a=0,7981$
$b=0,2019$
$a+b=0,7981+0,2019=1$ Sehingga bentuk soalnya kita bisa ubah dan sederhanakan sebagai berikut :
$ \begin{align} z &= \dfrac{(1,7981)(1,2019)−(0,7981)(0,2019)}{(0,7981+0,2019)} \\ \\ z &= \dfrac{(1+a)(1+b)−ab}{(a+b)} \\ &= \dfrac{1+(a+b)+ab-ab}{(a+b)} \\ &= \dfrac{1+(a+b)}{(a+b)} \\ &= \dfrac{1+1}{1} \\ &= 2 \\ \\ \end{align} $
Dengan demikian, \[ \dfrac{1}{(z+1)} = \dfrac{1}{2+1} = \dfrac{1}{3} \] Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). \ \dfrac{1}{3}$.
Jadi kita bisa melakukan sedikit manipulasi aljabar pada bentuk soalnya.
Misal :
$a=0,7981$
$b=0,2019$
$a+b=0,7981+0,2019=1$ Sehingga bentuk soalnya kita bisa ubah dan sederhanakan sebagai berikut :
$ \begin{align} z &= \dfrac{(1,7981)(1,2019)−(0,7981)(0,2019)}{(0,7981+0,2019)} \\ \\ z &= \dfrac{(1+a)(1+b)−ab}{(a+b)} \\ &= \dfrac{1+(a+b)+ab-ab}{(a+b)} \\ &= \dfrac{1+(a+b)}{(a+b)} \\ &= \dfrac{1+1}{1} \\ &= 2 \\ \\ \end{align} $
Dengan demikian, \[ \dfrac{1}{(z+1)} = \dfrac{1}{2+1} = \dfrac{1}{3} \] Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). \ \dfrac{1}{3}$.
Soal No.14
Diketahui \[ \dfrac{6^{2026}−6^{2024}}{6^{1013}+6^{1012}} = 𝑛 \times 6^{1012} \] Nilai $n$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \ 1 \\ & (B). \ 2 \\ & (C). \ 3 \\ & (D). \ 4 \\ & (E). \ 5 \end{align} $
Diketahui \[ \dfrac{6^{2026}−6^{2024}}{6^{1013}+6^{1012}} = 𝑛 \times 6^{1012} \] Nilai $n$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \ 1 \\ & (B). \ 2 \\ & (C). \ 3 \\ & (D). \ 4 \\ & (E). \ 5 \end{align} $
Sederhanakan berdasarkan sifat - sifat eksponen yang ada.
$ \begin{align} \dfrac{6^{2026}−6^{2024}}{6^{1013}+6^{1012}} &= 𝑛 \times 6^{1012} \\ \\ \dfrac{6^{2024} \left( 6^2 - 1 \right)}{6^{1012} \left( 6 + 1 \right)} &= 𝑛 \times 6^{1012} \\ \\ \dfrac{6^{2024} \left( 35 \right)}{6^{1012} \left( 7 \right) \times 6^{1012}} &= 𝑛 \\ \\ \dfrac{5 \times 6^{2024} }{6^{2024}} &= 𝑛 \\ 5 &= n \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 5$.
$ \begin{align} \dfrac{6^{2026}−6^{2024}}{6^{1013}+6^{1012}} &= 𝑛 \times 6^{1012} \\ \\ \dfrac{6^{2024} \left( 6^2 - 1 \right)}{6^{1012} \left( 6 + 1 \right)} &= 𝑛 \times 6^{1012} \\ \\ \dfrac{6^{2024} \left( 35 \right)}{6^{1012} \left( 7 \right) \times 6^{1012}} &= 𝑛 \\ \\ \dfrac{5 \times 6^{2024} }{6^{2024}} &= 𝑛 \\ 5 &= n \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 5$.
Soal No.15
Empat tahun lalu rata-rata usia $𝐴$, $𝐵$, dan $𝐶$ adalah $30$ tahun. Dua tahun yang lalu rata-rata usia $𝐵$ dan $𝐶$ adalah $20$ tahun. Usia $A$ dua tahun yang akan datang adalah...
$ \begin{align} & (A). \ 30 \\ & (B). \ 44 \\ & (C). \ 45 \\ & (D). \ 58 \\ & (E). \ 60 \end{align} $
Empat tahun lalu rata-rata usia $𝐴$, $𝐵$, dan $𝐶$ adalah $30$ tahun. Dua tahun yang lalu rata-rata usia $𝐵$ dan $𝐶$ adalah $20$ tahun. Usia $A$ dua tahun yang akan datang adalah...
$ \begin{align} & (A). \ 30 \\ & (B). \ 44 \\ & (C). \ 45 \\ & (D). \ 58 \\ & (E). \ 60 \end{align} $
Ngga usah bingung dengan soal ini, soal ini aslinya mudah kok.
Memang sering kali banyak yang kejebak dengan istilah - istilah "Empat tahun", "Dua tahun yang lalu", "dua tahun yang akan datang" dan lain sebagainya.
Tapi ini mudah kok, caranya kita bisa pakai SPLDV untuk menyelesaikannya.
Jika $A$, $B$ dan $C$ masing - masing menyatakan usia mereka saat ini maka :
Empat tahun lalu rata-rata usia $𝐴$, $𝐵$, dan $𝐶$ adalah $30$ tahun.
Artinya
$ \begin{align} \to 30 &= \dfrac{(A-4)+(B-4)+(C-4)}{3} \\ 90 &= A+B+C-12 \\ 102 &= A+B+C \end{align} $
Dua tahun yang lalu rata-rata usia $𝐵$ dan $𝐶$ adalah $20$ tahun.
Artinya
$ \begin{align} \to 20 &= \dfrac{(B-2)+(C-2)}{2} \\ 40 &= B+C -4 \\ 44 &= B+C \end{align} $
Kita substitusikan untuk menyederhanakan semuanya dan memperoleh nilai $A$.
$ \begin{align} 102 &= A+B+C \\ 102 &= A+44 \\ 58 &= A \end{align} $
Dengan demikian usia $A$ dua tahun yang akan datang adalah
$A+2 = 58+2 =60$ tahun.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 60$.
Memang sering kali banyak yang kejebak dengan istilah - istilah "Empat tahun", "Dua tahun yang lalu", "dua tahun yang akan datang" dan lain sebagainya.
Tapi ini mudah kok, caranya kita bisa pakai SPLDV untuk menyelesaikannya.
Jika $A$, $B$ dan $C$ masing - masing menyatakan usia mereka saat ini maka :
Empat tahun lalu rata-rata usia $𝐴$, $𝐵$, dan $𝐶$ adalah $30$ tahun.
Artinya
$ \begin{align} \to 30 &= \dfrac{(A-4)+(B-4)+(C-4)}{3} \\ 90 &= A+B+C-12 \\ 102 &= A+B+C \end{align} $
Dua tahun yang lalu rata-rata usia $𝐵$ dan $𝐶$ adalah $20$ tahun.
Artinya
$ \begin{align} \to 20 &= \dfrac{(B-2)+(C-2)}{2} \\ 40 &= B+C -4 \\ 44 &= B+C \end{align} $
Kita substitusikan untuk menyederhanakan semuanya dan memperoleh nilai $A$.
$ \begin{align} 102 &= A+B+C \\ 102 &= A+44 \\ 58 &= A \end{align} $
Dengan demikian usia $A$ dua tahun yang akan datang adalah
$A+2 = 58+2 =60$ tahun.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E). \ 60$.
Soal No.16
Jika $3^𝑥+5^𝑦=7$, nilai maksimum $3^𝑥 \times 5^𝑦$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \ 7 \\ & (B). \ 12 \\ & (C). \ 21 \\ & (D). \ 28 \\ & (E). \ 30 \end{align} $
Jika $3^𝑥+5^𝑦=7$, nilai maksimum $3^𝑥 \times 5^𝑦$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \ 7 \\ & (B). \ 12 \\ & (C). \ 21 \\ & (D). \ 28 \\ & (E). \ 30 \end{align} $
Soal ini jebakan banget, kamu pasti yang pertama terpikir adalah mencari emang berapa nilai $x$ dan $y$ yang memenuhi ya???
Fokus aja ke bentuk $3^𝑥$ dan $5^y$ untuk menyelesaikannya.
Agar lebih mudah kita bisa pakai tabel untuk ngerjainnya.
Karena $3^𝑥+5^𝑦=7$ maka ada beberapa kemungkinan untuk nilai $3^𝑥$ dan $5^y$ nya, yaitu :
HTML Table Generator
Dengan demikian nilai maksimum untuk $3^𝑥 \times 5^𝑦$ adalah $12$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 12$.
Fokus aja ke bentuk $3^𝑥$ dan $5^y$ untuk menyelesaikannya.
Agar lebih mudah kita bisa pakai tabel untuk ngerjainnya.
Karena $3^𝑥+5^𝑦=7$ maka ada beberapa kemungkinan untuk nilai $3^𝑥$ dan $5^y$ nya, yaitu :
| $3^x$ | $5^y$ | $3^x \times 5^y$ |
|---|---|---|
| $1$ | $6$ | $6$ |
| $2$ | $5$ | $10$ |
| $3$ | $4$ | $12$ |
| $4$ | $3$ | $12$ |
| $5$ | $2$ | $10$ |
| $6$ | $1$ | $6$ |
Dengan demikian nilai maksimum untuk $3^𝑥 \times 5^𝑦$ adalah $12$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B). \ 12$.
Soal No.17
Jika $1+\cos{\alpha}=-\dfrac{1}{3}$, maka nilai $\sin{2\alpha}+\cos{2\alpha}=$ ...
$ \begin{align} & (A). \ \dfrac{17}{25} \\ & (B). \ 1 \\ & (C). \ \dfrac{4\sqrt{5}}{5} \\ & (D). \ - \dfrac{2}{3} \left( 4\sqrt{5} -1 \right) \\ & (E). \ - \dfrac{1}{9} \left( 4\sqrt{5} +1 \right) \end{align} $
Jika $1+\cos{\alpha}=-\dfrac{1}{3}$, maka nilai $\sin{2\alpha}+\cos{2\alpha}=$ ...
$ \begin{align} & (A). \ \dfrac{17}{25} \\ & (B). \ 1 \\ & (C). \ \dfrac{4\sqrt{5}}{5} \\ & (D). \ - \dfrac{2}{3} \left( 4\sqrt{5} -1 \right) \\ & (E). \ - \dfrac{1}{9} \left( 4\sqrt{5} +1 \right) \end{align} $
Sederhanakan dulu informasi yang diketahui,
$ \begin{align} 1+\cos{\alpha} &= \dfrac{1}{3} \\ \cos{\alpha} &= \dfrac{1}{3}-1 \\ &= -\dfrac{2}{3} \end{align} $
Karena nilai $\cos$ nya negatif maka $\alpha$ merupakan sudut tumpul.
Masukkan dalam segitiga siku - siku untuk mencari nilai fungsi trigonometri yang dibutuhkan.
Berdasarkan informasi di atas, gass kita selesaikan soalnya,
$ \begin{align} &\sin{2\alpha}+\cos{2\alpha} = 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha}+2\cos^2{\alpha}-1 \\ \\ &= 2 \left( \dfrac{\sqrt{5}}{3} \right) \left( -\dfrac{2}{3} \right) + 2 \left( -\dfrac{2}{3} \right)^2 -1 \\ &= - \dfrac{4\sqrt{5}}{9} + \dfrac{8}{9}-1 \\ &= - \dfrac{4\sqrt{5}}{9} - \dfrac{1}{9} \\ &= - \dfrac{1}{9} \left( 4\sqrt{5} +1 \right) \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). \ - \dfrac{1}{9} \left( 4\sqrt{5} +1 \right)$.
$ \begin{align} 1+\cos{\alpha} &= \dfrac{1}{3} \\ \cos{\alpha} &= \dfrac{1}{3}-1 \\ &= -\dfrac{2}{3} \end{align} $
Karena nilai $\cos$ nya negatif maka $\alpha$ merupakan sudut tumpul.
Masukkan dalam segitiga siku - siku untuk mencari nilai fungsi trigonometri yang dibutuhkan.
$ \begin{align} &\sin{2\alpha}+\cos{2\alpha} = 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha}+2\cos^2{\alpha}-1 \\ \\ &= 2 \left( \dfrac{\sqrt{5}}{3} \right) \left( -\dfrac{2}{3} \right) + 2 \left( -\dfrac{2}{3} \right)^2 -1 \\ &= - \dfrac{4\sqrt{5}}{9} + \dfrac{8}{9}-1 \\ &= - \dfrac{4\sqrt{5}}{9} - \dfrac{1}{9} \\ &= - \dfrac{1}{9} \left( 4\sqrt{5} +1 \right) \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(E). \ - \dfrac{1}{9} \left( 4\sqrt{5} +1 \right)$.
Soal No.18
Jika matriks $P =\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ dan $Q =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ serta $P^{-1}$ invers matriks $P$, maka determinan untuk matriks $QP^{-1}$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \ \dfrac{3}{2} \\ & (B). \ 3 \\ & (C). \ 6 \\ & (D). \ \dfrac{19}{2} \\ & (E). \ 19 \end{align} $
Jika matriks $P =\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ dan $Q =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}$ serta $P^{-1}$ invers matriks $P$, maka determinan untuk matriks $QP^{-1}$ adalah...
$ \begin{align} & (A). \ \dfrac{3}{2} \\ & (B). \ 3 \\ & (C). \ 6 \\ & (D). \ \dfrac{19}{2} \\ & (E). \ 19 \end{align} $
Soal ini akan lebih cepat jika kita gunakan sifat - sifat determinan matriks.
Sehingga,
$ \begin{align} det(QP^{-1}) &= det(Q) \times det(P^{-1}) \\ &= det(Q) \times \dfrac{1}{det(P)} \\ &= 3 \times \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A). \ \dfrac{3}{2}$.
Sifat - Sifat Determinan Matriks :Informasi yang kita dapat dari soal adalah $det(P)=2$ dan $det(Q)=3$.
Jika matriks $A$ dan $B$ adalah dua buah matriks yang mempunyai invers dan berordo $n \times n$ maka akan berlaku :
- $det(A^T)=det(A)$
- $det(A^{-1})=\dfrac{1}{det(A)}$
- $det(AB)=det(A) \times det(B)$
- $det(kA)=k^n \times det(A)$
Sehingga,
$ \begin{align} det(QP^{-1}) &= det(Q) \times det(P^{-1}) \\ &= det(Q) \times \dfrac{1}{det(P)} \\ &= 3 \times \dfrac{1}{2} \\ &= \dfrac{3}{2} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A). \ \dfrac{3}{2}$.
Soal No. 19
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} x+1 & x-1 \\ 2x & x \end{pmatrix}$.
Jika berlaku $det(A)=4x-30$ maka nilai $x$ adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 5 \ \text{dan} \ 6 \\ &(B). \ 5 \ \text{dan} \ -6 \\ &(C). \ 3 \ \text{dan} \ 5 \\ &(D). \ 3 \ \text{dan} \ -5 \\ &(E). \ 4 \ \text{dan} \ 6 \end{align} $
Diketahui matriks $A=\begin{pmatrix} x+1 & x-1 \\ 2x & x \end{pmatrix}$.
Jika berlaku $det(A)=4x-30$ maka nilai $x$ adalah...
$ \begin{align} &(A). \ 5 \ \text{dan} \ 6 \\ &(B). \ 5 \ \text{dan} \ -6 \\ &(C). \ 3 \ \text{dan} \ 5 \\ &(D). \ 3 \ \text{dan} \ -5 \\ &(E). \ 4 \ \text{dan} \ 6 \end{align} $
$
\begin{align}
A &= \begin{pmatrix}
x+1 & x-1 \\
2x & x
\end{pmatrix} \\
det(A) &= (x+1)(x) - (x-1)(2x) \\
4x-30\ &= (x+1)(x) - (2x)(x-1) \\
4x-30\ &= x^{2}+x - 2x^{2}+2x \\
4x-30\ &=-x^{2}+3x \\
0\ &= x^{2}+x-30 \\
0\ &= \left( x-5 \right)\left( x+6 \right) \\
& x=5\ \text{atau}\ x=-6\
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(B). \ 5 \ \text{dan} \ -6$.
Jadi, pilihan jawaban yang benar adalah $(B). \ 5 \ \text{dan} \ -6$.
Soal No. 20
Batas - batas nilai $x$ agar $f(x)=\dfrac{x+5}{x^2-x-6}$ terdefinisi pada himpunan bilangan real adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ x \gt 3 \\ &(B). \ x \gt -2 \\ &(C). \ x \ne 3 \ \text{atau} \ x \ne -2 \\ &(D). \ -2 \lt x \lt 3 \\ &(E). \ -2 \le x \le 3 \\ \end{align} $
Batas - batas nilai $x$ agar $f(x)=\dfrac{x+5}{x^2-x-6}$ terdefinisi pada himpunan bilangan real adalah ...
$ \begin{align} &(A). \ x \gt 3 \\ &(B). \ x \gt -2 \\ &(C). \ x \ne 3 \ \text{atau} \ x \ne -2 \\ &(D). \ -2 \lt x \lt 3 \\ &(E). \ -2 \le x \le 3 \\ \end{align} $
Agar $f(x)$ terdefinisi pada himpunan bilangan real maka penyebut tidak boleh nol.
Dengan demikian,
$ \begin{align} x^2-x-6 &\ne 0 \\ (x-3)(x+2) &\ne 0 \\ x \ne 3 \ \text{atau} \ x & \ne -2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C). \ x \ne 3 \ \text{atau} \ x \ne -2 $
Dengan demikian,
$ \begin{align} x^2-x-6 &\ne 0 \\ (x-3)(x+2) &\ne 0 \\ x \ne 3 \ \text{atau} \ x & \ne -2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C). \ x \ne 3 \ \text{atau} \ x \ne -2 $
Soal No. 21
Enam buah titik $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, dan $U$ di letakkan melingkar dengan jarak yang sama membentuk bangun segienam beraturan.
Jika dari tiga titik berbeda dalam bangun tersebut akan dibuat sebuah segitiga maka banyak kemungkinan segitiga yang akan terbentuk adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 15 \\ &(B)\ 30 \\ &(C)\ 36 \\ &(D)\ 48 \\ &(E)\ 56 \\ \end{align} $
Enam buah titik $P$, $Q$, $R$, $S$, $T$, dan $U$ di letakkan melingkar dengan jarak yang sama membentuk bangun segienam beraturan.
$ \begin{align} &(A)\ 15 \\ &(B)\ 30 \\ &(C)\ 36 \\ &(D)\ 48 \\ &(E)\ 56 \\ \end{align} $
Kejadian membentuk sebuah segitiga dari tiga titik berbeda dalam bangun tersebut masuk dalam kejadian Kombinasi.
Kenapa demikian???
Karena urutan pengambilan tiga buah titik berbeda bersifat acak.
Artinya ketika kita bentuk sebuah segitiga $PQR$, $PRQ$ dan $QPR$ dan seterusnya sebenarnya merujuk pada sebuah segitiga yang sama.
Oke, kita hitung banyak segitiga yang akan terbentuk :
$ \begin{align} C(6,2) &= \dfrac{6!}{(6-2)!2!} \\ &= \dfrac{6!}{4!2!} \\ &= \dfrac{6 \times 5}{2} \\ &= 15 \ \text{buah segitiga} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ 15$.
Kenapa demikian???
Karena urutan pengambilan tiga buah titik berbeda bersifat acak.
Artinya ketika kita bentuk sebuah segitiga $PQR$, $PRQ$ dan $QPR$ dan seterusnya sebenarnya merujuk pada sebuah segitiga yang sama.
Oke, kita hitung banyak segitiga yang akan terbentuk :
$ \begin{align} C(6,2) &= \dfrac{6!}{(6-2)!2!} \\ &= \dfrac{6!}{4!2!} \\ &= \dfrac{6 \times 5}{2} \\ &= 15 \ \text{buah segitiga} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ 15$.
Soal No. 22
Enam buah pipa yang masing - masing berdiameter $7$ cm disusun seperti terlihat pada gambar di atas. Jika keenam pipa itu diikat rapat - rapat oleh sebuah tali maka panjang minimum tali pengikat adalah ... cm
$ \begin{align} &(A)\ 42 \\ &(B)\ 52 \\ &(C)\ 60 \\ &(D)\ 64 \\ &(E)\ 72 \\ \end{align} $
$ \begin{align} &(A)\ 42 \\ &(B)\ 52 \\ &(C)\ 60 \\ &(D)\ 64 \\ &(E)\ 72 \\ \end{align} $
Kita analisis gambar pada soal.
Terlihat pada gambar bahwa panjang tali minimum adalah keliling dari lilitan yang ada yaitu :
\[ K= 6d+\pi d \] Dengan demikian,
$ \begin{align} K &= 6d+\pi d \\ &= 6(7) + \dfrac{22}{7} \ (7) \\ &= 64 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 64$.
\[ K= 6d+\pi d \] Dengan demikian,
$ \begin{align} K &= 6d+\pi d \\ &= 6(7) + \dfrac{22}{7} \ (7) \\ &= 64 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 64$.
Soal No. 23
Persamaan bayangan $y=|x|+2x$ oleh translasi $T=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ saat $x \lt 6$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ y=x-2 \\ &(B)\ y=-x+21 \\ &(C)\ y=x+4 \\ &(D)\ y=3x+2 \\ &(E)\ y=3x-14 \\ \end{align} $
Persamaan bayangan $y=|x|+2x$ oleh translasi $T=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}$ saat $x \lt 6$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ y=x-2 \\ &(B)\ y=-x+21 \\ &(C)\ y=x+4 \\ &(D)\ y=3x+2 \\ &(E)\ y=3x-14 \\ \end{align} $
Sebuah fungsi ketika dikenai translasi $T=\begin{pmatrix}
6 \\
4
\end{pmatrix}$ maka kita peroleh :
$ \begin{align} x &= x'-6 \\ y &= y'-4 \end{align} $
Substitusikan ke persamaan asal maka :
$ \begin{align} y &= |x|+2x \\ \\ y'-4 &= |x'-6|+2(x'-6) \\ \end{align} $
Ingat kembali definisi dari fungsi mutlak, yaitu :
$|x'-6| = \begin{cases} (x'-6), & x \ge 6 \\ -(x'-6), & x \lt 6 \end{cases} $
Dengan demikian untuk $x \lt 6$ maka :
$ \begin{align} y-4 &= |x-6|+2(x-6) \\ y-4 &= -(x-6)+2(x-6) \\ y &= -x+6+2x-12+4 \\ y &= x-2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ y=x-2$.
$ \begin{align} x &= x'-6 \\ y &= y'-4 \end{align} $
Substitusikan ke persamaan asal maka :
$ \begin{align} y &= |x|+2x \\ \\ y'-4 &= |x'-6|+2(x'-6) \\ \end{align} $
Ingat kembali definisi dari fungsi mutlak, yaitu :
$|x'-6| = \begin{cases} (x'-6), & x \ge 6 \\ -(x'-6), & x \lt 6 \end{cases} $
Dengan demikian untuk $x \lt 6$ maka :
$ \begin{align} y-4 &= |x-6|+2(x-6) \\ y-4 &= -(x-6)+2(x-6) \\ y &= -x+6+2x-12+4 \\ y &= x-2 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A)\ y=x-2$.
Soal No. 24
Perhatikan tabel berikut!
HTML Table Generator
Dalam sebuah peternakan merpati terdapat dua varian jenis merpati yang dikembangkan, merpati jambul kuning dan merpati bulu coklat. Kondisi terkini terdapat $100$ ekor merpati dengan masing - masing jumlah per varian seperti ditunjukkan dalam tabel di atas. Jika diambil seekor merpati secara acak peluang terambil merpati berjambul kuning dengan syarat jantan adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{23}{100} \\ &(B)\ \dfrac{31}{100} \\ &(C)\ \dfrac{31}{68} \\ &(D)\ \dfrac{23}{68} \\ &(E)\ \dfrac{23}{31} \\ \end{align} $
Perhatikan tabel berikut!
| Jambul Kuning | Bulu Coklat | |
|---|---|---|
| Jantan | $23$ | $8$ |
| Betina | $45$ | $24$ |
Dalam sebuah peternakan merpati terdapat dua varian jenis merpati yang dikembangkan, merpati jambul kuning dan merpati bulu coklat. Kondisi terkini terdapat $100$ ekor merpati dengan masing - masing jumlah per varian seperti ditunjukkan dalam tabel di atas. Jika diambil seekor merpati secara acak peluang terambil merpati berjambul kuning dengan syarat jantan adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ \dfrac{23}{100} \\ &(B)\ \dfrac{31}{100} \\ &(C)\ \dfrac{31}{68} \\ &(D)\ \dfrac{23}{68} \\ &(E)\ \dfrac{23}{31} \\ \end{align} $
Ingat kembali untuk mencari besar peluang kejadian $A$ dengan syarat kejadian $B$ adalah :
\[ P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Dari tabel kita peroleh
$P(\text{Jambul Kuning} \ \cap \ \text{Jantan})= \dfrac{23}{100}$.
$P(\text{Jantan})=\dfrac{23+8}{100}=\dfrac{31}{100}$.
Sehingga,
$ \begin{align} & P(\text{Jambul Kuning} | \text{Jantan}) \\ &= \dfrac{P(\text{Jambul Kuning} \ \cap \ \text{Jantan})}{P(\text{Jantan})} \\ &= \dfrac{\frac{23}{100}}{\frac{31}{100}} \\ &= \dfrac{23}{31} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ \dfrac{23}{31} $.
Soal No.25
Diberikan fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ yang melalui titik $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ dengan $a \ne b$. Nilai minimum $f(x)$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 9 \\ & (B). 3 \\ & (C). -\dfrac{1}{9} \\ & (D). -\dfrac{1}{3} \\ & (E). -1 \end{align} $
Diberikan fungsi kuadrat $f(x)=9x^{2}+ax-b$ yang melalui titik $(a,-b)$ dan $(b,-a)$ dengan $a \ne b$. Nilai minimum $f(x)$ adalah..
$ \begin{align} & (A). 9 \\ & (B). 3 \\ & (C). -\dfrac{1}{9} \\ & (D). -\dfrac{1}{3} \\ & (E). -1 \end{align} $
(1) Karena $f(x)$ melalui $(a,-b)$ kita dapatkan :
$ \begin{align} f(a) &= 9a^2 +a(a) -b \\ -b &=10a^{2}-b \\ 0 &=10a^{2} \\ 0 &=a \end{align} $
(2) Karena $f(x)$ melalui $(b,-a)$ kita dapatkan :
$ \begin{align} f(b) &=9b^{2}+a(b)-b \\ -a &=9b^{2}+ab-b \\ 0 &=9b^{2}+0-b \\ 0 &=9b^{2}-b \\ 0 &=\left( 9b-1 \right)\left( b \right) \\ b=\dfrac{1}{9}\ & \text{atau}\ b=0\ \text{(TM)} \end{align} $
Dari bagian (1) dan (2) diatas kita peroleh $a=0$ dan $b=\dfrac{1}{9}$, nah sampai sini kita bisa tahu fungsi $f(x)$ yang sebenarnya adalah :
$ \begin{align} f(x) &=9x^{2}+ax-b \\ f(x) &=9x^{2}-\dfrac{1}{9} \\ \\ \hline \text{Nilai Minimum :} \\ \hline y_{p} &= \dfrac{-\left( b^{2}-4ac \right)}{ 4a} \\ &= \dfrac{-\left( 0-4(9) \left( -\dfrac{1}{9} \right) \right)}{ 4(9)} \\ &= \dfrac{-4}{ 36} = -\dfrac{1}{ 9} \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $ (C). -\dfrac{1}{9}$.
$ \begin{align} f(a) &= 9a^2 +a(a) -b \\ -b &=10a^{2}-b \\ 0 &=10a^{2} \\ 0 &=a \end{align} $
(2) Karena $f(x)$ melalui $(b,-a)$ kita dapatkan :
$ \begin{align} f(b) &=9b^{2}+a(b)-b \\ -a &=9b^{2}+ab-b \\ 0 &=9b^{2}+0-b \\ 0 &=9b^{2}-b \\ 0 &=\left( 9b-1 \right)\left( b \right) \\ b=\dfrac{1}{9}\ & \text{atau}\ b=0\ \text{(TM)} \end{align} $
Dari bagian (1) dan (2) diatas kita peroleh $a=0$ dan $b=\dfrac{1}{9}$, nah sampai sini kita bisa tahu fungsi $f(x)$ yang sebenarnya adalah :
$ \begin{align} f(x) &=9x^{2}+ax-b \\ f(x) &=9x^{2}-\dfrac{1}{9} \\ \\ \hline \text{Nilai Minimum :} \\ \hline y_{p} &= \dfrac{-\left( b^{2}-4ac \right)}{ 4a} \\ &= \dfrac{-\left( 0-4(9) \left( -\dfrac{1}{9} \right) \right)}{ 4(9)} \\ &= \dfrac{-4}{ 36} = -\dfrac{1}{ 9} \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $ (C). -\dfrac{1}{9}$.
Soal No.26
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 27 \\ &(B)\ 9 \\ &(C)\ 5 \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ 1 \end{align} $
Nilai $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}}$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 27 \\ &(B)\ 9 \\ &(C)\ 5 \\ &(D)\ 3 \\ &(E)\ 1 \end{align} $
$
\begin{align}
& \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{9x-9}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\left(9x-9\right)^{\frac{1}{3}}}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)^{\frac{1}{3}}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ \left( 9x-9\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right)}{\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)} \cdot \dfrac{ \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right) }{\left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9\left( x-1\right) \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{\left( x-1 \right)} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \lim\limits_{x \to 1} \left( \dfrac{ 9 \left( \sqrt[3]{x^{2}}+\sqrt[3]{x}+1 \right)}{1} \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \left( 9 \left( \sqrt[3]{(1)^{2}}+\sqrt[3]{1}+1\right) \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \left( 9 \left( 1+1+1 \right) \right)^{\frac{1}{3}} \\
& = \left( 27 \right)^{\frac{1}{3}} =3
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 3$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 3$.
Soal No.27
Jika $a \gt 0$ dan selisih akar -akar persamaan kuadrat $5x^{2}-10ax+8a=0$ sama dengan $3$ maka $a^{2}-a$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 1\dfrac{1}{9} \\ &(B)\ 3\dfrac{3}{4} \\ &(C)\ 4\dfrac{4}{9} \\ &(D)\ 7\dfrac{1}{2} \\ &(E)\ 8\dfrac{3}{4} \end{align} $
Jika $a \gt 0$ dan selisih akar -akar persamaan kuadrat $5x^{2}-10ax+8a=0$ sama dengan $3$ maka $a^{2}-a$ adalah...
$ \begin{align} &(A)\ 1\dfrac{1}{9} \\ &(B)\ 3\dfrac{3}{4} \\ &(C)\ 4\dfrac{4}{9} \\ &(D)\ 7\dfrac{1}{2} \\ &(E)\ 8\dfrac{3}{4} \end{align} $
Dari selisih akar dalam soal kita akan dapatkan,
$ \begin{align} \left| m - n \right| & = \left| \dfrac{\sqrt{D}}{a} \right| \\ 3 & = \dfrac{\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{5} \\ 15 & = \sqrt{\left(10a \right)^{2}-4\left( 5 \right) \left( 8a \right)} \\ 225 & = 100a^{2}-160a \\ 45 & = 20a^{2}-32a \\ 0 & = 20a^{2}-32a-45 \\ 0 & = \left( 10a+9 \right)\left( 2a-5 \right) \\ & a=-\dfrac{9}{10}\ \text{atau}\ a= \dfrac{5}{2} \end{align} $
Karena syarat nilai $a$ harus bernilai positif $(a \gt 0)$ maka nilai yang memenuhi $a=\dfrac{5}{2}$, sehingga
$ a^{2}-a=\left( \dfrac{5}{2} \right)^{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{4} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ 3\dfrac{3}{4}$.
$ \begin{align} \left| m - n \right| & = \left| \dfrac{\sqrt{D}}{a} \right| \\ 3 & = \dfrac{\sqrt{b^{2}-4(a)(c)}}{5} \\ 15 & = \sqrt{\left(10a \right)^{2}-4\left( 5 \right) \left( 8a \right)} \\ 225 & = 100a^{2}-160a \\ 45 & = 20a^{2}-32a \\ 0 & = 20a^{2}-32a-45 \\ 0 & = \left( 10a+9 \right)\left( 2a-5 \right) \\ & a=-\dfrac{9}{10}\ \text{atau}\ a= \dfrac{5}{2} \end{align} $
Karena syarat nilai $a$ harus bernilai positif $(a \gt 0)$ maka nilai yang memenuhi $a=\dfrac{5}{2}$, sehingga
$ a^{2}-a=\left( \dfrac{5}{2} \right)^{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{15}{4} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ 3\dfrac{3}{4}$.
Soal No.28
$\int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx = ....$
$ \begin{align} &(A)\ \frac{3\pi - 8}{8\pi} \\ &(B)\ \frac{3\pi - 4}{4\pi} \\ &(C)\ \frac{3\pi + 4}{4\pi} \\ &(D)\ \frac{3\pi + 8}{8\pi} \\ &(E)\ \frac{3}{4}+ \pi \end{align} $
$\int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx = ....$
$ \begin{align} &(A)\ \frac{3\pi - 8}{8\pi} \\ &(B)\ \frac{3\pi - 4}{4\pi} \\ &(C)\ \frac{3\pi + 4}{4\pi} \\ &(D)\ \frac{3\pi + 8}{8\pi} \\ &(E)\ \frac{3}{4}+ \pi \end{align} $
$
\begin{align}
& \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( \sqrt[3]{2x-1} + \sin \pi x \right) \, dx \\
& = \int \limits_\frac{1}{2}^1 \left( (2x-1)^\frac{1}{3} + \sin \pi x \right) \, dx \\
& = \left[ \frac{1}{2} . \frac{3}{4} (2x-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi x \right]_\frac{1}{2}^1 \\
& = \left[ \frac{3}{8} (2x-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi x \right]_\frac{1}{2}^1 \\
& = \left[ \frac{3}{8} (2.1-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi .1 \right] \\
& \, \, \, \, \, - \left[ \frac{3}{8} (2.\frac{1}{2}-1)^\frac{4}{3} - \frac{1}{\pi} \cos \pi . \frac{1}{2} \right] \\
& = \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{\pi} \right) - \left( 0 - 0 \right) \\
& = \frac{3}{8} + \frac{1}{\pi} \\
& = \frac{3\pi + 8}{8\pi}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ \dfrac{3\pi + 8}{8\pi}$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ \dfrac{3\pi + 8}{8\pi}$.
Soal No.29
Bentuk $\sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} = \cdots$
$ \begin{align} &(A)\ \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &(C)\ \sqrt{3}+\sqrt{5} \\ &(D)\ \sqrt{\frac{5}{3}}+\sqrt{\frac{3}{5}} \\ &(E)\ \sqrt{5}+\sqrt{3} \end{align} $
Bentuk $\sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} = \cdots$
$ \begin{align} &(A)\ \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &(C)\ \sqrt{3}+\sqrt{5} \\ &(D)\ \sqrt{\frac{5}{3}}+\sqrt{\frac{3}{5}} \\ &(E)\ \sqrt{5}+\sqrt{3} \end{align} $
Ingat kembali bahwa untuk $a \geq b$ maka akan berlaku,
$\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{a \times b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
Sehingga,
$ \begin{align} \sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} & = \sqrt{\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) - 2\sqrt{ \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{3} } - \sqrt{ \frac{1}{5} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{3} } - \frac{1}{\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{a \times b}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$
Sehingga,
$ \begin{align} \sqrt{\frac{8}{15} - 2\sqrt{\frac{1}{15}}} & = \sqrt{\left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} \right) - 2\sqrt{ \frac{1}{3} \times \frac{1}{5}}} \\ & = \sqrt{ \frac{1}{3} } - \sqrt{ \frac{1}{5} } \\ & = \frac{1}{\sqrt{3} } - \frac{1}{\sqrt{5} } \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(B)\ \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Soal No.30
Perhatikan gambar kurva fungsi kuadrat berikut!
$ \begin{align} & (A). (1),(2) \ \text{dan} \ (3) \\ & (B). (1) \ \text{dan} \ (3) \\ & (C). (2) \ \text{dan} \ (4) \\ & (D). (4) \ \text{saja.} \\ & (E). \text{Semua benar.} \end{align} $
Perhatikan gambar kurva fungsi kuadrat berikut!
- Persamaan sumbu simetri kurva adalah $x=1$.
- Persamaan kurva fungsi kuadratnya mempunyai nilai diskriminan kurang dari sama dengan nol.
- Jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $c \lt 0$.
- Jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $a \lt 0$.
$ \begin{align} & (A). (1),(2) \ \text{dan} \ (3) \\ & (B). (1) \ \text{dan} \ (3) \\ & (C). (2) \ \text{dan} \ (4) \\ & (D). (4) \ \text{saja.} \\ & (E). \text{Semua benar.} \end{align} $
(1).Persamaan sumbu simetri.
Dengan melihat kedua titik potong kurva terhadap sumbu-$X$ kita bisa dapatkan persamaan sumbu simetrinya, yaitu :
$ \begin{align} x &= \dfrac{x_2-x_1}{2} \ \text{dimana } \ x_2 \gt x_1 \\ x &= \dfrac{3-(-1)}{2} \\ x &= 2 \ \text{(Salah)} \end{align} $
(2).Nilai diskriminan fungsi kuadrat.
Karena kurva memotong sumbu-$X$ di dua titik maka dapat dipastikan bahwa nilai diskriminan adalah positif atau lebih dari nol. $\text{(Salah)}$
(3).Nilai $c$ pada fungsi kuadrat.
Kurva memotong sumbu-$Y$ positif, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $c \gt 0$. $\text{(Salah)}$
(4).Nilai $a$ pada fungsi kuadrat.
Kurva parabola terbuka ke bawah, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $a \lt 0$. $\text{(Benar)}$
Jadi, jawaban yang TEPAT dari pertanyaan di atas adalah $(D). (4) \ \text{saja.}$
Dengan melihat kedua titik potong kurva terhadap sumbu-$X$ kita bisa dapatkan persamaan sumbu simetrinya, yaitu :
$ \begin{align} x &= \dfrac{x_2-x_1}{2} \ \text{dimana } \ x_2 \gt x_1 \\ x &= \dfrac{3-(-1)}{2} \\ x &= 2 \ \text{(Salah)} \end{align} $
(2).Nilai diskriminan fungsi kuadrat.
Karena kurva memotong sumbu-$X$ di dua titik maka dapat dipastikan bahwa nilai diskriminan adalah positif atau lebih dari nol. $\text{(Salah)}$
(3).Nilai $c$ pada fungsi kuadrat.
Kurva memotong sumbu-$Y$ positif, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $c \gt 0$. $\text{(Salah)}$
(4).Nilai $a$ pada fungsi kuadrat.
Kurva parabola terbuka ke bawah, artinya jika bentuk persamaan fungsinya $f(x)=ax^2+bx+c$ maka $a \lt 0$. $\text{(Benar)}$
Jadi, jawaban yang TEPAT dari pertanyaan di atas adalah $(D). (4) \ \text{saja.}$
Soal No.31
Nilai semua $x$ agar matriks $\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{pmatrix}$ mempunyai invers adalah...
$ \begin{align} (A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ (B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align} $
Nilai semua $x$ agar matriks $\begin{pmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{pmatrix}$ mempunyai invers adalah...
$ \begin{align} (A)\ & x \neq -\dfrac{4}{3}\ \text{dan}\ x \neq \dfrac{4}{3} \\ (B)\ & x \neq -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{dan}\ x \neq \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (C)\ & \sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (D)\ & -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \lt x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \\ (E)\ & x \lt -\sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ -\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}\ 1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align} $
Suatu matriks akan mempunyai invers dengan syarat bahwa nilai determinannya ialah tidak nol.
Sehingga,
$ \begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align} $
Syarat :
$x^{2}-1 \geq 0$ $\to$ $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.
Dengan menggabungkan hasil determinan dan syarat terdefinisinya nilai $x$ yaitu $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ maka kita akan mendapatkan hasil bahwa $-\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)$.
Sehingga,
$ \begin{align} \begin{vmatrix} \sqrt{x^{2}-1} & 1\\ x & 2 \end{vmatrix} & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} -x & \neq 0 \\ 2 \sqrt{x^{2}-1} & \neq x \\ 4x^{2}-4 & \neq x^{2} \\ 3x^{2} & \neq 4 \\ x^{2} & \neq \dfrac{4}{3} \\ x & \neq \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} \end{align} $
Syarat :
$x^{2}-1 \geq 0$ $\to$ $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$.
Dengan menggabungkan hasil determinan dan syarat terdefinisinya nilai $x$ yaitu $x \leq -1\ \text{atau}\ x \geq 1$ maka kita akan mendapatkan hasil bahwa $-\sqrt{\dfrac{4}{3}} \lt x \leq -1\ \text{atau}$ $1 \leq x \lt \sqrt{\dfrac{4}{3}}\ \text{atau}\ x \gt \sqrt{\dfrac{4}{3}}$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)$.
Soal No.32
Sebuah lingkaran memiliki jari - jari $\log a^{2}$ dan keliling $\log b^{4}$, maka ${}^{a}\!\log b=$...
$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{4 \pi} \\ (B)\ & \frac{1}{\pi} \\ (C)\ & \pi \\ (D)\ & 2 \pi \\ (E)\ & 10^{2 \pi} \end{align} $
Sebuah lingkaran memiliki jari - jari $\log a^{2}$ dan keliling $\log b^{4}$, maka ${}^{a}\!\log b=$...
$ \begin{align} (A)\ & \frac{1}{4 \pi} \\ (B)\ & \frac{1}{\pi} \\ (C)\ & \pi \\ (D)\ & 2 \pi \\ (E)\ & 10^{2 \pi} \end{align} $
Dengan menggunakan rumus dari keliling lingkaran yaitu $K=2 \ \pi \ r$ maka bisa kita peroleh,
$ \begin{align} \log b^{4} &= 2 \pi\ \log a^{2} \\ 4 \log b &= 2 \pi\ 2 \log a \\ 4 \log b &= 4 \pi\ \log a \\ \log b &=\pi\ \log a \\ \dfrac{\log b}{\log a} &= \pi \\ {}^{a}\!\log b &= \pi \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ \pi$.
$ \begin{align} \log b^{4} &= 2 \pi\ \log a^{2} \\ 4 \log b &= 2 \pi\ 2 \log a \\ 4 \log b &= 4 \pi\ \log a \\ \log b &=\pi\ \log a \\ \dfrac{\log b}{\log a} &= \pi \\ {}^{a}\!\log b &= \pi \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(C)\ \pi$.
Soal No.33
Pada sistem persamaan berikut,
$ \begin{array} \text{x^{2}}+xy+xz=1 \\ y^{2} +yz+yx=6 \\ z^{2}+zx+zy=9 \end{array} $
Nilai $z$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{9}{4} \\ (E)\ & 3 \end{align} $
Pada sistem persamaan berikut,
$ \begin{array} \text{x^{2}}+xy+xz=1 \\ y^{2} +yz+yx=6 \\ z^{2}+zx+zy=9 \end{array} $
Nilai $z$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & \dfrac{2}{3} \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & \dfrac{3}{2} \\ (D)\ & \dfrac{9}{4} \\ (E)\ & 3 \end{align} $
$
\begin{align}
x^{2} +xy+xz &= 1 \\
y^{2} +yz+yx &= 6 \\
z^{2}+zx+zy &= 9\ (+) \\
\hline
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 \left( xy+xz+yz \right) &= 16 \\
\left( x+y+z \right)^{2} &= 16 \\
x+y+z &= 4 \\
\hline
z^{2}+zx+zy &= 9 \\
z \left( z+ x+ y \right) &= 9 \\
z \left( 4 \right) &= 9 \\
z &= \dfrac{9}{4}
\end{align}
$
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ \dfrac{9}{4}$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ \dfrac{9}{4}$.
Soal No.34
Jika $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $\tan 2x$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -\sqrt{3} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align} $
Jika $\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0$ untuk $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka $\tan 2x$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -\sqrt{3} \\ (B)\ & -1 \\ (C)\ & -\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (D)\ & \dfrac{1}{3}\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3} \end{align} $
$
\begin{align}
\sin x + \sin 2x + \sin 3x & = 0 \\
( \sin 3x + \sin x ) + \sin 2x & = 0 \\
2\sin \left( \frac{3x+x}{2} \right)\cos \left( \frac{3x-x}{2} \right) + \sin 2x & = 0 \\
2\sin 2x \cos x + \sin 2x & = 0 \\
\sin 2x ( 2 \cos x + 1) & = 0 \\
\sin 2x = 0 \vee 2 \cos x + 1 & = 0 \\
\sin 2x = 0 \vee \cos x & = -\frac{1}{2}
\end{align}
$
Karena $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka yang memenuhi adalah $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Untuk $\cos x = -\frac{1}{2}$ maka $x = 120^\circ$.
$ \begin{align} \tan 2x & = \tan 2(120^\circ) \\ & = \tan 240^\circ \\ & = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ \sqrt{3}$.
Karena $\frac{\pi}{2} \lt x \lt \pi$, maka yang memenuhi adalah $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Untuk $\cos x = -\frac{1}{2}$ maka $x = 120^\circ$.
$ \begin{align} \tan 2x & = \tan 2(120^\circ) \\ & = \tan 240^\circ \\ & = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(E)\ \sqrt{3}$.
Soal No.35
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{3^{x + 3} + 3^x - 36}{9^x - 9} \leq 3$ adalah $a \leq x \lt b$ atau $x \geq c$. Nilai $a + 2b + c$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
Diketahui penyelesaian dari pertidaksamaan $\dfrac{3^{x + 3} + 3^x - 36}{9^x - 9} \leq 3$ adalah $a \leq x \lt b$ atau $x \geq c$. Nilai $a + 2b + c$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4 \end{align} $
$
\begin{align}
\frac{3^{x+3}+3^x-36}{9^x-9} & \leq 3 \\
\frac{3^x. 3^3+3^x-36}{(3^2)^x-9} & \leq 3 \\
\frac{27. 3^x+3^x-36}{(3^x)^2-9} & \leq 3 \\ \\
\hline
\clubsuit \clubsuit \clubsuit \ \ \text{Misal :} \ p=3^{x} \\
\hline \\
\frac{27p+p-36}{p^2-9} - 3 & \leq 0 \\
\frac{28p-36}{p^2-9} - 3.\frac{p^2-9}{p^2-9} & \leq 0 \\
\frac{28p-36-3p^2+27}{p^2-9} & \leq 0 \\
\frac{-3p^2+28p-9}{p^2-9} & \leq 0 \\
\frac{(-3p +1)(p-9)}{(p+3)(p-3)} & \leq 0
\end{align}
$
Dengan menggunakan uji tanda atau uji titik kita akan dapatkan hasilnya adalah
$ \{ -1 \leq x \lt 1 \}$ atau $\{ x \geq 2 \}$.
Sehingga kita dapatkan nilai masing - masing,
$a=-1$,
$b=1$,
$c=2$
Dengan demikian,
$ \begin{align} a + 2b + c & = -1 + 2.1 + 2 \\ &= 3 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 3$.
Dengan menggunakan uji tanda atau uji titik kita akan dapatkan hasilnya adalah
$ \{ -1 \leq x \lt 1 \}$ atau $\{ x \geq 2 \}$.
Sehingga kita dapatkan nilai masing - masing,
$a=-1$,
$b=1$,
$c=2$
Dengan demikian,
$ \begin{align} a + 2b + c & = -1 + 2.1 + 2 \\ &= 3 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(D)\ 3$.
Soal No.36
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah suku ke-$1$ dan suku ke-$3$ adalah $30$ dan jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+ \log 3$, maka suku ke-$1$ barisan tersebut adalah...
$ \begin{align} & (A)\ -5 \ \text{atau} \ 5 \\ & (B)\ 5 \ \text{atau} \ -10 \\ & (C)\ 5 \ \text{atau} \ 25 \\ & (D)\ 10 \ \text{atau} \ 20 \\ & (E)\ 25 \ \text{atau} \ 15 \end{align} $
Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jika jumlah suku ke-$1$ dan suku ke-$3$ adalah $30$ dan jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+ \log 3$, maka suku ke-$1$ barisan tersebut adalah...
$ \begin{align} & (A)\ -5 \ \text{atau} \ 5 \\ & (B)\ 5 \ \text{atau} \ -10 \\ & (C)\ 5 \ \text{atau} \ 25 \\ & (D)\ 10 \ \text{atau} \ 20 \\ & (E)\ 25 \ \text{atau} \ 15 \end{align} $
Misalkan saja tiga bilangan yang membentuk barisan aritmatikanya ialah
$(a-b), (a), (a+b)$.
Kita akan dapatkan,
$ \begin{align} U_{1}+ U_{3} &= 30 \\ a-b+a+b &= 30 \\ 2a &= 30 \\ a &= 15 \end{align} $
Untuk $a=15$ jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+ \log 3$ maka
$ \begin{align} {}^\!\log a+{}^\!\log (a+b)+{}^\!\log (a+2b) &= 3+{}^\!\log 3 \\ {}^\!\log (a-b)(a)(a+b) &= {}^\!\log 1000+{}^\!\log 3 \\ {}^\!\log (15-b)(15)(15+b) &= {}^\!\log 3000 \\ (15-b)(15)(15+b) &= 3000 \\ (15-b) (15+b) &= 200 \\ 225-b^{2} &= 200 \\ b^{2} &= 225-200=25 \\ b &= \pm 5 \end{align} $
Sampai sini kita akan mendapatkan dua buah barisan yaitu:
$(a-b), (a), (a+b)$.
Kita akan dapatkan,
$ \begin{align} U_{1}+ U_{3} &= 30 \\ a-b+a+b &= 30 \\ 2a &= 30 \\ a &= 15 \end{align} $
Untuk $a=15$ jumlah dari logaritma suku ke-$1$, ke-$2$ dan ke-$3$ adalah $3+ \log 3$ maka
$ \begin{align} {}^\!\log a+{}^\!\log (a+b)+{}^\!\log (a+2b) &= 3+{}^\!\log 3 \\ {}^\!\log (a-b)(a)(a+b) &= {}^\!\log 1000+{}^\!\log 3 \\ {}^\!\log (15-b)(15)(15+b) &= {}^\!\log 3000 \\ (15-b)(15)(15+b) &= 3000 \\ (15-b) (15+b) &= 200 \\ 225-b^{2} &= 200 \\ b^{2} &= 225-200=25 \\ b &= \pm 5 \end{align} $
Sampai sini kita akan mendapatkan dua buah barisan yaitu:
- Untuk $b=5$ dan $a=15$ maka akan terbentuk barisan $10$, $15$, $20$.
- Untuk $b=-5$ dan $a=15$ maka akan terbentuk barisan $20$, $15$, $10$.
Soal No.37
Parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ mempunyai titik pucak $(p,q)$. Jika $2p$ dan $\frac{q}{4}$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $4$, maka nilai $m$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{3}{2} \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align} $
Parabola $y=x^{2}-2x+3m-1$ mempunyai titik pucak $(p,q)$. Jika $2p$ dan $\frac{q}{4}$ dua suku pertama deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah $4$, maka nilai $m$ adalah...
$ \begin{align} (A)\ & -\dfrac{3}{2} \\ (B)\ & \dfrac{2}{3} \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3 \end{align} $
Untuk menjawab soal di atas kita butuh rumus - rumus diantaranya adalah :
Rumus puncak fungsi kuadrat $\to (\dfrac{-b}{2a},\dfrac{D}{-4a})$.
Jumlah deret geometri tak hingga $\to S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.
Langkah pertama kita cari nilai dari titik puncak parabolanya $(p,q)$
$y=x^{2}-2x+3m-1$ $ \begin{align} p &=-\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\ \hline q & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\ & =-\dfrac{8-12m }{4} \\ & = 3m-2 \end{align} $
Sehingga kita bisa bentuk deret geometri yang dimaksud dalam soal yaitu
$ \begin{align} 2+\dfrac{3m-2}{4}+ \cdots &= 4 \\ \hline \dfrac{a }{1-r } & = 4 \\ \dfrac{2}{1- \dfrac{3m-2}{8} } & = 4 \\ 2 & = 4 \times \left( 1- \dfrac{3m-2}{8} \right) \\ 2 & = 4 - \dfrac{3m-2}{2} \\ 2-4 & = - \dfrac{3m-2}{2} \\ -4 & = - (3m-2) \\ 4 & = 3m-2 \\ 4+2 & = 3m \\ 2 & = m \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 2$.
Rumus puncak fungsi kuadrat $\to (\dfrac{-b}{2a},\dfrac{D}{-4a})$.
Jumlah deret geometri tak hingga $\to S_{\infty}=\dfrac{a}{1-r}$.
Langkah pertama kita cari nilai dari titik puncak parabolanya $(p,q)$
$y=x^{2}-2x+3m-1$ $ \begin{align} p &=-\dfrac{b}{2a} \\ &=-\dfrac{-2}{2(1)}=1 \\ \hline q & =-\dfrac{D}{4a} \\ & =-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ & =-\dfrac{(-2)^{2}-4(1)(3m-1)}{4(1)} \\ & =-\dfrac{4-12m+4 }{4} \\ & =-\dfrac{8-12m }{4} \\ & = 3m-2 \end{align} $
Sehingga kita bisa bentuk deret geometri yang dimaksud dalam soal yaitu
$ \begin{align} 2+\dfrac{3m-2}{4}+ \cdots &= 4 \\ \hline \dfrac{a }{1-r } & = 4 \\ \dfrac{2}{1- \dfrac{3m-2}{8} } & = 4 \\ 2 & = 4 \times \left( 1- \dfrac{3m-2}{8} \right) \\ 2 & = 4 - \dfrac{3m-2}{2} \\ 2-4 & = - \dfrac{3m-2}{2} \\ -4 & = - (3m-2) \\ 4 & = 3m-2 \\ 4+2 & = 3m \\ 2 & = m \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang TEPAT adalah $(D)\ 2$.
Soal No.38
Bilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari - jari $A+1$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ 5 \\ &(B.) \ 4 \\ &(C.) \ 3 \\ &(D.) \ 2 \\ &(E.) \ 1 \end{align} $
Bilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari - jari $A+1$ adalah...
$ \begin{align} &(A.) \ 5 \\ &(B.) \ 4 \\ &(C.) \ 3 \\ &(D.) \ 2 \\ &(E.) \ 1 \end{align} $
Kita bisa cari nilai $A$ nya dengan menggunakan rumus mencari jari - jari seperti soal - soal yang sudah kita bahas di atas.
$ \begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 }\\ \left( A+1 \right)^{2} &= \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 \\ A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\ 0 &= 3A^{2}-2A-40 \\ 0 &= \left ( 3A+10 \right ) \left ( A-4 \right )\\ & A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B.) \ 4$.
$ \begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ A+1 &=\sqrt{ \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 }\\ \left( A+1 \right)^{2} &= \frac{1}{4}(2)^{2}+\frac{1}{4}(-4A)^{2}-40 \\ A^{2}+2A+1 &= 1+4A^{2}-40 \\ 0 &= 3A^{2}-2A-40 \\ 0 &= \left ( 3A+10 \right ) \left ( A-4 \right )\\ & A=-\frac{10}{3}\ \text{atau}\ A=4 \end{align} $
Jadi, jawaban yang TEPAT adalah $(B.) \ 4$.
Soal No.39
Nilai dari $(1:(2:3):(3:4):(4:5):(5:6))$ adalah...$ \begin{align} &(A.) \ 5 \\ &(B.) \ 4 \\ &(C.) \ 3 \\ &(D.) \ 2 \\ &(E.) \ 1 \end{align} $
Ingat kembali bahwa dalam pembagian $a:b$ sama saja dengan operasi pecahan $\dfrac{a}{b}$.
Sehingga bentuk operasi hitung bilangan di atas dapat kita tulis kembali menjadi,
$ \begin{align} & 1:\left(\dfrac{2}{3} \right):\left(\dfrac{3}{4} \right):\left(\dfrac{4}{5} \right):\left(\dfrac{5}{6} \right) \\ &= 1 \ \text{x} \ \dfrac{3}{2} \ \text{x} \ \dfrac{4}{3} \ \text{x} \ \dfrac{5}{4} \ \text{x} \ \dfrac{6}{5} \\ &= 1 \ \text{x} \ \dfrac{6}{2} \\ &= 3 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C.) \ 3$.
Sehingga bentuk operasi hitung bilangan di atas dapat kita tulis kembali menjadi,
$ \begin{align} & 1:\left(\dfrac{2}{3} \right):\left(\dfrac{3}{4} \right):\left(\dfrac{4}{5} \right):\left(\dfrac{5}{6} \right) \\ &= 1 \ \text{x} \ \dfrac{3}{2} \ \text{x} \ \dfrac{4}{3} \ \text{x} \ \dfrac{5}{4} \ \text{x} \ \dfrac{6}{5} \\ &= 1 \ \text{x} \ \dfrac{6}{2} \\ &= 3 \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C.) \ 3$.
Soal No.40
Dua buah lingkaran yang berjari - jari sama, saling berpotongan seperti diperlihatkan pada gambar berikut.
Jika panjang jari - jari kedua lingkaran adalah $r$ cm, maka luas $\Delta PMN$ adalah..
$ \begin{align} & (A). \dfrac{1}{4}r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \\ & (B). \dfrac{1}{2}r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \\ & (C). \dfrac{3}{4}r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \\ & (D). r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \\ & (E). \dfrac{3}{2}r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \end{align} $
Dua buah lingkaran yang berjari - jari sama, saling berpotongan seperti diperlihatkan pada gambar berikut.
$ \begin{align} & (A). \dfrac{1}{4}r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \\ & (B). \dfrac{1}{2}r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \\ & (C). \dfrac{3}{4}r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \\ & (D). r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \\ & (E). \dfrac{3}{2}r^{2}\sqrt{3} \ \text{cm}^{2} \end{align} $
Terlihat dalam gambar bahwa karena panjang jari - jari kedua lingkaran adalah sama yaitu $r$ cm, maka bisa kita dapatkan :
$PM=PN=MN=r$ cm.
$\Delta PMN \to$ segitiga sama sisi.
Dengan memakai aturan sinus maka luas $\Delta PMN$ bisa kita dari dengan,
$ \begin{align} L_{PMN} &= \dfrac{1}{2} \cdot MN \cdot PM \cdot \sin 60^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= \dfrac{1}{4}r^{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A). \dfrac{1}{4}r^{2}\sqrt{3}$ cm2.
$PM=PN=MN=r$ cm.
$\Delta PMN \to$ segitiga sama sisi.
$ \begin{align} L_{PMN} &= \dfrac{1}{2} \cdot MN \cdot PM \cdot \sin 60^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \\ &= \dfrac{1}{4}r^{2}\sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A). \dfrac{1}{4}r^{2}\sqrt{3}$ cm2.
Soal No.41
Perhatikan gambar berikut !
Persegi $ABCD$ memiliki panjang sisi $1$ dm dengan panjang $AE=CF$. Jika luas segitiga $DEF$ adalah $\dfrac{7}{16}$ dm2, maka panjang $DE$ adalah ... dm
$ \begin{align} & (A). \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \\ & (B). \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ & (C). \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\ & (D). \dfrac{1}{3}\sqrt{2} \\ & (E). \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \end{align} $
Perhatikan gambar berikut !
$ \begin{align} & (A). \dfrac{1}{4}\sqrt{2} \\ & (B). \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \\ & (C). \dfrac{3}{4}\sqrt{2} \\ & (D). \dfrac{1}{3}\sqrt{2} \\ & (E). \dfrac{2}{3}\sqrt{2} \end{align} $
Ngga butuh lama kok aslinya buat ngerjain soal ini.
Biar lebih mudah dalam mencari panjang $DE$. Kita misalkan $AE=x$ maka akan jadi seperti gambar di bawah.
$
\begin{align}
L_{DEF} &= L_{ABCD} -L_{BEF} - 2L_{ADE} \\
\dfrac{7}{16} &= 1- \dfrac{1}{2} \left(1-x \right)^{2} - 2 \cdot \dfrac{1}{2} x \cdot 1 \\
\dfrac{7}{16} &= 1- \dfrac{1}{2} \left(1-2x+x^2 \right)^{2} - x \\
8x^2 &= 1 \ \to \ x^{2}=\dfrac{1}{8} \\ \\
\end{align}
$
Perhatikan $\Delta ADE$
$ \begin{align} DE &= \sqrt{AD^2+AE^2} \\ &= \sqrt{1+x^2} \\ &= \sqrt{1+\dfrac{1}{8}} \\ &= \dfrac{3}{4} \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (C).\dfrac{3}{4} \sqrt{2} $
Biar lebih mudah dalam mencari panjang $DE$. Kita misalkan $AE=x$ maka akan jadi seperti gambar di bawah.
Perhatikan $\Delta ADE$
$ \begin{align} DE &= \sqrt{AD^2+AE^2} \\ &= \sqrt{1+x^2} \\ &= \sqrt{1+\dfrac{1}{8}} \\ &= \dfrac{3}{4} \sqrt{2} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $ (C).\dfrac{3}{4} \sqrt{2} $
Soal No.42
Perhatikan gambar berikut !
Diketahui lingkaran menyinggung sisi - sisi persegi panjang dengan ukuran $12 \times 15$, seperti pada gambar. Garis $CE$ menyinggung lingkaran. Panjang $DE=$ ...
$ \begin{align} & (A). 4 \\ & (B). 3 \sqrt{2} \\ & (C). 5 \\ & (D). 4 \sqrt{3} \\ & (E). 6 \end{align} $
Perhatikan gambar berikut !
$ \begin{align} & (A). 4 \\ & (B). 3 \sqrt{2} \\ & (C). 5 \\ & (D). 4 \sqrt{3} \\ & (E). 6 \end{align} $
Dari apa yang diketahui pada soal, dengan sedikit utak - atik bisa kita uraikan lagi seperti pada gambar di bawah ini.
Kita peroleh,
$ \begin{align} EC^2 & = ED^2 + DC^2 \\ (9+x)^2 & = (9-x)^2 + 12^2 \\ 81 + 16x + x^2 & = 81 - 16x + x^2 + 144 \\ 36x & = 144 \\ x & = 4 \end{align} $
Sehingga,
$DE=9-x=9-4=5$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C). 5$.
$ \begin{align} EC^2 & = ED^2 + DC^2 \\ (9+x)^2 & = (9-x)^2 + 12^2 \\ 81 + 16x + x^2 & = 81 - 16x + x^2 + 144 \\ 36x & = 144 \\ x & = 4 \end{align} $
Sehingga,
$DE=9-x=9-4=5$.
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C). 5$.
Soal No.43
Dalam $\Delta ABC$, jika $D$ pada $AB$ sehingga $CD \perp AB$, $BC=a$, $\angle CAB=60^{\circ}$, $\angle ABC=45^{\circ}$ maka luas $ \Delta ABC=$ ...
$ \begin{align} & (A). \dfrac{a^2}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 \right) \\ & (B). \dfrac{a^2}{5} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3} + 1 \right) \\ & (C). \dfrac{a^2}{6} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right) \\ & (D). \dfrac{a}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right) \\ & (E). \dfrac{a}{5} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3} + 1 \right) \end{align} $
Dalam $\Delta ABC$, jika $D$ pada $AB$ sehingga $CD \perp AB$, $BC=a$, $\angle CAB=60^{\circ}$, $\angle ABC=45^{\circ}$ maka luas $ \Delta ABC=$ ...
$ \begin{align} & (A). \dfrac{a^2}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 \right) \\ & (B). \dfrac{a^2}{5} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3} + 1 \right) \\ & (C). \dfrac{a^2}{6} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right) \\ & (D). \dfrac{a}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} - 1 \right) \\ & (E). \dfrac{a}{5} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3} + 1 \right) \end{align} $
Kita dapatkan dari soal
Terlihat jelas dalam soal bahwa $\Delta BDC$ merupakan segitiga sama kaki sehingga $BD=DC$.
$ \begin{align} \sin 45^{\circ} &= \dfrac{DC}{BC} \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} &= \dfrac{DC}{a} \\ DC &= \dfrac{1}{2} a \sqrt{2} \end{align} $
Disisi lain, perhatikan $\Delta ADC$ :
$ \begin{align} \tan 60^{\circ} &= \dfrac{DC}{AD} \\ \sqrt{3} &= \dfrac{ \dfrac{1}{2} a \sqrt{2}}{AD} \\ AD &= \dfrac{1}{6} a \sqrt{6} \end{align} $
Luas $ \Delta ABC $ :
$ \begin{align} L_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot (AD+DB) \cdot BC \cdot \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{6} a \sqrt{6}+\dfrac{1}{2} a \sqrt{2} \right) \cdot a \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \\ &= \dfrac{a^2}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 \right) \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A). \dfrac{a^2}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 \right)$.
$ \begin{align} \sin 45^{\circ} &= \dfrac{DC}{BC} \\ \dfrac{\sqrt{2}}{2} &= \dfrac{DC}{a} \\ DC &= \dfrac{1}{2} a \sqrt{2} \end{align} $
Disisi lain, perhatikan $\Delta ADC$ :
$ \begin{align} \tan 60^{\circ} &= \dfrac{DC}{AD} \\ \sqrt{3} &= \dfrac{ \dfrac{1}{2} a \sqrt{2}}{AD} \\ AD &= \dfrac{1}{6} a \sqrt{6} \end{align} $
Luas $ \Delta ABC $ :
$ \begin{align} L_{ABC} &= \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot (AD+DB) \cdot BC \cdot \sin 45^{\circ} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{1}{6} a \sqrt{6}+\dfrac{1}{2} a \sqrt{2} \right) \cdot a \cdot \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \\ &= \dfrac{a^2}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 \right) \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(A). \dfrac{a^2}{4} \left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} + 1 \right)$.
Soal No.44
Perhatikan gambar berikut!
Diketahui panjang $SR=3$ cm dan $PT$ merupakan sebuah garis bagi dan tegak lurus $𝑅𝑄$ sehingga $\angle SPT=\angle QPT$.
Jika $𝑅𝑇:𝑇𝑄=1:3$ maka panjang $𝑃𝑄=$ … cm
$ \begin{align} & (A). \ 6 \\ & (B). \ 9 \\ & (C). \ 15 \\ & (D). \ 21 \\ & (E). \ 25 \\ \end{align} $
Perhatikan gambar berikut!
$ \begin{align} & (A). \ 6 \\ & (B). \ 9 \\ & (C). \ 15 \\ & (D). \ 21 \\ & (E). \ 25 \\ \end{align} $
Jawaban yang TEPAT adalah $(B). 9 \ \text{cm}$.
Simak video pembahasan lengkapnya di sini ya.
Simak video pembahasan lengkapnya di sini ya.
Soal No.45
Garis $g$ menyinggung kurva $y=2 \sin x + \cos x$ di titik yang berabsis $\dfrac{\pi}{3}$. Gradien (kemiringan) garis yang tegak lurus pada $g$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 4+2\sqrt{3} \\ &(B)\ 2-4\sqrt{3} \\ &(C)\ -4-2\sqrt{3} \\ &(D)\ \dfrac{1}{4} \left( \sqrt{3}-1 \right) \\ &(E)\ \dfrac{1}{4} \left( 1-\sqrt{3} \right) \end{align} $
Garis $g$ menyinggung kurva $y=2 \sin x + \cos x$ di titik yang berabsis $\dfrac{\pi}{3}$. Gradien (kemiringan) garis yang tegak lurus pada $g$ adalah ...
$ \begin{align} &(A)\ 4+2\sqrt{3} \\ &(B)\ 2-4\sqrt{3} \\ &(C)\ -4-2\sqrt{3} \\ &(D)\ \dfrac{1}{4} \left( \sqrt{3}-1 \right) \\ &(E)\ \dfrac{1}{4} \left( 1-\sqrt{3} \right) \end{align} $
Gradien (kemiringan) dari garis singgung sebuah fungsi merupakan turunan pertama dari fungsi tersebut.
\[ m=f'(x)=y' \]
Sehingga kita peroleh
$ \begin{align} y &= 2 \sin x + \cos x \\ \\ m &= 2 \cos x - \sin x \\ x=\dfrac{\pi}{3} \to m &= 2 \cos \dfrac{\pi}{3} - \sin \dfrac{\pi}{3} \\ &= 2 \left( \dfrac{1}{2} \right) - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ &= 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{align} $
Ingat kembali bahwa dua garis yang saling tegak lurus maka $m_1 \times m_2=-1$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} m_1 &= 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \\ m_1 \times m_2 &= -1 \\ \left( 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \times m_2 &= -1 \\ m_2 &= \dfrac{-1}{1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-1}{\left( 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) } \times \dfrac{\left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)}{ \left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)} \\ &= \dfrac{-\left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)}{1- \dfrac{3}{4}} \\ &= -4 \left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \\ &= -4 -2 \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ -4-2\sqrt{3}$.
$ \begin{align} y &= 2 \sin x + \cos x \\ \\ m &= 2 \cos x - \sin x \\ x=\dfrac{\pi}{3} \to m &= 2 \cos \dfrac{\pi}{3} - \sin \dfrac{\pi}{3} \\ &= 2 \left( \dfrac{1}{2} \right) - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ &= 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \end{align} $
Ingat kembali bahwa dua garis yang saling tegak lurus maka $m_1 \times m_2=-1$.
Dengan demikian,
$ \begin{align} m_1 &= 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \\ \\ m_1 \times m_2 &= -1 \\ \left( 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \times m_2 &= -1 \\ m_2 &= \dfrac{-1}{1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3}} \\ &= \dfrac{-1}{\left( 1 - \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) } \times \dfrac{\left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)}{ \left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)} \\ &= \dfrac{-\left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right)}{1- \dfrac{3}{4}} \\ &= -4 \left( 1 + \dfrac{1}{2} \sqrt{3} \right) \\ &= -4 -2 \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, pilihan jawaban yang BENAR adalah $(C)\ -4-2\sqrt{3}$.
Penutup
Persiapan UM UGM 2026 memang tidak bisa dilakukan dalam semalam.Ada yang mulai panik karena belum hafal rumus, ada yang bingung membagi waktu belajar, bahkan ada juga yang sebenarnya paham materi tetapi masih sering kalah teliti saat mengerjakan soal.
Padahal, kunci utama menghadapi subtes Matematika Dasar bukan cuma soal menghafal rumus.
Semakin banyak latihan, semakin cepat juga kamu mengenali model soal UM UGM yang sebenarnya sering “itu-itu juga”, hanya dibungkus dengan cara berbeda.
Karena itu, jangan sampai persiapanmu cuma mentok di baca teori.
Coba biasakan latihan rutin setiap hari, meskipun sedikit.
Percaya deh, progres kecil yang konsisten jauh lebih powerful dibanding belajar kebut semalam sebelum ujian.
Buat Kamu yang Mau Latihan Lebih Serius👀
Kalau kamu merasa masih kurang latihan soal, sebenarnya wajar banget.Banyak pejuang UM UGM gagal bukan karena tidak pintar, tetapi karena kurang terbiasa menghadapi soal model ujian asli.
Makanya sekarang banyak siswa mulai nyari buku latihan yang isinya:
- prediksi soal terbaru,
- pembahasan yang nggak muter-muter,
- latihan HOTS,
- sampai trik cepat ngerjain soal dalam waktu singkat.
Nah, kalau kamu lagi cari buku latihan yang cocok buat temen belajar beberapa waktu ke depan, kita udah siapin rekomendasi yang worth it banget buat dipakai latihan mandiri.
Siapa tahu itu jadi salah satu “senjata rahasia” kamu sebelum hari ujian nanti 😎
Siapa tahu itu jadi salah satu “senjata rahasia” kamu sebelum hari ujian nanti 😎
"Kesuksesan adalah hasil dari usaha-usaha kecil yang dilakukan terus-menerus setiap hari.” - Robert Collier
